(Folie 3–4) Was zeigt ein Streudiagramm?
Ein Streudiagramm zeigt die gemeinsame Verteilung zweier metrischer Variablen.
Jeder Punkt entspricht einem Wertepaar der beiden Variablen.
(Folie 4) Was interessiert bei einem Streudiagramm besonders?
Es interessiert:
die Form des Zusammenhangs
die Stärke des Zusammenhangs zwischen den beiden Variablen.
(Folie 4) Was ist ein wichtiger Spezialfall eines Zusammenhangs?
Ein wichtiger Spezialfall ist der lineare Zusammenhang.
Dieser lässt sich im Streudiagramm durch eine Gerade darstellen.
Welche Gerade verwendet wird, wird später bei der linearen Regression behandelt.
(Folie 5) Was ist das Abweichungsprodukt eines Messwertpaares?
Für jedes Wertepaar (x_i,y_i):
Abweichungsprodukt
Dabei wird multipliziert:
Abweichung von x_i vom Mittelwert
Abweichung von y_i vom Mittelwert
(Folie 6) Wie wird die Kovarianz berechnet?
Die Kovarianz ist
die Summe aller Abweichungsprodukte
dividiert durch n-1.
Kurz:
Summe der Abweichungsprodukte ÷ (n-1)
(Folie 6) Wie wird die Kovarianz interpretiert?
sxy > 0 → positiver linearer Zusammenhang
sxy = 0 → kein linearer Zusammenhang
sxy < 0 → negativer linearer Zusammenhang
(Folie 7) Welche Eigenschaft besitzt die Kovarianz bei fehlendem linearem Zusammenhang?
Besteht kein linearer Zusammenhang, dann gilt:
Kovarianz = 0
(Folie 7) Wie verhält sich die Kovarianz bei einer konstanten Variablen?
Hat eine Variable für alle Personen denselben Messwert, dann gilt:
(Folie 7) Was bedeutet eine große Kovarianz?
Je größer der Betrag der Kovarianz (positiv oder negativ),
desto stärker bzw. enger ist der lineare Zusammenhang.
(Folie 7) Warum lassen sich Kovarianzen verschiedener Datensätze nicht immer vergleichen?
Ein Vergleich ist nur sinnvoll, wenn
dieselben Skalen der Variablen verwendet wurden.
(Folie 7) Ist die Kovarianz invariant gegenüber linearen Transformationen?
Nein.
Die Kovarianz ist nicht invariant gegenüber linearen Transformationen.
(Folie 8) Wie entsteht der Korrelationskoeffizient aus der Kovarianz?
Die Kovarianz wird dividiert durch:
Standardabweichung von x
Standardabweichung von y
also:
(Folie 8) Welche Bedeutung hat r = +1?
r = +1
→ perfekter positiver linearer Zusammenhang
(Folie 8) Welche Bedeutung hat r = 0?
r = 0
→ kein linearer Zusammenhang
(Folie 8) Welche Bedeutung hat r = -1?
r = -1
→ perfekter negativer linearer Zusammenhang
(Folie 8) Welchen Wertebereich besitzt der Korrelationskoeffizient?
Der Korrelationskoeffizient liegt immer zwischen
−1 und +1
(Folie 8) Welche wichtige Eigenschaft besitzt der Korrelationskoeffizient?
Der Korrelationskoeffizient ist
invariant gegenüber linearen Transformationen.
(Folie 9) Welche Effektstärken schlägt Cohen (1988) für Korrelationen vor?
r ≈ .10 → schwache Korrelation
r ≈ .30 → mittlere Korrelation
r ≈ .50 → große Korrelation
(Folie 9) Wovon hängt die Beurteilung einer Korrelationsstärke zusätzlich ab?
Sie hängt stark vom jeweiligen Kontext ab.
(Folie 10) Wann ist die Produkt-Moment-Korrelation gleich 0?
Bei keinem linearen Zusammenhang
gilt:
(Folie 10) Wann ist die Korrelation positiv bzw. negativ?
positiv → gleichsinniger linearer Zusammenhang
negativ → gegensinniger linearer Zusammenhang
(Folie 10) Was bedeutet ein großer Betrag der Korrelation?
Je größer der Betrag von r,
(Folie 10) Wann nimmt die Korrelation ihre Extremwerte an?
+1 → perfekter positiver linearer Zusammenhang
−1 → perfekter negativer linearer Zusammenhang
(Folie 10) Welche Transformation verändert die Korrelation nicht?
Die lineare Transformation
verändert den Korrelationskoeffizienten nicht.
(Folie 11) Welche Arten von Hypothesen über Korrelationen können grundsätzlich getestet werden?
Die Vorlesung nennt folgende Hypothesentests:
1-Stichprobentest: H_0: rho=0
1-Stichprobentest: H_0: rho= rho_0 (wird in der Vorlesung nicht behandelt)
Vergleich zweier unabhängiger Korrelationen: H_0: rho_1= rho_2
Vergleich mehrerer unabhängiger Korrelationen: H_0: rho_1= rho_2= … = rho_k
Vergleich zweier Korrelationen innerhalb einer Stichprobe: H_0: rho_{ab}= rho_{ac}
Vergleich zweier weiterer Korrelationen innerhalb einer Stichprobe: H_0: rho_{ab}= rho_{cd}
(Folie 12) Welche Nullhypothese wird beim 1-Stichprobentest behandelt?
Es wird geprüft:
H_0:\rho=0
→ In der Population besteht kein linearer Zusammenhang zwischen den Merkmalen.
(Folie 12) Welche Prüfgröße wird beim Test auf H_0: p (roh)=0 verwendet?
Die Prüfgröße lautet:
mit
r = Stichprobenkorrelation
n = Stichprobenumfang
(Folie 12) Welcher Verteilung folgt die Prüfgröße unter der Nullhypothese?
Unter Gültigkeit von H_0 ist die Prüfgröße
t-verteilt
n-2 Freiheitsgraden.
(Folie 12) Wozu dient diese Prüfgröße?
Mit der Prüfgröße wird entschieden,
ob die Nullhypothese
„In der Population besteht kein linearer Zusammenhang.“
verworfen wird oder nicht.
(Folie 13) Welche Werte werden im Beispiel verwendet?
Gegeben sind:
n = 18
r = 0,62
Signifikanzniveau α = 0,01
zweiseitiger Test
(Folie 13) Welche Prüfgröße ergibt sich im Beispiel?
Es ergibt sich:
t = 3,16
(Folie 13) Wie viele Freiheitsgrade besitzt das Beispiel?
Da
df=n-2
und
18-2=16,
ergibt sich:
16 Freiheitsgrade
(Folie 13) Welcher kritische t-Wert wird im Beispiel verwendet?
Für
α = 0,01
zweiseitigen Test
kritischer t-Wert = 2,92
(Folie 13) Welche Entscheidung wird im Beispiel getroffen?
3,16 > 2,92
wird
verworfen.
(Folie 13) Was bedeutet die Entscheidung im Beispiel?
Die Nullhypothese
„Die Populationskorrelation ist 0.“
wird verworfen.
(Folie 13) Was zeigt die Folie zusätzlich zur Berechnung?
Die Folie zeigt, dass in R
der kritische t-Wert
sowie der p-Wert
berechnet werden können.
(Folie 14) Wann wird der Test H_0:\rho_1=\rho_2 verwendet?
Der Test wird verwendet, um zu prüfen,
ob sich zwei Korrelationen aus zwei unabhängigen Stichproben unterscheiden.
(Folie 14) Welche Nullhypothese wird beim Vergleich zweier Korrelationen geprüft?
Nullhypothese
H_0:\rho_1=\rho_2
→ Beide Populationskorrelationen sind gleich.
(Folie 14) Welche ungerichtete Alternativhypothese wird verwendet?
Alternativhypothese
H_1:\rho_1 (ungleich) \rho_2
→ Die beiden Populationskorrelationen unterscheiden sich.
(Folie 14) Welche gerichteten Alternativhypothesen nennt die Vorlesung?
Es werden zwei Möglichkeiten genannt:
(Folie 14) Welche Größen gehen in die Prüfgröße zum Vergleich zweier Korrelationen ein?
Die Prüfgröße verwendet:
Fisher-Z-Wert der ersten Korrelation (Z_1)
Fisher-Z-Wert der zweiten Korrelation (Z_2)
Stichprobenumfang n_1
Stichprobenumfang n_2
(Folie 14) Welcher Verteilung folgt die Prüfgröße unter der Nullhypothese?
Unter Gültigkeit der Nullhypothese ist die Prüfgröße
approximativ standardnormalverteilt.
(Folie 15) Warum wird die Fisher-Z-Transformation verwendet?
Sie ist für die inferenzstatistische Absicherung von Stichprobenkorrelationen von großer Bedeutung.
Grund:
Z-Werte sind approximativ normalverteilt.
(Folie 15) Warum werden Korrelationen transformiert?
Korrelationen werden transformiert,
weil sie
zwischen −1 und +1 begrenzt sind
und deshalb nicht normalverteilt sind.
(Folie 15) Welche Formel beschreibt die Fisher-Z-Transformation?
(Folie 15) Welche Formel wird zur Rücktransformation verwendet?
Die Rücktransformation lautet:
(Folie 16) Welche Fragestellung wird im Beispiel untersucht?
Es wird geprüft,
ob der Zusammenhang zwischen
Intelligenz
und verbaler Ausdrucksfähigkeit
bei Kindern mit höherem sozioökonomischem Status stärker ist als bei Kindern mit niedrigerem sozioökonomischem Status.
(Folie 16) Welche Werte liegen für die erste Stichprobe vor?
Niedriger sozioökonomischer Status
n_1=60
r_1=0,38
Z_1=0,40
(Folie 16) Welche Werte liegen für die zweite Stichprobe vor?
Höherer sozioökonomischer Status
n_2=40
r_2=0,65
Z_2=0,78
(Folie 16) Welche Hypothesen werden im Beispiel geprüft?
(Folie 16) Welcher empirische z-Wert ergibt sich im Beispiel?
Der empirische Wert beträgt
z = −1,81
(Folie 16) Welcher kritische Wert wird verwendet?
Beim gerichteten Test mit
α = 0,05
beträgt der kritische Wert
z = −1,65
(Folie 16) Welche Entscheidung wird im Beispiel getroffen?
−1,81 < −1,65
die Nullhypothese verworfen.
(Folie 17) Wovon hängt die Wahl der Korrelationstechnik ab?
Die Wahl der Korrelationstechnik hängt vom Skalenniveau der beiden Merkmale ab.
Es wird unterschieden zwischen:
Intervallskala
Ordinalskala
dichotomen Merkmalen
(Folie 17) Welche Korrelation wird bei zwei intervallskalierten Merkmalen verwendet?
Bei zwei intervallskalierten Merkmalen wird die
Produkt-Moment-Korrelation (Pearson-Korrelation)
verwendet.
(Folie 17) Welche Korrelation wird bei einem intervallskalierten und einem dichotomen Merkmal verwendet?
Es wird die
Punktbiseriale Korrelation
(Folie 17) Welche Korrelation wird bei intervall- und ordinalskalierten Merkmalen verwendet?
Rangkorrelation
(Folie 17) Welche Korrelation wird bei zwei ordinalskalierten Merkmalen verwendet?
Bei zwei ordinalskalierten Merkmalen
wird die
(Folie 17) Welche Korrelation wird bei zwei dichotomen Merkmalen verwendet?
Bei zwei dichotomen Merkmalen
wird der
Φ-Koeffizient
(Folie 17) Welche Korrelation wird bei einem ordinalen und einem dichotomen Merkmal verwendet?
Biseriale Rangkorrelation
(Folie 18) Was gibt der Φ-Koeffizient an?
Der Φ-Koeffizient
gibt die Korrelation zweier dichotomer Merkmale x und y an.
(Folie 18) Wie entsteht der Φ-Koeffizient?
ergibt sich aus der Berechnungsvorschrift der Produkt-Moment-Korrelation.
Für zwei dichotome, Null-Eins-kodierte Variablen
vereinfacht sich die Formel.
(Folie 18) Welche Beziehung besteht zwischen Φ und dem χ²-Test?
Unter Gültigkeit von
H_0: Φ=0
ist die Prüfgröße
Φ^2 * n
χ²-verteilt mit
df = 1
(Folie 18) Welche Formel verbindet Φ und χ²?
Zwischen beiden besteht:
Φ^2 = n * Φ^2
bzw.
(Folie 19) Welches Beispiel wird für den Φ-Koeffizienten verwendet?
Eine 2×2-Kontingenztafel mit:
Männer/Frauen
Brille/keine Brille
(Folie 19) Welche Randverteilungen zeigt das Beispiel?
Die Tabelle enthält:
50 Männer
50 Frauen
sowie
40 Personen mit Brille
60 Personen ohne Brille
Gesamtumfang:
n = 100
(Folie 19) Welcher χ²-Wert ergibt sich im Beispiel?
Der berechnete Wert lautet:
χ² = 4,17
(Folie 19) Welcher Φ-Wert ergibt sich im Beispiel?
Mit
ergibt sich
Φ = 0,204
(Folie 20) Welchen Wertebereich kann der Φ-Koeffizient grundsätzlich annehmen?
Der gesamte Bereich von −1 bis +1
kann nur ausgeschöpft werden, wenn
die Aufteilung der Stichprobe in den Alternativen von x der Aufteilung in den Alternativen von y entspricht.
→ gleiche Randverteilungen
(Folie 20) Warum erreicht der Φ-Koeffizient nicht immer Werte bis ±1?
Wenn die Randverteilungen unterschiedlich sind,
kann der maximale erreichbare Φ-Wert kleiner als 1 sein.
(Folie 20) Was empfehlen manche Autoren bei unterschiedlich großen Randverteilungen?
Manche Autoren empfehlen,
einen empirisch ermittelten Φ-Koeffizienten
durch Relativierung am maximal erreichbaren Φ-Wert
aufzuwerten.
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