Gleitkommazahlen

• Festkommadarstellung

• Gleitkommadarstellung

• Komma sitzt in Maschinenwort, das eine Dualzahl enthalten soll, an fester Stelle

• meist setzt man Komma hinter letzte Stelle

• negative Zahlen: meist Zweierkomplement - Darstellung

• Datentyp “Integer” ist spezielles Festkommaformat

manche Programmiersprachen erlauben Definition von Ganzzahlen unterschiedlicher Länge

Beispiel C:

• short int

• long int

• int

• unsigned

• für Zahlen, die betragsmäßig sehr groß/klein sind

• halblogarithmische Form

• Basis für bestimmte Gleitkommadarstellung fest (2 oder 16)

• nicht in Zweierkomplement, sondern Betrag und Vorzeichen

• bei Matisse Lage des Kommas durch Vereinbarung festgelegt

  • meist links von MBS

• Exponent ist ganze Zahl, die in Form ihrer Charakterisitik dargestellt ist

• für Charkterisitik und Mantisse wird im Rechner eine feste Anzahl von Speicherstellen festgelegt

• Länge der Charakteristik bestimmt die Grüße des Zahlenbereichs

• Länge der Mantisse die Genauigkeit der Darstellung

• Anzahl darstellbarer Zahlen (Bitkombinationen)

  ist zwar in allen zwei Fällen gleich (2^32) aber

• Bereich und DIchte darstellbarer Zahlen auf Zahlenstrahl ist sehr unterschiedlich

• maxreal

  • größte darstellbare normalisierte positive Zahl

• minreal

  • kleinste darstellbare normalisierte positive Zahl

• smallreal

  • kleinste Zahl, die man zu 1 addieren kann, um einen von 1 verschiedenen Wert zu erhalten

• Differenz zwischen aufeinander folgenden Zahlen wächst exponentiell mit der Größe der Zahl

  • bei Festkomma-Zahlen konstant

• bei Darstellung großer Zahlen ergibt sich hohe Ungenauigkeit

• Gesetzmäßigkeiten, die für reele Zahlen gelten werden für Maschinendarstellung verletzt (z.B. Assoziativgesetz)

• 
  

• viele Möglichkeiten unterschiedliche Gleitkommaformate zu definieren

  • Wortbreite, Basis, Darstellung 0, Anzahl der Stellen für Charakterisitik und Mantisse

Normierung erforderlich!

• definiert mehrere Darstellungsformen

  • IEEE single: 32 Bit

  • IEEE double: 64 Bit

  • IEEE extended: 80 Bit

• Basis ist 2

• erstes bit MAntisse wird implizit zu 1 angenommen, wenn die Charakteristik nicht nur Nullen enthält

• Normalisierung: erstes Bit Mantisse steht vor dem Komma

• Charakterisitik gleich 0, entspricht dies dem gleichen Exponenten wie bei Charakterisitik 1

• erstes bit der Mantisse wird dann aber explizit dargestellt

  
  

• alle bits der Charakterisitk 0 signalisiert Ausnahmesituation

• zusätzliche Mantisse gelich 0, wird Situation “overflow“ kodiert (unendlich)

• dies erlaubt Prozessor Fehlerbehandlung einzuleiten

• intern arbeiten Rechner nach IEEE Standard mit 80 Bit, um Rundungsfehler unwahrscheinlicher zu amchen

Darstellbarer Zahlenberiech

• Anzahl darstellbarer Zahlen (Bitkombinationen)

  ist zwar in allen zwei Fällen gleich (2^32) aber

• Bereich und DIchte darstellbarer Zahlen auf Zahlenstrahl ist sehr unterschiedlich

Darstellung:

• bei Mantisse Lage des Kommas durch Vereinbarung festgelegt

  • meist links von MBS

• Exponent ist ganze Zahl, die in Form ihrer Charakterisitik dargestellt ist

• für Charkterisitik und Mantisse wird im Rechner eine feste Anzahl von Speicherstellen festgelegt

• Länge der Charakteristik bestimmt die Grüße des Zahlenbereichs

• Länge der Mantisse die Genauigkeit der Darstellung

Eigenschaften IEEE-P 754

• Basis ist 2

• erstes bit MAntisse wird implizit zu 1 angenommen, wenn die Charakteristik nicht nur Nullen enthält

• Normalisierung: erstes Bit Mantisse steht vor dem Komma

• Charakterisitik gleich 0, entspricht dies dem gleichen Exponenten wie bei Charakterisitik 1

• erstes bit der Mantisse wird dann aber explizit dargestellt

  
  

• alle bits der Charakterisitk 0 signalisiert Ausnahmesituation

• zusätzliche Mantisse gelich 0, wird Situation “overflow“ kodiert (unendlich)

• dies erlaubt Prozessor Fehlerbehandlung einzuleiten

• intern arbeiten Rechner nach IEEE Standard mit 80 Bit, um Rundungsfehler unwahrscheinlicher zu amchen