Nenne das Sysmbol für Mengen und definiere Mengen.
Das Symbol für Mengen lautet “M”.
Unter Mengen (M) verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten, aber für sich unterschiedlichen Objekten.
Eine Menge fasst also Objekte zusammen, die jeweils klar voneinander unterscheidbar sind
Diese Objekte werden “Elemente” von M genannt.
Wie wird ausgedrückt, dass ein Objekt bzw. Element ein Teil einer Menge ist bzw. kein Teil einer Menge ist?
Teil einer Menge: m ∈ M
Kein Teil einer Menge: m ∉ M
Mit welchem Symbol drückt man aus, dass eine Menge keine Elemente hat?
∅
Wie werden die Elemente einer Menge notiert?
Elemente einer Menge notiert man innerhalb geschweifter Klammern, den sogenannten Mengenklammern.
Beispielsweise bezeichnet M := {a, b, c} eine Menge M, die die drei Elemente a, b und c enthält.
Es ist also a ∈ M, b ∈ M und c ∈ M.
Wie wird ausgedrückt, dass Elemente einer Menge eine bestimmte Eigenschaft haben?
Eigenschaften werden notiert als als M = {m|m hat die Eigenschaft e}.
In diesem Fall wäre M die Menge aller Elemente, die die Eigenschaft e haben. Die Angabe einer solchen Eigenschaft ist optional.
Nenne / Beschreibe das Symbol für Teilmengen.
Wann benutzen wir “∪”?
Wie definieren wir eine “Schnittmenge”?
Schnittmengen werden mit “∩” beschrieben.
Wenn wir schreiben A ∩ B, dann bedeutet das:
Wir nehmen nur die Elemente, die sowohl in Menge A als auch in Menge B enthalten sind.
Das Ergebnis ist eine neue Menge mit den gemeinsamen Elementen.
Ausgesprochen wird dies “A geschnitten B“.
Wie wird die Differenz von Mengen angezeigt?
Die Differenz von M und N als M\N angegeben.
Ausgesprochen wird dies „M ohne N“.
Die Menge MN enthält also gerade diejenigen Elemente, die nur in M, aber nicht in N vorkommen.
Was bedeuted disjunkt?
Zwei Mengen M und N heißen disjunkt, wenn M ∩ N = ∅ gilt, die Schnittmenge also leer ist.Zwei disjunkte Mengen haben kein einziges gemeinsames Element, das in beiden Mengen vorkommt.
Was besagen die Assoziativgesetze für Mengen?
Einfach: Die Klammerung ist egal - das Ergebnis bleibt gleich.
Beispiel: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Egal wo ich die Klammern setze, kommt das Gleiche raus.
Was macht das Distributivgesetz? A ∩ (B ∪ C) = ?
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Bedeutung: A wird mit jedem Teil einzeln geschnitten, dann vereinigt.
Morgan-Regeln: Was passiert bei ¬(A ∪ B)?
Wird zu: ¬A ∩ ¬B
Einfach: Das ¬ (Komplement) kehrt ∪ und ∩ um. Aus ∪ wird ∩, aus ∩ wird ∪
Mächtigkeit: Was ist |{1, 2, 3, 4}|?
Regel: Mächtigkeit = Anzahl der Elemente zählen
|{1, 2, 3, 4}| -> 4
Potenzenmenge: Was ist die Potenzmenge von {1, 2}?
Alle möglichen Auswahlmöglichkeiten (wie am Buffet: nichts, nur 1, nur 2, oder beides):
Antwort: {∅, {1}, {2}, {1,2}}
Was versteht man unter Äquivalenzrelation?
Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die drei Eigenschaften erfüllt:
Reflexivität: Jedes Element ist mit sich selbst in Relation (x ~ x)
Symmetrie: Wenn x mit y in Relation steht, dann auch y mit x (x ~ y → y ~ x)
Transitivität: Wenn x ~ y und y ~ z, dann auch x ~ z (x ~ y ∧ y ~ z → x ~ z)
Was sind Äquivalenzklassen?
Eine Äquivalenzklasse = eine Schublade/Gruppe, in die Dinge einsortiert werden, die die gleiche Eigenschaft haben.
Was bedeuten Eindeutigkeit, Repräsentant und Beziehung von Äquivalenzklassen?
Eindeutigkeit von Äquivalenzklassen:
Jedes Element gehört zu genau einer Äquivalenzklasse - nie zu mehreren gleichzeitig.
Beispiel: Anna kann nur Medizin oder Informatik studieren, nie beides gleichzeitig in unserem System.
Repräsentant einer Äquivalenzklasse: Ein beliebiges Element aus einer Klasse, das die ganze Klasse "vertritt".
Beispiel: Aus der Klasse {Anna, Ben, Clara} kann ich Anna als Repräsentanten wählen. Anna "steht für" alle Medizinstudenten.
Beziehungen von Äquivalenzklassen: Zwei Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt (überschneiden sich nicht).
Kartesiches Produkt: Was ist {1, 2} × {a, b}?
Jedes Element aus der ersten Menge wird mit jedem Element aus der zweiten gepaart. Reihenfolge wichtig!
Antwort: {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}
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