Zahlensysteme

• Zahlen als Zeichenfolgen können ASCII kodiert werden

  • Beispiel: 123 = 00110001 00110010 00110011

• duales Zahlensystem:

  • 123 = 1111011

• BCD Binary Coded Decimal - Mittelweg

  • je Deziamlziffer 4 Bits

• Dualsystem auf Basis 2 und Ziffern {0,1}

• Oktalsystem: Zusammenfassung von Binärstellen

  • Basis 2^3 = 8 mit den Ziffern {0,1,2,3,4,5,6,7}

  • 53 = 110 101 = 65

• Hexadezimalsystem: Basis 2^4 = 16 mit den Ziffern {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

• 53= 0011 0101 = 35

Merke:

• Größte Potenz: Von oben ablesen

• Hornerschema: Von unten ablesen

Eine sukzessive Multiplikation des Nachkommateils der Dezimalzahl mit der Basis b des Zielsystems ergibt nacheinander die y-i (als Vorkommastelle) in der Reihenfolge der höchstwertigen zur niedrigstwertigen Nachkommaziffer.

Zahlensysteme

Umwandlung Basis b1 ↔ b2

• b1 = Oktal ↔ b2 = Hexadezimal

  • Im Dualsystem aufschreiben, umgruppieren

• Sonst:

  • Division durch größte Potenz

  • Hornerschema

• heutige Rechner: Wortlänge von 32 und 64 Bit

• bei 32 Bit Wortlänge:

  • ganze Zahlen -2 147 483 648 und 2 147 483 647

• Rechenregeln sind analog zum Dezimalsystem

• Computer benötigen i.d.R. nur +,-,*,/ und binäre Operationen (not, shift, etc.)

• sin() wird mit Reihen berechnet

Logische Operationen

• AND

• OR

• NEG

• XOR

Binäre Addition: mit XOR wobei bei zwei Einsen ein Übertrag entsteht

• Zweierkomplement von b bilden zu a addieren

• Subtraktion lässt sich mit Komplementdarstellung auf Addition zurückführen

• Division durch wiederholte Subtraktion, Addition und Vergleiche

• Wesentlich: Addition und Multiplikation sehr einfach

• Multiplikation und Division früher in Software, heute in Hardware

halblogarithmisch - pos. oder neg. Zehnerexponenten

• Umwandeln in Binär

• Rechtsshift um N Stellen, bis in der Vorkommastelle nur eine Eins steht (Normalform).

• Die Vorkomma-Eins (hidden Bit) wird nicht im Maschinenwort aufgeführt.

• Zum Exponenten 127 addieren

• Das MSB je nach Vorzeichen setzen

Grundrechenarten erheblicher komplizierter

• Addition:

  • Exponenten durch Mantissenverschiebung angleichen

  • dann addieren

• Multiplikation:

  • Mantissen multiplizieren

  • Exponenten addieren

• heute in Hardware, früher in Software

• Rechenleistung in FLOPS (floating point operations per second) gemessen (GigaFLOPS ... PetaFLOPS)

• Null ist keine normierte Gleitpunktzahl

• arithmetische Sonderbehandlung: alle Bits 0

• exaktes Ergebnis 0 wird in der Regel nicht angenommen

  • ⇒ bei Abfragen: nicht: „x == 0 ?“, sondern „|x| < e ?“

  • auch nicht: „x == y ?“, sondern „|x - y| < e ?“

  • anders bei ganzen Zahlen: dort x==y ? OK

Dualzahlen: Basis 2

• Rechenregeln wie beim dezimalen System, nur einfacher

• Zusammenfassung von Stellen

  • Basis=8, 3 Bits: Oktal

  • Basis=16, 4 Bits: Hexadezimal

• Negative Zahlen: Zweierkomplement

• Multiplikation 1*1 sehr einfach, Rest: Schieben und Addieren

• Gleitpunktzahlen, IEEE 754