Was ist der Differenzenquotient?
(f(x) − f(x₀)) / (x − x₀)
Er gibt die Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen an, also die mittlere Änderungsrate.
Wie ist die Ableitung (Differentialquotient) definiert?
f′(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
Sie gibt die Steigung der Tangente bzw. die momentane Änderungsrate an.
Wann ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar?
Wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert, also links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
Gilt: differenzierbar ⇒ stetig? Und umgekehrt?
Differenzierbar ⇒ stetig gilt immer.
Stetig ⇒ differenzierbar gilt nicht.
Beispiel: f(x) = |x| ist bei x = 0 stetig, aber hat dort einen Knick.
Wie lautet die Gleichung der Tangente an f im Punkt x₀?
y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀)
Wie lautet die Gleichung der Normalen in x₀?
y = f(x₀) − (1 / f′(x₀))·(x − x₀)
Die Normale steht senkrecht zur Tangente, ihre Steigung ist:
−1 / f′(x₀)
Wie ist die Ableitung einer Konstanten c:
(c)′ = ?
Die Ableitung einer Konstanten c ist 0 (Konstantenregel)
(c)′ = 0
Potenzregel: (xⁿ)′ = ?
n · xⁿ⁻¹
Faktorregel: (c · f(x))′ = ?
Der Faktor/Koeffizient bleibt stehen und wird einfach in die Ableitung übernommen:
c · f′(x)
Summenregel: (f + g)′ = ?
f′ + g′ (ebenso für die Differenz)
Produktregel: (u·v)′ = ?
u′ · v + u · v′
Quotientenregel: (u/v)′ = ?
(u′ · v − u · v′) / v² (mit v ≠ 0)
Kettenregel: ( f( g(x) ) )′ = ?
Äußere Ableitung mal innere Ableitung:
f′( g(x) ) · g′(x)
Wie leitet man die Umkehrfunktion ab?
(f⁻¹)′(y) = 1 / f′(x) mit y = f(x)
Was ist die logarithmische Ableitung, und wofür braucht man sie?
Man logarithmiert die Funktion und leitet dann implizit ab. Sie dient für Funktionen wie f(x) = x^x. Dort gilt f′(x) = f(x)·(ln x + 1)
Wie leitet man höhere Ableitungen als f(x)’ ab?
Durch wiederholtes Ableiten: f″ = (f′)′, f‴ = (f″)′ usw.
(eˣ)′ = ?
eˣ
(aˣ)′ = ?
aˣ · ln(a)
(ln x)′ = ?
1/x (für x > 0)
(logₐ x)′ = ?
1 / (x · ln a)
(√x)′ = ?
1 / (2 * √x)
(1/x)′ = ?
−1/x²
(sin x)′ = ?
cos x
(cos x)′ = ?
−sin x
(tan x)′ = ?
1/cos²x = 1 + tan²x
(arcsin x)′ = ?
1/√(1 − x²)
(arccos x)′ = ?
−1/√(1 − x²)
(arctan x)′ = ?
1/(1 + x²)
(sinh x)′ und (cosh x)′ = ?
(sinh x)′ = cosh x, (cosh x)′ = sinh x
Notwendige Bedingung für ein Extremum?
f′(x₀) = 0
Hinreichende Bedingung für Extrema (mit 2. Ableitung)?
f′(x₀) = 0 und f″(x₀) < 0 ⇒ Hochpunkt. f′(x₀) = 0 und f″(x₀) > 0 ⇒ Tiefpunkt
f′(x₀) = 0 und f″(x₀) < 0 ⇒ Hochpunkt
f′(x₀) = 0 und f″(x₀) > 0 ⇒ Tiefpunkt
Was tun, wenn f′(x₀) = 0 und f″(x₀) = 0?
Das Vorzeichenwechsel-Kriterium von f′ anwenden:
Wechsel von + nach − ergibt einen Hochpunkt
Wechsel von − nach + einen Tiefpunkt
Kein Wechsel einen Sattelpunkt.
Bedingung für einen Wendepunkt?
f″(x₀) = 0 und f‴(x₀) ≠ 0 (oder Vorzeichenwechsel von f″)
Was ist ein Sattelpunkt?
Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente: f′(x₀) = 0, f″(x₀) = 0, f‴(x₀) ≠ 0
Was sagt f′ über das Monotonieverhalten?
f′ > 0 ⇒ streng monoton steigend
f′ < 0 ⇒ streng monoton fallend
Was sagt f″ über die Krümmung?
f″ > 0 ⇒ Linkskurve (konvex)
f″ < 0 ⇒ Rechtskurve (konkav)
Wie erkennt man Symmetrie?
f(−x) = f(x) ⇒ achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade)
f(−x) = −f(x) ⇒ punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade)
Was gehört zu einer vollständigen Kurvendiskussion?
Definitionsbereich
Symmetrie
Nullstellen
y-Achsenabschnitt
Verhalten im Unendlichen
Polstellen und Asymptoten
Ableitungen
Extrema
Wendepunkte
Monotonie und Krümmung
Wertetabelle und Skizze.
Wie findet man globale Extrema auf einem Intervall [a, b]?
Lokale Extrema und die Randwerte f(a), f(b) berechnen und vergleichen
Satz von Rolle?
Ist f auf [a,b] stetig, auf (a,b) differenzierbar und gilt f(a) = f(b), dann gibt es ein c ∈ (a,b) mit f′(c) = 0.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung?
Es gibt ein c ∈ (a,b) mit f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a)
Irgendwo ist die Tangentensteigung gleich der Sekantensteigung
Regel von L'Hospital?
Bei Grenzwerten der Form 0/0 oder ∞/∞ gilt lim f/g = lim f′/g′, sofern der rechte Grenzwert existiert
Newton-Verfahren?
Näherung für Nullstellen: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Taylor-Reihe von f um x₀?
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(x₀)/n! · (x − x₀)ⁿ
also f(x₀) + f′(x₀)(x−x₀) + f″(x₀)/2!·(x−x₀)² + …
Wie löst man eine Extremwertaufgabe?
(1) Zielfunktion aufstellen
(2) Nebenbedingung nutzen, um auf eine Variable zu reduzieren
(3) Zielfunktion ableiten und f′ = 0 setzen
(4) mit f″ prüfen
(5) Randwerte und Definitionsbereich beachten.
Was ist eine Stammfunktion?
Eine Funktion F mit F′(x) = f(x)
Sie ist nur bis auf eine additive Konstante eindeutig
Was bedeutet das unbestimmte Integral?
∫f(x) dx = F(x) + C
also die Menge aller Stammfunktionen
Was ist das bestimmte Integral geometrisch?
Die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse von a bis b. Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ.
Wie ist das bestimmte Integral definiert?
Als Grenzwert der Riemann-Summe:
∫ₐᵇ f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xᵢ)·Δx
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Teil 1)?
Ist f stetig, dann ist F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt eine Stammfunktion von f, also F′(x) = f(x)
Hauptsatz (Teil 2): Wie berechnet man ein bestimmtes Integral?
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ₐᵇ
Linearität des Integrals?
∫(c·f + d·g) dx = c·∫f dx + d·∫g dx
Was passiert, wenn man die Integrationsgrenzen vertauscht?
∫ₐᵇ f dx = −∫ᵦᵃ f dx
Was ist ∫ₐᵃ f(x) dx?
0
Additivität bezüglich der Grenzen?
∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫꜀ᵇ f dx
Integral über symmetrische Grenzen [−a, a]?
Gerade Funktion: 2·∫₀ᵃ f dx
Ungerade Funktion: 0
∫xⁿ dx = ?
xⁿ⁺¹/(n+1) + C (für n ≠ −1)
∫1/x dx = ?
ln|x| + C
∫eˣ dx = ?
eˣ + C
∫aˣ dx = ?
aˣ/ln(a) + C
∫sin x dx = ?
−cos x + C
∫cos x dx = ?
sin x + C
∫tan x dx = ?
−ln|cos x| + C
∫1/cos²x dx = ?
tan x + C
∫ln x dx = ?
x·ln x − x + C (per partieller Integration)
∫1/√(1−x²) dx = ?
arcsin x + C
∫1/(1+x²) dx = ?
arctan x + C
∫1/(x²+a²) dx = ?
(1/a)·arctan(x/a) + C
∫√x dx = ?
(2/3)·x^(3/2) + C
∫sinh x dx und ∫cosh x dx = ?
∫sinh x dx = cosh x + C, ∫cosh x dx = sinh x + C
Lineare Substitution: ∫f(ax+b) dx = ?
(1/a)·F(ax+b) + C
Substitutionsregel (Idee und Formel)?
∫f(g(x))·g′(x) dx = ∫f(u) du mit u = g(x)
Man ersetzt Variable und Differential, integriert und substituiert zurück.
Bei bestimmten Integralen passt man die Grenzen an:
u(a) und u(b).
Formel für die partielle Integration?
∫u′·v dx = u·v − ∫u·v′ dx
Wann nutzt man partielle Integration, und wie wählt man u′ und v?
Bei Produkten wie x·eˣ, x·sin x oder ln x. Man wählt v so, dass v′ einfacher wird (Faustregel LIATE: Logarithmus, Inverse Trigonometrie, Algebraisch, Trigonometrie, Exponential), und u′ so, dass es sich leicht integrieren lässt.
Spezialfall: ∫f′(x)/f(x) dx = ?
ln|f(x)| + C
Spezialfall: ∫f′(x)·[f(x)]ⁿ dx = ?
[f(x)]ⁿ⁺¹/(n+1) + C
Wann nutzt man Partialbruchzerlegung?
Bei gebrochenrationalen Funktionen p(x)/q(x). Man zerlegt in Summanden wie A/(x−a) + B/(x−b), die sich einzeln integrieren lassen. Ist der Zählergrad ≥ Nennergrad, zuerst Polynomdivision.
Fläche zwischen Graph und x-Achse?
A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx. Man muss an den Nullstellen aufteilen, damit sich positive und negative Flächen nicht aufheben.
Fläche zwischen zwei Graphen f und g?
A = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, wobei a und b die Schnittstellen sind.
Volumen eines Rotationskörpers (Rotation um die x-Achse)?
V = π·∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Mittelwert einer Funktion auf [a, b]?
f̄ = (1/(b−a))·∫ₐᵇ f(x) dx
Länge eines Funktionsgraphen (Bogenlänge)?
L = ∫ₐᵇ √(1 + [f′(x)]²) dx
Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Ist f stetig auf [a,b], gibt es ein c ∈ [a,b] mit ∫ₐᵇ f dx = f(c)·(b−a)
Physikalische Bedeutung:
Weg (s)
Geschwindigkeit (v)
Beschleunigung (a)
s′ = v
v’ = a
Umgekehrt:
s = ∫v dt
v = ∫a dt.
Was ist ein uneigentliches Integral?
Ein Integral mit unendlicher Grenze oder einer Polstelle im Intervall. Man berechnet es als Grenzwert, z. B. ∫ₐ^∞ f dx = lim(b→∞) ∫ₐᵇ f dx
Wann konvergiert ∫₁^∞ 1/xᵖ dx?
Für p > 1 (dann Wert 1/(p−1)), für p ≤ 1 divergiert es.
Wann konvergiert ∫₀¹ 1/xᵖ dx?
Für p < 1 (dann Wert 1/(1−p)), für p ≥ 1 divergiert es.
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