14—Erläutern Sie die EWMA-Karte (für die Lage)!
Definition nach Roberts, 1959 : EWMA = Exponentially Weighted Moving Average - gleitender Mittelwert mit geometrisch abnehmenden Gewichten. ALle vergangenen Beobachtungen gehen ein, aber je älter, desto leichter.
Voraussetzung (wie Shewhart): Xᵢ ∼ N(μ, σ²), unabhängig, σ bekannt.
Größe
Definition
Startwert
Z₀ = μ₀
Rekursion
Zₜ = (1−λ)·Zₜ₋₁ + λ·Xₜ, λ ∈ (0, 1]
Stoppzeit
L = inf{ t ≥ 1 : |Zₜ − μ₀| > c·σ_Z }
Varianz (zeitabh.)
σ²_{Z,t} = λ·[1−(1−λ)^{2t}]/(2−λ) · σ²
Asymptotische Varianz
σ²_{Z,∞} = λ/(2−λ) · σ²
Explizite Form (V5 S. 9): Zₜ = (1−λ)ᵗ·z₀ + λ·∑ᵢ₌₁ᵗ (1−λ)^{t−i}·Xᵢ → Summe der Gewichte = 1.
Eigenschaften:
Mit Gedächtnis – alle vergangenen Werte gehen ein, ältere geometrisch schwächer (Summe der Gewichte = 1)
Variable Grenzen zu Beginn → nähern sich für t → ∞ an fixe Grenzen; je größer λ, desto schneller
λ = 1 ⟹ Shewhart-Karte; λ klein ⟹ langes Gedächtnis, sensitiv für kleine Shifts
Empfehlung: λ ∈ [0.1, 0.3] (Knoth: 0.05). Stärke bei kleinen Shifts (a < 2σ)
Kalibrierung von c über Sekanten-/Newton-Verfahren (keine geschlossene Formel)
📌 Erklärkasten – die Grundidee bildlich
Stell dir die EWMA-Karte wie einen Wassereimer mit Loch vor: Jede neue Beobachtung Xₜ kippt einen Anteil λ ihres Wertes in den Eimer, gleichzeitig läuft der Anteil λ vom alten Inhalt ab. Was bleibt, ist eine geglättete Version der Vergangenheit.
Bei λ = 0.1: Der Eimer ist riesig, neue Werte verändern den Pegel kaum – kleine, anhaltende Shifts werden über Zeit aber sichtbar. Großer Sprung? Dauert lange, bis der Pegel reagiert.
Bei λ = 0.5: Eimer klein, Pegel schwankt schnell mit den letzten Werten – fast wie Shewhart.
Die Shewhart-Karte ist wie ein Sieb (alles fließt sofort durch, kein Gedächtnis). Die EWMA ist der Eimer dazwischen.
Brötchen-Beispiel: Wenn die Maschine schleichend driftet (Mehl wechselt → 100 g, 99 g, 98 g, 97 g, 96 g …), sieht Shewhart bei jedem Einzelwert nur „im Toleranzbereich". Die EWMA dagegen mittelt die Folge und schlägt deutlich früher Alarm – weil der gleitende Durchschnitt die Grenze überschreitet, bevor irgendein einzelnes Brötchen es tut.
15—Klären Sie den Effekt des Glättungsparameters λ
Funktion: λ ∈ (0, 1] steuert das Gedächtnis der EWMA-Karte: wie stark die jüngste Beobachtung ins Gewicht fällt vs. wie lange die Vergangenheit nachwirkt.
Grenzfälle:
λ = 1: kein Gedächtnis ⟹ Shewhart-Karte
λ → 0: unendliches Gedächtnis, kaum noch reaktiv
Formel
⟹ kleines λ ⟹ kleine Varianz ⟹ engere fixe Grenzen
λ klein (z.B. 0.1):
Engere fixe Grenzen
Kleine Shifts werden schnell erkannt
Bei großen Shifts träge (Karte muss erst „gefüllt" werden)
Schlechteres Worst-Case-Verhalten
λ groß (z.B. 0.5):
Weitere fixe Grenzen
Große Shifts werden schnell erkannt (aber kaum besser als Shewhart)
Kleine Shifts schlechter erkannt
Karte „vergisst" schnell, besseres Worst-Case-Verhalten
Praxis: Da meist kleine, schleichende Änderungen relevant sind ⟹ λ ∈ [0.1, 0.3] (Knoth: 0.05).
📌 Merksatz: Kleines λ = sensitiv für kleine Shifts, träge bei großen. Großes λ = reaktiv bei Sprüngen, blind für leichte Drifts. Der Schnittpunkt der ARL-Kurven (V6 S. 18) zeigt, ab welcher Shift-Größe sich das Blatt wendet.
16—Diskutieren Sie diverse ARL-Profile (Bilder werden vorgelegt)
1. Klassisches (zero-state) ARL-Profil: E_μ(L) gegen μ
Alle Kurven starten bei μ = 0 mit ARL₀ = 500 (Kalibrierung)
λ = 0.1 (blau): kleinster ARL₁ bei kleinen Shifts, flach bei großen
λ = 1 (rot, = Shewhart): am schnellsten bei großen Shifts, lahm bei kleinen
Schnittpunkte der Kurven ⟹ ab welcher Shift-Größe ein anderes λ besser wird
Bedingte Verspätung E_τ(L − τ + 1 | L ≥ τ) gegen τ (fix vs. variable Grenzen)
bei variablen Grenzen: anfangs deutlich schneller Erkennung, später näher an fixe Grenzen
bei fixen Grenzen: konstante Verspätung über alle τ
variable Grenzen geben anfangs schneller Alarm, später ähnlich
📌 Merksatz:
Zero-state ARL = "Wenn der Shift gleich am Anfang passiert, wie lang bis Alarm?"
Bedingte Verspätung = "Wenn der Shift erst bei τ passiert, wie lang dauert es dann noch?"
Bei Shewhart hängt die Verspätung nicht von τ ab (Gedächtnislosigkeit), bei EWMA/CUSUM schon ⟹ deshalb diese zweite Sichtweise nötig.
17—Nennen Sie (ohne in Details zu gehen) Methoden zur ARL-Berechnung bei EWMA.
Drei Standardverfahren, alle liefern dieselbe ARL.
1. Simulation (Monte Carlo)
-Viele Realisierungen von L erzeugen → L̄
-Bei ARL ≈ 500 ⟹ ca. 5·10⁸ Zufallszahlen
-Immer möglich, aber rechenintensiv
2. Markov-Ketten-Approximation (Brook & Evans 1972)
-Bereich (−c·σ_{Z,∞}, +c·σ_{Z,∞}) in 2r+1 Teilbereiche zerlegt
-ARL = (I − Q)⁻¹ · 1
-r > 100 ⟹ hohe Genauigkeit, Matrixinversion ≥ 200×200
-Standardmethode
3. Integralgleichung für L
-Lineares Gleichungssystem mit ähnlicher Dimension
-Kleinere Systeme bei gleicher Genauigkeit als Markov
📌 Brötchen-Beispiel zu den ARL-Berechnungsmethoden
Stell dir vor, du willst wissen: „Wie lange läuft meine EWMA-Karte im Schnitt, bis sie das erste Mal Alarm gibt, wenn die Brötchen-Maschine sauber bei 100 g läuft?" (also ARL₀).
1. Simulation: Du simulierst 10 Millionen mal eine Bäckerei-Schicht: Maschine läuft, EWMA rechnet mit, irgendwann Alarm → Tag notieren. Am Ende mittelst du alle 10 Mio. Alarmzeiten. Ergebnis: ARL ≈ 500 Tage. Problem: Bei λ = 0.1 dauert ein Durchlauf locker 500 Tage „simulierter" Zeit – mal 10 Mio. ⟹ riesiger Rechenaufwand.
2. Markov-Kette: Du teilst den EWMA-Wertebereich (z.B. von 94 g bis 106 g) in 200 schmale Streifen: Streifen 1 = [94.0, 94.06], Streifen 2 = [94.06, 94.12], … Dann rechnest du: „Wenn der EWMA gerade in Streifen 73 ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit landet er beim nächsten Brötchen in Streifen 74? In 72? Außerhalb (Alarm)?" Diese Übergangsmatrix Q (200×200) löst dann das Gleichungssystem (I−Q)⁻¹·1 = ARL. Vorteil: Eine Matrixinversion statt 10 Mio. Simulationen.
3. Integralgleichung: Statt diskreter Streifen formulierst du direkt eine Gleichung: „Die erwartete Restlaufzeit, wenn ich gerade beim Wert z bin, ist 1 + Integral über alle möglichen nächsten Werte z̃." Numerisch löst du das mit ähnlichem Aufwand wie Markov, aber meist eine Spur genauer.
Kurz: Simulation = jede Schicht durchspielen. Markov = Brötchengewichts-Bereich in Schubladen sortieren. Integralgleichung = Schubladen unendlich fein ⟹ Formel.
18—Erläutern SIe die CUSUM-Karten (für die Lage)!
CUSUM = Cumulative Sum Control Chart
> Karte mit kurzem Gedächtnis: kumuliert Abweichungen vom Sollwert, setzt sich beim letzten Nulldurchgang selbst zurück.
Voraussetzungen: Beobachtungen X₁, X₂, … bzw. Losmittel X̄₁, X̄₂, … (oft normalverteilt, σ bekannt).
Formeln (einseitig, nach oben)
Sₙ = max{0, Sₙ₋₁ + (Xₙ − k)}, S₀ = 0
k = (μ₀ + μ₁)/2 (Referenzwert, gegen welchen Shift kalibriert wird)
L = inf{ n ∈ ℕ : Sₙ > h·σ_X } (h = kritischer Wert)
kurzes Gedächtnis - nur die letzten n − N₀ Beobachtungen zählen, wobei N₀ = letzter Nulldurchgang
originär einseitig; zwei einseitige Karten => zweiseitiges Schema
Stärke bei kleinen, anhaltenden Shifts; durch k auf bestimmten Shift einstellbar
Drei Herleitungen (bei Normalverteilt): SPRT, Referenzwert, V-Maske
Wahl von k und h:
k klein: auch kleine Shifts werden erkannt, aber mehr Fehlalarme
k groß: kleine Shifts bleiben unentdeckt
h kalibriert ARL₀ (numerisch über Markov-Kette oder Integralgleichung nach Waldmann 1986)
📌 Merksatz: Shewhart schaut nur den aktuellen Wert an, EWMA gewichtet alle Vergangenheit, CUSUM sammelt Abweichungen seit dem letzten „Reset" auf. Sobald die Summe zu groß wird ⟹ Alarm. Reagiert besonders schnell auf kleine, dauerhafte Drifts.
18b Brötchenbeispiel Cusum
Brötchen-Beispiel zur CUSUM
Sollwert: 100 g. Du fürchtest einen Abrutsch auf 98 g ⟹ Referenzwert k = 99 g (Mitte zwischen Soll und befürchtetem Wert).
Idee: Für jedes Brötchen zählst du, wie viel es unter 99 g liegt, und sammelst diese „Strafpunkte" auf. Bei zu vielen Punkten ⟹ Alarm.
Solange alles okay läuft (≈ 100 g): Die meisten Brötchen liegen über 99 g ⟹ Strafpunkte negativ ⟹ Konto bleibt bei 0 (durch max{0, …} setzt es sich immer wieder zurück).
Wenn die Maschine abrutscht (≈ 98 g): Fast jedes Brötchen liegt jetzt unter 99 g ⟹ Punkte häufen sich konsequent an ⟹ Konto wächst ⟹ irgendwann Alarm.
Der Clou: Kein einzelnes 98-g-Brötchen reißt die Shewhart-3σ-Grenze. Aber die CUSUM merkt sich, dass es schon das fünfte zu leichte in Folge ist.
Drei Karten, drei Persönlichkeiten:
Shewhart = vergesslicher Türsteher (schaut nur den Aktuellen an)
EWMA = jemand, der alles mit fallender Erinnerung mittelt
CUSUM = Strichliste-Führer: zählt Verstöße, bis das Maß voll ist
19—Cusum & Optimalität
CUSUM ist die schnellste Karte für einen vorher festgelegten Shift.
Optimalitätssatz (Moustakides 1986): CUSUM mit k = (μ₀ + μ₁)/2 minimiert die mittlere Verspätung unter allen Karten mit gleichem ARL₀ – für genau diesen einen Shift.
Warum CUSUM gut ist (V7 S. 13):
Shewhart: nur aktueller Wert ⟹ vergesslich
EWMA: alle Werte gewichtet ⟹ träge
CUSUM: alle Werte seit letztem Nulldurchgang ⟹ guter Kompromiss
Aber:
Optimal nur für genau den Shift, auf den k kalibriert wurde
Bei anderen Shifts kann EWMA mit passendem λ besser sein
⟹ shift-spezifisch optimal, nicht universell
20—Führen Sie einen groben Vergleich der Karten Shewhart, EWMA und CUSUM durch!
Karte
Gedächtnis
Stärke
Schwäche
Steuerung
Shewhart
keins (nur aktueller Wert)
große Shifts (a > 2σ)
kleine Shifts werden spät / nie erkannt
c (meist 3)
Shewhart + LR
begrenzt (letzte k Werte)
mittlere Shifts
mehr Fehlalarme, Neukalibrierung nötig
WECO-Regeln
EWMA
alle Werte (geometrisch fallend)
kleine Shifts (a < 2σ)
langsam bei großen Sprüngen
λ + c
CUSUM
seit letztem Nulldurchgang
optimal für genau einen Shift
shift-spezifisch
k + h
Kernaussagen:
Großer Fehler ⟹ Shewhart schneller
Kleiner Fehler ⟹ EWMA oder CUSUM schneller
Laufregeln sind in der Praxis populärer als EWMA / CUSUM (einfacher zu erklären)
ARL₁ bei a = 0.5 (ARL₀ = 370): Shewhart ≈ 155, EWMA/CUSUM passend gewählt deutlich kleiner
Optimierung:
Shewhart: schwer (c = 3 ist quasi gesetzt)
EWMA: λ und c gemeinsam optimierbar
CUSUM: k auf erwarteten Shift, h auf gewünschtes ARL₀
📌 Merksatz: Es gibt keine universell beste Karte. Shewhart für grobe Sprünge, CUSUM wenn man einen konkreten Shift fürchtet, EWMA als flexibler Mittelweg. In der Praxis: Shewhart + Laufregeln, weil pragmatisch.
20 b: Anschaulicher Kartenvergleich
Brötchen-Beispiel zum Vergleich der drei Karten
Du betreibst eine Bäckerei. Sollwert: 100 g pro Brötchen. Heute geht etwas schief – aber was? Drei verschiedene Szenarien, drei verschiedene Karten reagieren unterschiedlich.
Szenario 1: Plötzlicher Crash – Maschine fällt schlagartig auf 92 g
Shewhart: ⚡ „92 g ist mehr als 3σ unter 100 g – ALARM!" → reagiert beim ersten Brötchen
EWMA (λ=0.1): 🐢 Der Eimer braucht 5–10 Brötchen, bis der Pegel die Grenze reißt
CUSUM: 🚶 Auch ein paar Brötchen verzögert
Sieger: Shewhart
Szenario 2: Schleichender Drift – pro Tag 0.3 g leichter (100 → 99.7 → 99.4 → …)
Shewhart: 😴 Sieht nichts. Jedes einzelne Brötchen ist im 3σ-Bereich. Erst nach Wochen Alarm.
EWMA (λ=0.1): 👀 Mittelwert sinkt langsam mit, irgendwann reißt er die Grenze
CUSUM (k=99): 📊 Strichliste füllt sich konsequent → früher Alarm als EWMA
Sieger: CUSUM
Szenario 3: Kleiner, anhaltender Shift – Maschine läuft jetzt bei 98 g statt 100 g
Shewhart: 😴 98 g ist zu nah am Soll, kein Einzelwert reißt die Grenze
EWMA: ✅ Pegel sinkt, Alarm in moderater Zeit
CUSUM: ✅ Wenn k = 99 (also auf genau diesen Shift kalibriert) → schnellster Alarm
Sieger: CUSUM für genau diesen Shift, EWMA als flexibler Allrounder
📌 Türsteher-Vergleich (in einem Bild):
Persönlichkeit
Vergesslicher Türsteher – schaut nur den Aktuellen an, erkennt nur Auffälligkeiten beim Eintreten
Türsteher mit Notizblock – merkt sich die letzten paar Gäste, erkennt Muster
Türsteher mit gewichtetem Eindruck – die letzten Gäste sind ihm noch frisch, ältere verblassen
Türsteher mit Strichliste – zählt jeden, der unter Mindestgröße ist, schlägt Alarm wenn das Maß voll ist
Kernaussage: Es gibt keine universell beste Karte. Wer schnellen Crash erwartet → Shewhart. Wer schleichende Drifts fürchtet → EWMA oder CUSUM. Wer einen konkreten Shift im Visier hat → CUSUM mit passendem k.
Zuletzt geändertvor 12 Tagen
