Größen

Größen werden durch Abstraktion von realen Objekten zu Äquivalenzklassengewonnen. Zu einer Größe gehören also

- eine Menge von Objekten (Repräsentanten)

Welchen Objekten wird diese Eigenschaft zugeschrieben?

- eine Äquivalenzrelation auf dieser Menge

Welche Repräsentanten haben dieselbe Eigenschaft?

- eine Ordnungsrelation auf dieser Menge

Wie vergleicht man Repräsentanten (was ist größer, teurer, schwerer...)?

Unter Messen versteht man zunächst dasvollständige, überschneidungsfreie und lückenlose „Auslegen eines Repräsentanten mit einer Maßeinheit.

Die gewählten Maßeinheiten sind (im Prinzip) willkürlich, z.B.

Messgrößen sind solche, bei denen die Repräsentanten (wenigstens prinzipiell) mit den Maßeinheiten „ausgelegt“ werden können.

• Viele andere Größen werden aus anderen Zusammenhängen abgeleitet, z.B. Geschwindigkeit:

• - In vielen Fällen ist der Zusammenhang „verstrichene Zeit - zurückgelegte Strecke“ bei Bewegungsvorgängen (näherungsweise) proportional.

• - Der zugehörige Proportionalitätsfaktor definiert eine abgeleitete Größe, die Geschwindigkeit.

  
  

sind solche, die als Kenngrößen (z.B. Proportionalitätsfaktoren)von bestimmten Klassen funktionaler Zusammenhänge zwischen anderen Größendefiniert werden.

- ... Einblick in das Äquivalenzklassenprinzip von Größen erfahren (z.B. auch Invarianz beiHohlmaßen),

- ...das Prinzip des Messens für die einzelnen Größenbereiche erfassen,

- ...Größenvorstellungen zu den Maßeinheiten aufbauen.

• - ...Messinstrumente zu benutzen,

• - ...Größenangaben zwischen Maßeinheiten umzurechnen,

• - ...entsprechende Formeln anzuwenden und zum Problemlösen zu nutzen,

• - ...die Problematik der Definition abgeleiteter Größen und deren Interpretation zu berücksichtigen (z.B. Momentangeschwindigkeit vs. mittlere Geschwindigkeit).

• Für die fundierte Entwicklung und Förderung des Größenkonzepts bei Messgrößen wird eine didaktische Stufenfolge als Gerüst vorgeschlagen, die ausgehend von Handlungen über Abstraktionsprozesse schließlich den Größenbegriff und entsprechende Maßeinheiten einführt.

• - Sie gibt einen Rahmen vor, der aber für die unterrichtliche Umsetzung bei den einzelnen Größen von unterschiedlicher Relevanz ist.

• - Für abgeleitete Größen lassen sich einige Stufen des Modells adaptieren, andere sind nicht umsetzbar.

• Es handelt sich hier um ein Modell zur Beschreibung und Sequenzierung von Lernsituationen, nicht um ein „heiliges Gesetz“!

• 1.  Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen schaffen

• 2.  Direkter Vergleich von Repräsentanten

• 3.  Indirekter Vergleich

• a)  Indirekter Vergleich mit Vergleichsobjekten (z.B. Ergänzungs- und Zerlegungsgleichheit bei Flächen und Volumina; Prinzip von Cavalieri)

• b)  Indirekter Vergleich mit selbstgewählten Maßeinheiten (Messen)

• 4.  Indirektes Vergleichen mit standardisierten Maßeinheiten

• 5.  Verfeinern/Vergröbern von Maßeinheiten

• 6.  Aufbau von Größenvorstellungen

• 7.  Rechnen mit Größen

• a)  Rechnen in Kontexten

• b)  Erarbeitung von Beziehungen zur Bestimmung von Größen (z.B. Flächeninhalts- und Volumenformeln).

• -  Beispielhaftes Erfahren der Äquivalenz- und Ordnungsrelation, Maßeinheiten, Messen (Tätigkeiten)

• -  Für alle Größen relevant (fächerübergreifende Ansätze!)

• -  Relation zwischen zwei Objekten, evtl. mit Hilfsmittel, u.a. Sortieren, Ordnen, (Anti-)Symmetrie, Transitivität

• -  Strategien des Größenvergleichs „ohne Messen“

• -  Nutzung eines weiteren Objekts als Vermittler z.B. Vergleich von Volumina durch Eintauchen in ein Wasserbad

• -  Messen mit selbstgewählter Maßeinheit (nicht standardisiert) z.B. Auslegen von Flächen mit Dreiecken/Rechtecken/Quadraten als Maßeinheit

• -  Vorstellung vom Messprozess für den jeweiligen Größenbereich

• - Maßeinheiten, Messprozess, Wahl von Maßeinheiten

• - Nutzung von Messgeräten (Lineal, Messbecher, einfache Flächeninhaltsund Volumenberechnungen an Rechteck und Quader)

• - Motivierung und Einführung feinerer/gröberer Maßeinheiten

• - Ggf. alternative Maßeinheiten (Hektar, Ar; nicht-metrische Einheiten)

• - Umrechnung von Größenangaben

• - Ankerpunktwissen

• - Typische Repräsentanten für Größenangaben/Maßeinheiten

• - Addieren, Subtrahieren, Vervielfachen, Aufteilen, Verteilen

• - Diskussion der Multiplikation von Größen