Welche Arten von Differentialgleichungen gibt es ?
Lineare DGLs
Quasiliniare DGLs
Nichtlineare DGL
Wie bestimmt man die Ordnung einer DGL ?
Höchste Potenz (Nenner oder Zähler)
Wann ist eine DGL Linear bzw. Nichtliniear ?
Wenn die Koeffizienten nur von den unabhängigen Variablen abhängen. Sonst nicht linear. Hängen die Koeffizienten vor den höchsten Ableitungen nicht von den höchsten Ableitungen der gesuchten Funktion ab, so nennt man die Gleichung quasi linear.
Was ist das Superpositionsprinzip ?
Lösung linearer DGLs, indem man verschiedene Lösungen linear überlagert.
Addition von Teilproblemen
Wann kann man das Superpositionsprinzip anwenden ?
Nur bei linearen DGLs
Was bringt die Normalform bei DGLs
Man kann den Tyo der DGL bestimmen
Arten von partiellen DGLs ?
Hyperbolisch
Parabolisch
Elliptisch
Wie unterscheidet man die Arten der partiellen DGLs ? Nenne Charakteristika
B2 -4A C > 0 —> Hyperbolisch
B2 -4A C = 0 parabolisch
B2 -4A C < 0 elliptisch
Was determiniert den Typ einer DGL für die Lösung ?
Randbedingungen
Wie lautet die Koordinaten Transformation allgemein ?
E = E(x,y)
N = N(x,y)
Wann sind x,y immer eindeutig aus E und N bestimmbar ?
Wenn die Jacobideterminante nirgends verschwindet
Was ist die Annahme für die Jacobideterminante ?
E und N sind zweifach differenzierbar
Ändert sich der Typ einer DGL durch die Koordinatentransfoation ?
Nein
Warum wird Zeta = konstant bei der Bestimmung der Charakteristiken gesetzt ?
Wir bewegen uns auf den neuen Koordinaten und betrachten wie sich x und y ändern.
Wie können Systeme von DGLs klassifiziert werden ?
Klassifizierung anhand der Eigenwerte.
Was ist eine Dimensionsanalyse ?
Methode die die Anzahl der unabhängigen Variablen reduziert, was wiederum die Lösung vereinfacht
Physikalische Größen aufspalten in Basisgrößen welche unabhängig sind
Wann wir die Störungsrechnung eingesetzt ?
Wenn eine dimensionlose Größe besonders klein oder groß ist zu den restlichen bestimmende Kenngrößen
um nichtlinieare Gleichungen auf lineare Gleichung zu reduzieren
Was ist der Ansatz der Störungsrechnung ?
Lösung in Form einer asymptotischen Reihe formuliert
Welche Arten der Störungsrechnung gibt es ?
Reguläre Störungsproblem: Reihe stellt eine gleichmäßig gültige Näherung der Lösung das
Singuläre Störungsproblem: Reihe hat nicht im gesamten Lösungsgebiet Fehler von der Größenordnung
Wie lautet das Vorgehen für reguläre Störungsprobleme ?
1 entwickeln der gesuchten Größe als Funktion von epsilon
2 Reihe trunkneren
3 Ansatz in Gleichung einsetzten
4 Gleichung nach Potenzen von epsilon sortieren
5 Gleichung von niedrigster Ordnung ausgehend lösen (inhomogene Randvedingungen werden nur in der Gleichung nullter Ordnung berücksichtigt)
Wie lautet der Laplace Operator für kartesische und zylindrische Koordinatensysteme ?
Was sind typischerweise Randbedingungen für zylindrische Gebiete ?
rotationssymmetrisch: Wegfallen von phi
Typische Randbedingungen: Größe endlich für r=0
Häufig Lösung mit Bessel oder Eulersche DGL
Wodurch zeichnen sich hyperbolische DGLs aus ?
Sie besitzen nur reelle Charakteristiken besitzen.
Große Rolle bei allen Schwingungs- und Wellenvorgänge
Was ist die die Methode nach d’Alembert
Einführen neuer Charakteristiken und Transformation in erste kanonische Form
Allgemeine Lösung
Randbedingungen einarbeiten
Welche Randbedingungen gibt es für typische hyperbolische Probleme ?
Skizziere das Lösungsgebiet und den Einfluss der beiden axialen Randbedingungen auf die Wellenausbreitung bei einer beidseitig eingespannten Saite
Was ist der Ansatz der Fourierschen Methode ?
Was sind Vor und Nachteile der Fourierschen Methode gegenüber d’Alembertschen Methode ?
Die Auswertung der unendlichen Reihe bei der Fourierschen Methode ist umständlicher auszuwerten als die vorher mit der d’Alemvertschen Methode gefundenen Lösung
Die Fourierschen Methode kann jedoch auch für andere Typen von Differenzialgleichungen durchgeführt werden
Welche Eigenschaften haben DGLs mit temperaturabhängiger Wärmeleitfähigkeit ?
Die Temperaturabhängige Leitfähigkeit führt zu einer nicht linearen Gleichung
Wie können DGLs mit Temperaturabhängiger Leitfähigkeit prinzipiell gelöst werden ?
Störungsrechnung analytisch
Kirchhof Transformation
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