Lagerhaltung

F7/V1

1. Ziel: Wann und wie viel bestellen/produzieren, um Lagerhaltungskosten zu minimieren.

2. Ergebnis: optimale Bestell-/Lagerhaltungspolitik.

3. Klassifikation: statisch vs. dynamisch; deterministisch vs. stochastisch; Ein- vs. Mehrprodukt.

4. Produktion ≈ Beschaffung (gleichartige Struktur).

F7,10,29-31/V1

1. Zeitraum: statisch/dynamisch.

2. Unsicherheit: Nachfrage, Wiederbeschaffungszeit, Störungen.

3. Kapazitäten/Restriktionen.

4. Fehlmengen: Backorders vs. Lost Sales.

5. Überwachung: periodisch vs. kontinuierlich.

6. Zeitachse: diskret vs. kontinuierlich.

7. Anzahl Produkte.

F8/V1

1. Fixkosten Lager (Einrichtung/Unterhalt) – operativ meist irrelevant.

2. Bestell-/Rüstfixkosten cb (z.B. Transport, Verwaltung, Rüsten).

3. Variable Stück-/Produktionskosten cv (meist proportional).

4. Lagerkosten h (Zinsen/Kapitalbindung, Versicherung, Verderb/Schwund).

5. Fehlmengenkosten (Backorders vs. Lost Sales).

F9,31/V1

1. Bestellpunkt s (r).

2. Bestellzyklus (Intervall).

3. Bestellmenge q.

4. Bestellniveau S.

5. Wiederbeschaffungszeit L (deterministisch/stochastisch).

zusätzliche Indizes je nach Problem möglich

F14-17/V1

Diskret:

Verteilungsfunktion

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Bsp: Binominial, Poisson => Wertebereich schätzbar/abzählbar

Grafik (Stabdiagramm)

——————————————————————————————-

Stetig:

Dichtefunktion/Wahrscheinlichkeitsdichte

Bsp: Exponential, Normal, Gamma => Dichte

Grafik (glatte Kurve)

Normal

Gamma

F16/V1

F17/V1

f(x)=0 für x≤0 => Dichte für negative Werte ist 0

→ nur positive Werte (Zeiten/Mengen).

F18,19/V1

1. Erwartungswert E[X]: Lage.

2. Varianz Var[X], σ: Streuung.

3. Normal: E=μ, Var=σ².

4. Gamma: E=p/b, Var=p/b².

F19/V1

Verteilungsannahme + Stichprobenmomente

→ Parameterschätzung.

F20/V1

Summe unabhängiger ZV: Verteilung = Faltung.

Diskret

Stetig

???

F29/V1

1. Periodisch: Bestand in Intervallen; Verzögerung → Sicherheitsbestand nötig.

2. Kontinuierlich: Bestand stets bekannt; Annahme oft Nachfragen 0/1.

F30,31/V1

1. Kontinuierlich: zufällige Zwischenankunftszeiten; sinnvoll bei langen L und großen Ereignisabständen.

2. Diskret: periodischer Nachfrageprozess (Zeitreihe)

F4/V2

1. Zeitlich geordnete Folge von Beobachtungen eines Parameters.

2. Dient als Basis für Prognosemodelle.

F32-34,40/V1

1. Physischer Bestand I^p: tatsächlich vorhanden (Basis Lagerkosten).

2. Bestellbestand I^o: bestellt, noch unterwegs.

3. Fehlbestand I^f: kumulierte unbediente Nachfrage (Rückstände).

4. Fehlmenge d^F_t: unbedienter Teil der Periodennachfrage.

5. Nettobestand I^n=I^p−I^f (kann negativ sein → Höhe der Rückstände).

6. Disponibler Bestand I^d=I^n+I^o.

F36-39/V1

α-Servicegrad (Ereignis)

Periode

Zyklus

=> ob Fehlmenge auftritt

β-Servicegrad (Menge)

=> Höhe der Fehlmenge

γ-Servicegrad (Zeit/Menge)

F33,34,40; 29-31 zu Überwachung/V1

Deutung: s unterschritten → Bestellung q; während l Risiko/Fehlbestand; Ankunft → Sprung nach oben.

F10,30,31,43-46/V1

1. D_t: Nachfrage je Periode (i.i.d.).

2. L: Zeit zwischen Bestellung und Verfügbarkeit (oft Zufallsvariable).

3. Y: Summe der Nachfragen im Risiko-/WZ-Zeitraum (bei deterministischem l: Summe von l D_t).

F44-47/V1

Deterministisches l:

• Diskret: l-fache Faltung (Tabellenbildung).

• Stetig:

Stochastisches L (diskret):

• Mischung

• Momente:

F9,11,12/V2

Unregelmäßig: stark schwankend (hoher v), sporadisch (viele Nullen, hoher Störpegel).

Regelmäßig: Konstant (± Saison), Trend (± Saison).

ACF-Muster: Saisonalität → periodische Peaks; Trend → langsames Abklingen.

F10/V2

1. Niveau (G), Trend (T), Zyklus (C), Saison (S), Irregulär (I).

2. Additiv oder multiplikativ kombiniert.

F12/V2

1. Hohe ACF bei kleinen Lags → Trend.

2. Periodische ACF-Peaks → Saison.

3. Schneller Abfall → konstantes Niveau.

F15,16/V2

1. Konstantes Niveau ohne Trend/Saison.

2. Minimiert SQA über Fenster n.

3. Kleines n: sensibel; großes n: glatter. Typisch 3–12.

F14,15,18,19/V2

• Modell: konstantes Niveau + Zufallsfehler (E=0, Var=σ²).

• Schätzer: b0 (z.B. GD/Glättung) aus Vergangenheitswerten.

• Prognose:

F15/V2

???

F4-6/V3

1. Setting: statisch, Einprodukt, deterministische konstante Nachfrage; kontinuierliche Überwachung.

2. Unendliche Liefer-/Fertigungsgeschwindigkeit: keine Bestell-/Einlagerungsdauer; Bestellung steht sofort zur Verfügung.

3. Keine Fehlmengen zugelassen.

4. Kosten: fixe Bestell-/Rüstkosten cb, variable Stück-/Produktionskosten cv, lineare Lagerkosten h.

5. Planungshorizont/Lagerkapazität „unendlich“; Anfangsbestand 0; externer Lieferant mit unbeschränkter Kapazität.

F6,7/V3

• Notation: Nachfrage d (ME/ZE), q Bestellmenge, r= q/d Zykluslänge.

• Sägezahn-Bestand: linearer Abbau mit Steigung −d; Ø-Bestand = q/2.

• Kosten pro ZE:

  • Bestellfixkosten/ZE: cb/r = d·cb/q

  • Bestellstückkosten/ZE: d·cv (unabhängig von q)

  • Lagerkosten/ZE: h·(Ø-Bestand) = h·q/2

  • Gesamt: C(q) = d·cb/q + d·cv + (h/2)·q.

• Minimierung:

Eigenschaften im Optimum:

• Grenz-Bestellkosten/ZE = Grenz-Lagerkosten/ZE.

• Bestellfixkosten/ZE = Lagerkosten/ZE.

• q* unabhängig von cv.

F10,11/V3

• Zusatzparameter: cf Fehlmengenkostensatz.

• Variablen: S Bestellniveau, s Bestellpunkt, q=S−s, Zyklus r=q/d.

• Ø-Lagerbestand und Ø-Fehlbestand aus Dreiecken (Diagramm S–s).

• Kosten pro ZE:

  • Bestellfix + Stückkosten: d·cb/q + d·cv.

  • Lagerkosten/ZE: h·S²/(2q).

  • Fehlmengenkosten/ZE: cf·(q−S)²/(2q).

=>

Minimierung (∇C=0, Hesse positiv definit):

F13,14/V3

???

F7,9/V3

1. (i) Bestellfixkosten/ZE = Lagerkosten/ZE im Optimum.

2. (ii) Grenz-Bestellkosten/ZE = Grenz-Lagerkosten/ZE (1. Ordnung).

3. (iii) q* ist unabhängig von den Bestellstückkosten cv (nur Niveauverschiebung d·cv).

4. Zusatz: Kostenfunktion ist „flach“ um q* (Über-/Unterschätzung wirkt wenig; besser leicht überschätzen).

F5,37,39/V4

1. Regelsystem, das bestimmt:

   • wann bestellt wird (Bestellpunkt s oder Zyklus r),

   • wie viel bestellt wird (Bestellmenge q oder Auffüllen auf S).

2. Ziel: Unsicherheit im Risikozeitraum (Überwachungsintervall + Wiederbeschaffungszeit) abfedern; Servicegradvorgabe (β) einhalten.

F6/V4

1. Fixiere s (Bestellpunkt bezogen auf disponiblen Bestand) und q (Bestellmenge).

2. Regel: Wenn I^d ≤ s (kontinuierlich: genau bei s), dann bestelle q.

3. Praxisvorteil: konstante q erlaubt einfache Berücksichtigung von Einkaufs-/Transportbeschränkungen.

F7,8,19-22,25-28,40/V4

1. Kontinuierlich: Auslösung exakt bei s; kein Defizit/Undershoot.

2. Periodisch:

   • r=1: Überwachung 1× je Periode; Undershoot U möglich (I^d zu Beginn der WZ < s).

   • r>1: zusätzlich Verzögerung Δ∈{0,…,r−1}; äquivalent zu stochastischem L = l+Δ.

3. Folge: Periodisch erfordert Korrektur von s um U (und ggf. Δ).

F7,8,10-17/V4

???

F8,9/V4

???

F8/V4

Bedeutung:

• Unterschreiten s → Bestellung q; während L fällt Bestand weiter; Fehlmengen akkumulieren B; bei Eintreffen wird rückstandsfrei nachgeliefert.

  
  

F9-11/V4

???

F19-21,40/V4

1. Defizit U: Differenz zwischen s und disponiblem Bestand zu Beginn der WZ (weil Auslösung erst bei Überwachung).

2. U ist zufällig; muss bei ŝ berücksichtigt werden, um β-Ziel zu erreichen.

F19-21/V4

Bedeutung:

• Bestellung bei Überwachung am Periodenende; Start der WZ mit Undershoot U; Risikozeitraum: Nachfrage Y; Ankunft → Auffüllung um q.

  
  

F19-22/V4

• Bestimme Verteilung des Undershoot U (unabhängig von Y; Approx-Formeln für E[U], Var[U]).

• Setze Y* = Y + U (Summe; unabhängig).

  • E[Y*] = E[Y]+E[U], Var[Y*] = Var[Y]+Var[U].

• Behandele wie kontinuierlichen Fall mit Y*: finde kleinsten ŝ mit E[B] = (1−β)·q̂, d.h. mit I_end = (Y*−s)^+.

F29-33/V4

Ziel:

Ableitungen (Lagrange):

1. Iteratives Verfahren:

   • initialisiere (λ̂=0, q̂=EOQ, ŝ sequentiell), dann abwechselnd q̂, ŝ, λ̂ aktualisieren, bis Konvergenz.

   Erkenntnis: Vorteil ggü. sequentiell steigt mit h und L.

F37,38/V4

• Fixiere r (Bestellzyklus) und S (Bestellniveau).

• Regel: Alle r Perioden bestellen, so dass I^d auf S aufgefüllt wird.

• Periodische Überwachung (Überwachungsintervall = r).

  
  

F39,40/V4

1. Fixiere s (Bestellpunkt) und S (Bestellniveau) für gegebenes Überwachungsintervall (r=0 kontinuierlich oder r>0 periodisch).

2. Regel: Prüfe in festen Abständen (oder kontinuierlich); wenn I^d ≤ s, bestelle Menge, die auf S auffüllt.

3. Spezialfall: Bei kontinuierlicher ÜW und 0/1-Nachfragen ist (s,S) äquivalent zu (s,q).