Welcher Druck liegt im Wirbelkern eines Potentialwirbels vor, wenn in großer Entfernung vom Wirbelkern p= p∞ gilt?
Beim Potentialwirbel ist die Radialkomponente der Geschwindigkeit ur = 0 und für die Umfangskomponente gilt: uphi= Γ/(2 π r)∼ 1/r. Weit entfernt vom Wirbelkern ist die Geschwindigket nahezu Null und der Druck soll laut Aufgabenstellung p= p∞ sein. Die Bernoulli–Gleichung gilt zwischen beliebigen Punkten im Strömungsfeld:
Die Blasius–Gleichung für die dimensionslose Stromfunktion f (η) beschreibt die Geschwindigkeitsverteilung in einer laminaren Grenzschicht über eine ebene Platte: f f′′ + 2 f′′′ = 0
mit: u = u∞· f′(η)
Welche Randbedingungen muss diese gewöhnliche Differentialgleichung erfüllen?
Geben Sie diese für die dimensionslose Stromfunktion und die Geschwindigkeitskomponenten an!
Die Blasius–Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung. Folglich müssen genau drei Randbedingungen erfüllt werden. Diese sind:
Zwei Düsenflugzeuge fliegen wie in untenstehender Abbildung parallel (Abstand b) mit bekannten Geschwindigkeiten (uA < uB, M aB > 1) durch Luft (Isentropenexponent κ, spezifische Gaskonstante R, Temperatur T ). Zur Zeit t = 0 wird das eine vom anderen eingeholt. Nach welcher Zeit ∆t vernimmt das langsamer fliegende Flugzeug das Geräusch des schnelleren?
Die Umströmung eines Kreiszylinders soll potentialtheoretisch betrachtet werden. Wieviele Staupunkte besitzt diese Strömung und wo befindet/befinden sich diese(r) genau?
Welche Aussage lässt sich bezüglich des Widerstands des Kreiszylinders in der Strömung daraus ableiten? Begründen Sie Ihre Antwort!
Die Umströmung eines Kreiszylinders lässt sich potentialtheoretisch als Überlagerung einer Parallelströmung und eines Dipols darstellen. Die Umströmung ist symmetrisch bezüglich beider Achsen, also der x–Achse und der y–Achse. Folglich gibt es zwei Staupunkte, einer vorne (ϕ= 180 Grad) und einer hinten (ϕ= 0 Grad).
Aufgrund der beschriebenen Symmetrie ist die Druckverteilung auf der Vorderseite identisch zur Druckverteilung auf der Rückseite, so dass der Druckwiderstand gleich Null ist. Einen Reibungswiderstand gibt es in der Potentialtheorie sowieso nicht, so dass der Gesamtwiderstand gleich Null ist (d’Alembertsches Paradoxon, 1753).
Die Blasius–Lösung beschreibt die Geschwindigkeitsverteilung in einer laminaren Grenzschicht über einer längs angeströmten ebenen Platte. Aufgrund der Stokesschen Haftbedingung ist die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u an der Wand gleich Null.
Welche zwei Aussagen können Sie über die wandnormale Geschwindigkeitskomponente v an der Wand treffen? Begründen Sie Ihre Aussagen physikalisch!
Folgende zwei Aussagen sind möglich:
1. Aufgrund der Impermeabilität (Undurchlässigkeit) der Platte muss die wandnormale Geschwindigkeitskomponente v an der Wand ebefalls Null sein, also v|w = 0 an der Wand.
2. An der Wand ist die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u gleich Null und damit gilt auch ∂u/∂x= 0 an der Wand. Setzt man dies in die Massenerhaltungsgleichung ∂u/∂x+ ∂v/∂y= 0 ein, so folgt: ∂v/∂y|w = 0 an der Wand, d.h. der Gradient der wandnormalen Geschwindigkeitskomponente ist an der Wand ebenfalls Null.
Bei der Durchströmung einer Laval–Düse gibt es zwei Strömungsfälle, bei denen die gesamte Strömung isentrop verläuft. Welche beiden Fälle sind dies und wodurch unterscheiden sich diese beiden Fälle hinsichtlich zweier charakteristischer Eigenschaften?
Folgende zwei Fälle sind hier zu unterscheiden:
Isentrope Unterschall–Durchströmung der gesamten Düse (Ma<1): Bei kleinem Druckverhältnis p/p0 zwischen Druck am Düsenauslass und Kesseldruck wird die Schallgeschwindigkeit im engsten Querschnitt der Düse nicht erreicht. Folglich wird dann auch im divergenten Teil der Düse keine Überschallströmung mehr erreicht.
Isentrope Überschall–Strömung in der Düse (Ma>1): Bei hinreichend großem Druckverhältnis p/p0 zwischen Druck am Düsenauslass und Kesseldruck wird die Schallgeschwindigkeit im engsten Querschnitt der Düse erreicht. Folglich wird dann auch im divergenten Teil der Düse eine Überschallströmung vorliegen
In der Antwort muss also das Druckverhältnis p/p0 und die Mach–Zahl auftauchen.
Der sogenannte Magnus–Effekt bei der Umströmung eines Kreiszylinders soll potentialtheoretisch betrachtet werden. Wieviele Staupunkte besitzt diese Strömung auf der Kontur und wovon hängt dies ab?
Welche Aussage lässt sich bezüglich des Widerstands des Kreiszylinders in der Strömung treffen? Begründen Sie Ihre Antwort!
Die Umströmung eines Kreiszylinders mit Magnus–Effekt lässt sich potentialtheoretisch als Überlagerung einer Parallelströmung, eines Dipols und eines Potentialwirbels mit der Zirkulation Γ darstellen.
Die Lage und Anzahl der Staupunkte hängt von der Zirkulation Γ ab. Drei Fälle sind zu unterscheiden:
Zirkulation Γ gleich Null oder klein: Im Fall von Γ = 0 gibt es zwei Staupunkte (A und B), einer vorne (ϕ = 180o) und einer hinten (ϕ= 0o). Mit der Zunahme von Γ wandern diese aufwärts.
Es gibt einen Grenzfall für die Zirkulation Γ bei dem beide Staupunkte bei ϕ= 90 Grad zusammenfallen, d.h. es gibt nur noch einen Staupunkt.
Oberhalb dieses Grenzwertes von Γ gibt es keinen Staupunkt mehr auf der Kontur des Kreisyzlinders.
Auch mit Zirkulation ist die Druckverteilung auf der Vorderseite identisch zur Druckverteilung auf der Rückseite, so dass der Druckwiderstand gleich Null ist. Einen Reibungswiderstand gibt es in der Potentialtheorie sowieso nicht, so dass der Gesamtwiderstand wie beim Kreiszylinder ohne Magnus–Effekt gleich Null ist (d’Alembertsches Paradoxon, 1753).
Betrachtet werde die Geschwindigkeitsverteilung in einer turbulenten Grenzschicht
über einer längs angeströmten ebenen Platte. Aufgrund der Stokesschen Haftbedingung ist die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u an der Wand gleich Null.
Analog zum laminaren Fall sind folgende zwei Aussagen möglich:
Zwei Überschallflugzeuge überfliegen gleichzeitig und in gleicher Höhe h = 300 m einen ruhenden Beobachter am Boden. Flugzeug 1 fliegt mit Mach–Zahl Ma1 = 2. Flugzeug 2 ist doppelt so schnell und bewegt sich mit Mach–Zahl Ma2 = 4. Die Schallgeschwindigkeit soll c= 300 m/s betragen.
Welches Flugzeug ist vom Beobachter akustisch eher wahrzunehmen?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Flugzeug 1 legt die Strecke ∆x1 zurück, ehe der Beoachter in den zugehörigen Machschen Kegel eintaucht und das Flugzeug akustisch wahrnehmen kann. Die Strecke lässt sich wie folgt ausdrücken:
Mit dem geometrischen Zusammenhang tan α1 = h/∆x1 und dem Machschen Winkel α1 = arcsin(1/Ma1) folgt für die Zeit:
Analog gilt f¨ ur Flugzeug 2:
Folglich hört man das schnellere Flugzeug etwas später als das langsame!
Oder: Die von Flugzeug 2 zurückzulegende Strecke ∆x2, damit der Beobachter beide Flugzeuge zeitgleich hört, ist mehr als doppelt so lang wie die Strecke von Flugzeug 1.
Gegeben sei ein zweidimensionales Strömungsfelds eines inkompressiblen Fluids. Die
kartesischen Geschwindigkeitskomponenten hierfür lauten:u = x/(x^2+ y^2) v =y/(x^2 + y^2)
Weisen Sie rechnerisch nach, dass dieses Strömungsfeld die Bedingung der Diver-
genzfreiheit (Massenerhaltung) erfüllt!
Die Bedingung der Divergenzfreiheit ist erfüllt, wenn die Massenerhaltungsgleichung für ein inkompressibles Fluid erfüllt ist. Diese lautet für eine zweidimensionale Strömung mit kartesischen Geschwindigkeitskomponenten:
∂u/∂x+∂v/∂y = 0
Die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten lauten: u = x/ (x^2 + y^2)
v =y/(x^2 + y^2)
Mittels der Quotientenregel (⋆) lauten die einzelnen Ableitungen:
∂u/ ∂x=(1· (x^2 + y^2)− x· 2 x)/(x^2 + y^2)^2=-(x^2− y^2)/(x^2 + y^2)2
∂v/∂y=(1· (x^2 + y^2)− y· 2 y)/(x^2 + y^2)^2= (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2
Betragsmäßig sind beide Beiträge gleich groß, aber sie haben unterschiedliche Vorzeichen, so dass die Summe beider Beiträge zu Null wird. Folglich ist die Bedingung der Divergenzfreiheit erfüllt.
Anmerkung: (⋆): Quotientenregel:
(a/b)′=a′· b− a· b′/b^2
Gegeben seien eine laminare und eine turbulente Grenzschicht auf einer ebenen Platte. In welcher Grenzschicht ist die Verdrängungsdicke bezogen auf die Grenzschichtdicke größer?
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Die Verdrängungsdicke δ1 bezogen auf die Grenzschichtdicke δ ist im Fall der laminaren Grenzschicht deutlich größer als im turbulenten Fall. Konkret gilt (Zahlenwerte nicht gefordert!):
laminar: δ1/δ≈ 0.344
turbulent: δ1/δ≈ 0.125
Begründung: Die turbulenten Schwankungsbewegungen in der turbulenten Grenzschicht führen zu einem im Vergleich zur laminaren Grenzschicht deutlich völligeren Geschwindigkeitsprofil (siehe Skizze). Folglich wird im turbulenten Fall weniger Masse von der Wand abgedr¨ angt und die
Verdr¨ angungsdicke δ1/δ f¨ allt signifikant kleiner aus.
Eine Laval-Düse sei an einen großen Druckkessel angeschlossen. Luft strömt aus
dem Kessel durch die Düse ins Freie. Mit fortschreitender Zeit leert sich der Kessel
langsam. Dabei wird zu einem bestimmten Zeitpunkt t= t1 ein senkrechter Verdich-
tungsstoß am Düsenauslass beobachtet. Was geschieht mit dem Verdichtungsstoß für
t>t1?
Die Lage des Stoßes wird durch das Druckverhältnis zwischen dem Umgebungsdruck pa und dem Gesamtdruck p0 im Kessel bestimmt. Im vorliegenden Fall ist pa fest. Durch die langsame Leerung des Druckkessels sinkt der Gesamtdruck p0 im Kessel mit der Zeit ab. Zum Zeitpunkt t= t1 wird der Stoß am Düsenauslass beobachtet. Für t>t1 ist pa weiterhin fest, während p0 weiter absinkt. Das Verhältnis pa/p0 steigt folglich an. Wie in den untenstehenden Skizzen dargestellt, wandert dabei der Verdichtungsstoß in Richtung des Düsenhalses, bis schließlich kein Verdichtungsstoß mehr existiert, wenn der Stoß im engsten Querschnitt angekommen ist.
Eine zweidimensionale Potentialströmung wird betrachtet. Die Skizze zeigt einige Äquipotentiallinien dieses Strömungsfeldes.
Zeichnen Sie einige Stromlinien in diese Skizze ein und begründen Sie, warum Sie diese so gezeichnet haben!
Gemäß der Theorie der Potentialströmungen stehen Stromlinien (ψ = konst.) und
Äquipotentiallinien (φ = konst.) senkrecht aufeinander. Insofern ist es einfach, in der Skizze einige Stromlinien zu ergänzen. Die Linien (blau) müssen einen rechten Winkel mit den roten Stromlinien bilden. Dargestellt ist eine klassische Staupunktströmung.
Ein symmetrisches Tragflügelprofil wird im Windkanal untersucht. Bei einem Anstellwinkel von 0 Grad (Anstellwinkel = Winkel zwischen der ungestörten Anströmung und der Symmetrieachse des Profils) löst die Strömung nicht ab. Dann wird der Anstellwinkel langsam erhöht und nahe der Hinterkante ist eine Ablösung der Strömung zu beobachten. Auf welcher Seite des Profils (Oberseite oder Unterseite) erwarten Sie die Ablösung?
Warum ist auf der anderen Profilseite keine Ablösung zu erwarten?
Begründen Sie Ihre Antworten physikalisch!
Die Ablösung der Strömung ist auf der Oberseite des Profils zuberwarten. Dort liegt ein positiver (adverser) Druckgradient (dp/dx > 0) vor, d.h. der Druck steigt vom Gebiet der Saugspitze bis zur Hinterkante des Profils wieder an. Die Strömung wird stark verzögert. Zusätzlich zu den viskosen Kräften (molekübedingter Impulstransport) bremsen also auch die Druckkräfte die Strömung ab. Gemäß der Wandbindungsgleichung ist der positive Druckgradient mit einer positiven Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand verbunden. Ist der Druckgradient hinreichend groß, kann es zu einer Umkehrung der Strömungsrichtung, d.h. zur Ablösung mit τw <0
kommen. Auf der Profilunterseite wird die Strömung bei positivem Anstellwinkel beschleunigt. Folglich ist der Druckgradient negativ (dp/dx < 0). Gemäß der Wandbindungsgleichung ist dies mit einer negativen Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand verbunden. Das Profil ist völliger als ein klassisches Blasius-Profil. Die Wandschubspannung steigt entsprechend an und es besteht keine Gefahr, dass die Strömung ablöst.
Wandbindungsgleichung:
ν ∂^2u/∂y^2|y=0= +1/ρ do/dx
Die Flächen–Geschwindigkeits–Beziehung besagt, dass im Falle eines inkompressiblen Fluids (z.B. Wasser) eine Querschnittsreduktion bei der Durchströmung einer
Rohrleitung zu einer Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit führt.
Gilt diese Aussage auch im Falle eines kompressiblen Fluids (z.B. Luft)?
Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich!
Nein, diese Aussage gilt nicht allgemein. Man muss den Fall der Unterschallströmung (Ma <1) und den Fall der Überschallströmung (Ma >1) klar unterscheiden:du
du/u=-1/(1-ma^2)dA/A
Bei Unterschall (Ma < 1) verhält sich die Strömung ähnlich wie im Fall der inkompressiblen Strömung, d.h. eine Querschnittsreduktion führt zu einer Erhöhung der
Strömungsgeschwindigkeit.
Bei Überschall (Ma > 1) drehen sich die Verhältnisse gemäß der obigen Flächen–Geschwindigkeits–Beziehung komplett um, d.h. eine Querschnittsreduktion führt zu einer Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit.
Gegeben ist folgendes zweidimensionales Geschwindigkeitsfeld (kartesische Geschwindigkeitskomponenten), das eine Potentialströmung beschreibt: u = 2 c x y; v = c (x^2 y^2) ; c = konst.
Welche Form weisen die Linien konstanten Druckes (Isobaren) in diesem Strömungsfeld auf?
Eine Potentialströmung mit den folgenden Geschwindigkeitskomponenten liegt vor:
u = 2 c x y; v = c (x^2− y^2) ; c = konst.
In der Potentialströmung gilt die Bernoulli–Gleichung im ganzen Feld:
p + ρ/2 (u^2 + v^2) = konst.
p= konst.−ρ/2 c^2 ((2 x y)^2 + (x^2
− y^2)^2)
p= konst.−ρ/2 c^2 (x^2 + y^2)^2
Erfüllt, falls (x^2 + y^2)^2 = konst1
bzw. (x^2 + y^2) = konst2 −→ Kreisgleichung
Linien konstanten Druckes = Kreise um den Koordinatenursprung!
Beim Reynoldsschen Ansatz zur Beschreibung turbulenter Strömungen werden alle
Strömungsgrößen in einen zeitlich konstanten Mittelwert ui und eine Schwankungsgröße u′i zerlegt. Leiten Sie aus der Massenerhaltungsgleichung für die Momentanwerte
∂ui/∂xi = 0 die Massenerhaltungsgleichung für die Mittelwerte ab.
Massenerhaltung für die Momentanwerte:
∂ui/∂xi = 0
Einsetzen des Reynoldsschen Ansatzes:
Zeitliche Mittelung der Gleichung:
Bei einem senkrechten Verdichtungsstoß treten in Strömungsrichtung sprungartige
Änderungen der Zustandsgrößen auf. Index 1 bezeichne den Zustand vor dem Stoß, Index 2 den Zustand nach dem Stoß. Geben Sie für folgende Größen jeweils an, ob das Verhältnis größer, kleiner oder gleich eins ist:
– Druck p2/p1,
– Ruhedruck p0,2/p0,1,
– Ruhetemperatur T0,2/T0,1 und
– Entropie s2/s1.
p2/p1 > 1 Druck steigt an
p0,2/p0,1 < 1 Stoß füuhrt zu Ruhedruckverlusten
T0,2/T0,1 = 1 Ruhetemperatur laut Energiegl. konstant
s2/s1 > 1 Entropie nimmt über den Stoß zu (2. HS)
Gegeben ist folgende Stromfunktion:
ψ = 2 axy mit: a= konst.
Beschreibt diese Stromfunktion eine Potentialströmung? Begründen Sie Ihre Antwort.
Welche Form weisen die Linien konstanten Druckes (Isobaren) in diesem Strömungsfeld
auf? (ebenfalls mit Begründung)
Aus der Stromfunktion lassen sich folgende Geschwindigkeitskomponenten bestimmen:
u= ∂ψ/∂y = 2 ax
v=−∂ψ/∂x=− 2 ay
Vorraussetzung für eine Potentialströmung ist die Drehungsfreiheit, die im Fall einer
zweidimensionalen Strömung lautet:
ωz =∂v/∂x−∂u/∂y = 0 = 0− 0 = 0
Folglich ist die Strömung drehungsfrei und damit eine Potentialströmung. In der Potentialströmung gilt die Bernoulli–Gleichung im ganzen Feld:
p= konst.−ρ/2 (u^2 + v^2)
p= konst.−ρ/2 (4 a^2 x^2 + 4 a^2 y^2)
p= konst.− 2 ρa^2 (x^2 + y^2)
Eine Isobare liegt vor, falls (x2 + y^2) = konst1
−→ Kreisgleichung
Für die Geschwindigkeitsverteilung in der turbulenten Grenzschicht einer mit der Geschwindigkeit u∞ längs angeströmten ebenen Platte (Länge L) gilt näherungsweise die Geschwindigkeitsverteilung:
u/u∞ =(y/δ)^(1/7)
Warum lässt sich die Wandschubspannung nicht mit Hilfe dieses Ansatzes bestimmen? Begründen Sie Ihre Antwort!
Die Wandschubspannung ist wie folgt definiert:
τw = µ ∂u/∂y|y=0
Einsetzen des Ansatzes für die Geschwindigkeitsverteilung liefert:
τw = µ u∞(∂ (y/δ)^(1/7))/∂y |y=0
=µu∞/δ^(1/7) ∂(y^(1/7))/∂y |y=0
=1/ 7 µu∞/δ^(1/7) y^(−6/7)|y=0 −→ ∞
Fazit: Die Wandschubspannung strebt für y → 0 gegen unendlich und ist folglich physikalisch nicht sinnvoll!
Eine zweidimensionale Parallelströmung wird potentialtheoretisch betrachtet. Die Skizze zeigt einige Stromlinien dieses Strömungsfeldes. Zeichnen Sie einige Äquipotentiallinien in diese Skizze ein und begründen Sie, warum Sie diese so gezeichnet haben!
Gemäß der Theorie der Potentialströmungen stehen Stromlinien (ψ = konst.) und Äquipotentiallinien (φ = konst.) senkrecht aufeinander. Insofern ist es einfach, in der Skizze einige Äquipotentiallinien zu ergänzen. Die Linien (blau) müssen einen rechten Winkel mit den roten Stromlinien bilden.
Skizzieren Sie die Ausbreitung ebener Schallwellen in einer Unter– und in einer Überschallströmung. Kennzeichnen Sie jeweils das von der Druckstörung erfasste Gebiet und tragen Sie den Machschen Winkel in ihre Skizze ein. Wie ändert sich dieser Winkel mit steigender Machzahl?
Für den Machschen Winkel gilt:
α = arcsin (1/Ma)
Folglich wird der Machsche Winkel α mit steigender Mach–Zahl kleiner.
Ein symmetrisches Tragflügelprofil wird im Windkanal untersucht. Bei einem Anstellwinkel von 0 Grad (Anstellwinkel = Winkel zwischen der ungestörten Anströmung und der Symmetrieachse des Profils) löst die Strömung nicht ab. Dann wird der Anstellwinkel langsam erhöht und eine Ablösung der Strömung ist zu beobachten. An welcher Position auf dem Profil erwarten Sie die Ablösung?
Wie verhält sich diese, wenn der Anstellwinkel langsam weiter erhöht wird?
Die Ablösung der Strömung ist auf der Oberseite des Profils nahe der Hinterkante zu erwarten. Dort liegt ein positiver (adverser) Druckgradient (∂p/∂x>0) vor, d.h. der Druck steigt vom Gebiet der Saugspitze bis zur Hinterkante des Profils wieder an. Die Strömung wird stark verzögert. Zusätzlich zu den viskosen Kräften (molekülbedingter Impulstransport) bremsen also auch die Druckkräfte die Strömung ab. Gemäß der Wandbindungsgleichung ist der positive Druckgradient mit einer positiven Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand verbunden. Ist der Druckgradient hinreichend groß, kann es zu einer Umkehrung der Strömungsrichtung, d.h. zur Ablösung mit τw <0 kommen. Mit zunehmendem Anstellwinkel wird auch der positive Druckgradient größer, weshalb der Ablösepunkt ausgehend von der Hinterkante weiter stromaufwärts wandert und das Ablösegebiet immer größer wird.
ν ∂^2u/∂y^2|y=0= +1/ρ dp/dx
Luft (κ = 1.4) befindet sich in einem Kessel unter dem Druck p1 = 5 bar und auf der Temperatur T1 = 293 K. Es strömt durch eine Öffnung mit dem minimalen Querschnitt Amin = 10−3 m2 in die umgebende Atmosphäre mit p2 = 1 bar (Gaskonstante R = 287 J/(kg K).
Ist die Strömung unter- oder überkritisch? Begründen Sie Ihre Antwort!
Wie ändert sich der Massenstrom ˙ m, wenn sich an den minimalen Querschnitt eine trichterförmige Erweiterung bis auf einen Querschnitt A2 = 9 10−3 m2 anschließt?
Das kritische Druckverhältnis beträgt für Luft (κ = 1.4) gemäß Tabelle 1 in der Formelsammlung (alternativ: Gl. (6.8) aus Formelsammlung): p⋆/p1 = 0.528.
Im vorliegenden Falls ist p2/p1 = 0.2 <p⋆/p1. Da der Umgebungsdruck kleiner ist als der kritische Druck, ist die Strömung überkritisch. Im engsten Querschnitt wird daher die Schallgeschwindigkeit (Ma= 1) erreicht. Da die Strömung überkritisch ist, kann der Massenstrom ˙ m = ρ⋆ c⋆ Amin durch die anschließende Erweiterung (ähnlich einer Lavaldüse) nicht mehr beeinflusst werden.
Die Erweiterung verändert zwar die Geschwindigkeitsverteilung hinter dem Auslass, nicht aber den Massenstrom!
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