Außenballistik

Wurfparabel mit markanten Punkten:

Winkel:

• theta_0 = theta_E

Winkel eines bestimmten Punktes auf der Bahn in Relation zur Erdoberfläche (= 0°)

tan(theta) = v_y / v_x = [v_0 * sin(theta_0) - g*t] / [v_0 * cos(theta_0)]

• —> theta = arctan[tan(theta_0)- g*t / [v_0 * cos(theta_0)]]

Geschwindigkeitsgleichungen:

• v_0x = v_0 * cos(theta_0)

• v_0y = v_0 * sin(theta_0)

Bewegungsgleichungen (Integration Geschw.):

• x(t) = v_0x * t = v_0 * cos(theta_0) * t

• y(t) = v_0y * t - 1/2 * g * t^2 = v_0 * sin(theta_0) * t - 1/2 * g * t^2

• Besonderheit: Bewegungen in x und y unabhängig voneinander

  • —> Superpositionsprinzip

Bewegungsgleichungen:

• x(t) = v_0x * t = v_0 * cos(theta_0) * t

• y(t) = v_0y * t - 1/2 * g * t^2 = v_0 * sin(theta_0) * t - 1/2 * g * t^2

Zeitfrei machen: x(t) nach t umstellen:

• t = x / [v_0 * cos(theta_0)]

t in y-Gleichung einsetzen:

• y(x) = [v_0 * sin(theta_0) * x] / [v_0 * cos(theta_0)] - [x^2 * g] / [2 * v_0^2 *cos^2(theta_0)]

• Kürzen:

  • —> y(x) = tan(theta_0) * x - g / [2 * v_0^2 * cos^2(theta_0)] * x^2

senkrecht nach oben schießen: theta_0 = 90°

• tan(90°) —> unendlich; cos(90°) —> 0

  • ok, da es keine Funktion x(y) wäre und somit nicht eindeutig

waagerecht schießen: theta_0 = 0°

• tan(0°) = 0 —> linker Term erfüllt

  • —> y(x) = - x^2 / 2*v_0^2

Nullstelle suchen:

• y = x * (tan(theta_0) - [x * g] / [2 * v_0^2 + cos^2(theta_0)]

  • x_1 = 0

  • x_2: tan(theta_0) = x_2 * g / [2 * v_0^2 * cos^2(theta_0)]

    • —> x_2 = x_E = 2 * v_0^2 / g * sin(theta_0) * cos(theta_0)

    
    

x_E = 2 * v_0^2 / g * sin(theta_0) * cos(theta_0)

• Additionstheorem: sin(x)*cos(x)=1/2*sin(2x)

—> x_E = v_0^2 / g * sin(2*theta_0)

• sin(2*theta_0) ist maximal für 2*theta_0 = 90°

• —> theta_0max = 45°; x_Emax = v_o^2 / g

y(x) ableiten und Nullsetzen.

• y’(x) =0= tan(theta_0) - [x * g] / [v_0^2 * cos^2(theta_0)]

• —> x_G = x_E * 1/2 *sin(2*theta_0)

  • mit sin(2*theta_0) = 1 für maximalen Winkel folgt:

• —> x_G = 1/2 * x_E

  • Plausibel?: Ja, da symmetrische Parabel

• y_G = y (x_G) = …. = [v_0^2 * sin^2(theta_0)] / [2*g]

  • —> y_G = v_0y^2 / 2*g

• y_G über Energieerhaltung: E_kin = E_pot

  • 1/2*m*v_0y^2 = m*g*h = m*g*y_G

    • —> y_G = v_0y^2 / 2*g

y(x):

• y(x) = y_0 + x*tan(theta_0) - x^2 * g/ [2*v_0^2*cos^2(theta_0)]

Energieerhaltung:

• E_kin = E_kin0 + E_pot(y_0)

  • —> v_E = sqrt(v_0^2 + 2*g*y_0)

Kurvenschar: Abschuss aus allen möglichen theta_0

Einhüllende: einhüllende Kurve, Hüllkurve, Envelope

• —> Sicherheitsparabel, welche ein Sicherheitsparaboloid ist, der um die y-Achse rotiert und alle möglichen Schussrichtugen und Treffpunkte abdeckt

  • 1. theta_0 = 0

  • 2. y_0 = y_max @ theta_0 = 90°

    • —> y_max = v_0^2 / 2*g

    • —> v_0y = v_0

+/- theta_0:

• morgendlicher Tremor des Schützen

• Toleranzen usw. der “Aufstellung/Aufhängung” der Waffe

• dynamisch beim Abfeuern (Impuls)

+/- v_0:

• aus Masse des Geschosses

• Toleranzen der Treibladung

• Temperatur der Waffe:

  • chemische Umsetzung bzw. mechanische Verformung

numerisch:

• Erzeugung der zugehörigen Kurvenschar

analytisch:

• bei bekannten systematischen Fehlern: Totales Differential

  • Linearisierung in der beteiligten Variabel

  • partielle Differentiale bilden

  • Summe —> je nach Zielrichtung

  • Totales Differential ist Vorzeichen behaftet

    • —> beinhaltet Fehlerkompensation

• für worst-case-Abschätzungen bei voneinander unabhängigen Variablen: einfache Beträge nehmen

• wenn delta-theta_0 und delta-v_0 statistische Größen sind und voneinander unabhängig: Standardabweichung nehmen/berechnen

mathematisch: +/- theta_0 möglich:

• Winkel im 1. oder vierten Quadranten möglich

physikalisch: 4. Quadrant ist unter der Erde. Dort kann der Schuss nicht sein

Bedingung:

• |[x_E * g] / v_0^2 | kleinergleich 1

  • —> x_Emax = v_0^2 / g

Luftwiderstand:

• F_L = rho_L / 2 * A_p * c_w * v^2

Mechanische Arbeit:

• dW_mech = F_L * dx = rho_L / 2 * dV * c_w * v^2

a_L = F_L / m

• F_L = rho_L/2 * c_w * A * |v(t)|^2 * e_v

  • e_v ist Einheitsvektor in v-Richtung:

    • e_v = v / |v| = [v_x*e_x + v_y*e_y ] / [sqrt(v_x^2 + v_y^2)]