2. Instationäre Wärmeleitung

Die Temperatur im Körper ändert sich mit der Zeit.

Im Gegensatz zur stationären Wärmeleitung ist das Temperaturfeld zeitabhängig:

Hauptziel: Die Bestimmung des zeitabhängigen Temperaturfeldes im Körper.

1. Aufheizen eines Körpers

2. Abkühlen eines Körpers

3. Start- und Übergangsprozesse

4. Temperaturänderungen durch wechselnde Randbedingungen

Auf der Energieerhaltung (1. Hauptsatz der Thermodynamik) für ein infinitesimales Volumenelement.

Änderung der inneren Energie = Netto-Wärmestrom + Quellen

Damit lokale Temperaturänderungen und Wärmeströme exakt beschrieben werden können.

1. Wärmezufuhr durch Leitung

2. Wärmeabfuhr durch Leitung

3. Wärmeerzeugung im Volumen (z. B. elektrische oder nukleare Quellen)

Wie sich Temperatur aufgrund von Wärmeleitung und eventuell inneren Quellen zeitlich und räumlich entwickelt.

Eine partielle Differentialgleichung (PDE) parabolischen Typs.

sie ist parabolisch, Weil sie eine erste Ableitung nach der Zeit und zweite Ableitungen nach dem Ort enthält.

1. Wärmeleitfähigkeit λ

2. Dichte ρ

3. spezifische Wärmekapazität c

Diese bestimmen, wie schnell sich Temperatur ändert

a = λ / (ρ c)

Sie beschreibt, wie schnell sich Temperaturstörungen im Material ausbreiten.

Metalle — sie reagieren schnell auf Temperaturänderungen.

Isolierende Materialien wie Ziegel oder Fett.

Wenn Temperaturänderungen nur in einer Raumrichtung wesentlich sind.

Häufige Vereinfachung in Technikproblemen

Sie reduziert die mathematische Komplexität stark und liefert dennoch gute Näherungen.

Weil die Temperatur zeitabhängig ist — man muss den Startzustand kennen.

Beispiel: Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t = 0

1. Vorgegebene Temperatur (1. Art) = Die Oberfläche wird auf einer festen Temperatur gehalten. Beispiel: Kontakt mit großem Wärmereservoir.

2. Vorgegebener Wärmestrom (2. Art) = Der Wärmestrom über die Oberfläche ist vorgegeben. Sonderfall: adiabate Oberfläche → Wärmestrom = 0

3. Wärmeübergang an Fluid (3. Art) = Wärmeübergang zwischen Oberfläche und Fluid durch Konvektion. Realistischster Fall in technischen Anwendungen.

Es entsteht ein Wärmestrom abhängig vom Kontaktwiderstand.

Auch in deinen Notizen erwähnt

1. Analytische Methoden = Nur bei einfachen Geometrien und Randbedingungen.

2. Numerische Methoden = Reale Probleme sind meist zu komplex für exakte Lösungen.

Um zeitabhängige Differentialgleichungen in einfachere algebraische Gleichungen umzuwandeln.

Zeitbereich → Frequenzbereich

Sie wird zu einer Multiplikation mit der Laplace-Variable.

Erleichtert die Lösung enorm.

Ein Körper, der in eine Richtung so groß ist, dass Randwirkungen vernachlässigt werden können.

Modell für oberflächennahe Prozesse

Wenn Temperaturänderungen nur in einer dünnen Randzone auftreten.

Um nur eine Hälfte betrachten zu müssen und das Problem zu vereinfachen.

Damit Lösungen universell gelten und unabhängig von konkreten Einheiten sind.

Die Biot-Zahl — Verhältnis innerer zu äußerer Wärmewiderstand.

Das Temperaturfeld nähert sich einem stationären Zustand an.