statistische Begriffe, wie berechnet und inhaltliche Aussage

=xquer

= Summe aller Messwerte geteilt durch die Anzahl der Messwerte

Inhaltlich: gibt an, welchen Wert die Messwerte im Durchschnitt aufweisen.

=T

= Mittlere Differenz der Wertepaare geteilt durch den Standardfehler der Differenzen

Inhaltlich: Gibt an, wie stark sich die beiden abhängigen Messungen im Mittel unterscheiden.

• die beiden t-Test unterscheiden sich nur dahingehend, wo der kritische Bereich liegt, im gerichteten Fall auf einer Seite, im ungerichteten Fall auf beiden Seiten der Verteilung!

=𝐼(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

= Mittlere Differenz ± kritischer t-Wert × Standardfehler der Differenzen

Inhaltlich: Bereich, in dem die wahre Mittelwertsdifferenz μ1−μ2 mit dem gewählten Konfidenzniveau, z. B. 95 %, geschätzt wird.

= ℎ(𝑥𝑗)

= absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl n der Messtwerte bzw. Versuchspersonen

Inhaltlich: Der Anteil an Merkmalsträger*innen einer Stichprobe oder Population, der die entsprechende Messwertausprägung aufweist

= E(X)

= durchschnittliche Realisation der diskreten (/stetigen) Zufallsvariable X, wenn das Zufallsexperiment unendlich wiederholt wird.

Entspricht der Summe (/Integral) aller möglichen Realisationen jeweils multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Eintretens der jeweiligen Realisation

Inhaltlich: Gibt an, welchen Wert X langfristig im Durchschnitt annimmt.

=𝐼(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

= Stichprobenmittelwert ± kritischer t-Wert × Standardfehler

Inhaltlich: Bereich, in dem der wahre Populationsmittelwert μ mit dem gewählten Konfidenzniveau, z. B. 95 %, geschätzt wird.

=s^2 pool

= Gewichteter Mittelwert der Varianzen zweier unabhängiger Stichproben

Inhaltlich: Schätzt die gemeinsame Populationsvarianz, wenn für beide Populationen gleiche Varianzen angenommen werden.

= s^2 Diff

= Varianz der Differenzwerte

Inhaltlich: Schätzt, wie stark die Differenzen zwischen den gepaarten Messwerten in der Population streuen

= Schätzwert für die geschätzte Populationsvarianz bei abhängigen Stichproben

(vgl. hier n-1 statt n bei normaler varianz)

=𝜎̂ ^2 𝑊𝑒𝑟𝑡 = 𝑠^2

= geschätzte Populationsvarianz bzw. korrigierte Stichprobenvarianz

= die an 1/n-1 relativierte Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert

Inhaltlich: Schätzt die Varianz σ^2 der Population anhand einer Stichprobe.

=𝐼(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

= Differenz der Stichprobenmittelwerte ± kritischer t-Wert × Standardfehler

Inhaltlich: Schätzt den Bereich, in dem die wahre Mittelwertsdifferenz μ1−μ2 liegt.

Gilt bei unabhängigen Stichproben und angenommener Varianzgleichheit.

bzw.

= 𝐻𝑘𝑢𝑚(𝑥𝑘 )

= Summe aller absoluten Häufigkeiten bis einschließlich der Ausprägung xk​

Inhaltlich: Gibt an, wie viele Beobachtungen höchstens den Wert 𝑥𝑘 haben bzw. Anzahl der Merkmalsträger*innen, die die Messwertausprägung 𝑥𝑘 oder eine kleinere Messwertausprägung aufweisen

=T

= Differenz der Stichprobenmittelwerte geteilt durch den Standardfehler der Differenz

Inhaltlich: Prüft, ob sich die beiden Populationsmittelwerte μ1 und μ2 unterscheiden.

Liefert empirischen t-Wert, aufgrund dessen eine Testentscheidungen getroffen wird

• die beiden t-Test unterscheiden sich nur dahingehend, wo der kritische Bereich ist, im gerichteten Fall auf einer Seite, im ungerichteten Fall auf beiden Seiten der Verteilung!

= ℎ𝑘𝑢𝑚(𝑥𝑘 )

= Absolute kumulierte Häufigkeit der Messwertausprägung geteilt durch die Gesamtzahl n der Messwerte bzw. Versuchspersonen

= Summe aller relativen Häufigkeiten bis einschließlich der Ausprägung xk​

Inhaltlich: Gibt an, welcher Anteil der Beobachtungen höchstens den Wert xk hat. bzw. Anteil der Merkmalsträger*innen, die die Messwertausprägung 𝑥𝑘 oder eine kleinere Messwertausprägung aufweisen

= Var(X)

= Wahrscheinlichkeitsgewichtete quadrierte Abweichungen vom Erwartungswert

Inhaltlich: Gibt an, wie stark die möglichen Werte von XX um den Erwartungswert streuen.

diskrete Zufallsvariable:

stetige Zufallsvariablen:

=Mdn

= Der mittlere Wert einer der Größe nach geordneten Datenreihe

1. ungerades n: mittlerer Wert

2. gerades n: Mittelwert der beiden mittleren Werte

Inhaltlich: (Mindestens) 50% der Merkmalsträger*innen haben einen Messwert, der kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich dem Median ist.

=s^2 emp

= gemittelte Summe der quadrierten Abweichungswerte vom Mittelwert

Inhaltlich: Maßzahl dafür, wie stark die Messwerte um das arithmetische Mittel streuen

(Vgl. Stichprobenvarianz bzw. korrigierte empirische Varianz = n-1 statt n)

= s emp

= Quadratwurzel aus der Varianz

Inhaltlich: Gibt an, wie stark die Werte durchschnittlich um den Mittelwert streuen, in derselben Einheit wie die Messwerte.

eines der wichtigsten Streuungsmaße von Messwerten (neben der Varianz)

=𝐼(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

= Stichprobenanteil ± kritischer z-Wert × Standardfehler

Inhaltlich: Schätzt den Bereich, in dem der wahre Populationsanteil π mit dem gewählten Konfidenzniveau liegt.

= IQA (bzw IQR für Range)

= Differenz zwischen dem 3. und dem 1. Quartil

Inhaltlich: Gibt an, wie breit die mittleren 50 % der Daten verteilt sind. Gibt also die Spannweite der mittleren 50% der Daten wider.

• Q1​ = 25%-Quantil

• Q3 = 75%-Quantil

=T

= Differenz zwischen Stichprobenmittelwert und angenommenem Populationsmittelwert geteilt durch den Standardfehler

Inhaltlich: Prüft, ob der unbekannte Populationsmittelwert μ vom unter H0 angenommenen Wert μ0 abweicht.

• die beiden t-Test unterscheiden sich nur dahingehend, wo der kritische Bereich liegt: im gerichteten Fall auf einer Seite, im ungerichteten Fall auf beiden Seiten der Verteilung!

= 𝑐𝑜𝑣 𝑒𝑚𝑝(𝑥, 𝑦)

= durchschnittliche Summe des Produkts der Abweichungswerte von Messwertpaaren bzw. Mittlere gemeinsame Abweichung zweier Variablen von ihren Mittelwerten

Inhaltlich: Maßzahl zur Beschreibung der Richtung des (linearen) Zusammenhangs zwischen zwei Variablen.

• positiv → hohe Werte von X gehen eher mit hohen Werten von Y einher

• negativ → hohe Werte von X gehen eher mit niedrigen Werten von Y einher

• nahe 0 → kein linearer gemeinsamer Zusammenhang

(vgl. Stichprobenkovarianz bzw. korrigierte Kovarianz - wird durch n-1 statt n geteilt)

!!! Weil die Kovarianz einheitsabhängig ist, sind Aussage über Stärke des Zusammenhangs nicht möglich.

= r xy

(Korrelation zweier Variablen)

1. Mit Kovarianz und Standardabweichungen

   • = Kovarianz zweier Variablen geteilt durch das Produkt der Standardabweichungen der Variablen

1. Mit z-Werten

   • = gemittelte Summe der Produkte der z-standardisierten Messwertpaare

     (vgl. wieder n-1 statt n)

Inhaltlich: Gibt Richtung und Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen an. Sie ist einheitsunabhängig.

= 𝑧𝑖

= Abstand eines Wertes vom Mittelwert, geteilt durch die Standardabweichung

Inhaltlich: Gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt.

• Durch die z-Standardisierung werden Werte auf eine gemeinsame Skala gebracht.

• Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1

• Dadurch kann man Werte aus unterschiedlichen Skalen direkt miteinander vergleichen.