Spezielle Vereinbarungen für die Darstellung von Vorzeichen und Komma im Rechner sind erforderlich
Darstellung des Kommas: 2 Möglichkeiten
Festkommadarstellung
Gleitkommadarstellung
Festkomma-Zahlen: Vereinbarungen
Komma sitzt in Maschinenwort, das eine Dualzahl enthalten soll, an fester Stelle
meist setzt man Komma hinter letzte Stelle
negative Zahlen: meist Zweierkomplement - Darstellung
Datentyp “Integer” ist spezielles Festkommaformat
manche Programmiersprachen erlauben Definition von Ganzzahlen unterschiedlicher Länge
Beispiel C:
short int
long int
int
unsigned
Gleitomma - Darstellung
für Zahlen, die betragsmäßig sehr groß/klein sind
halblogarithmische Form
Basis für bestimmte Gleitkommadarstellung fest (2 oder 16)
nicht in Zweierkomplement, sondern Betrag und Vorzeichen
Gleitkomma - Darstellung
bei Matisse Lage des Kommas durch Vereinbarung festgelegt
meist links von MBS
Exponent ist ganze Zahl, die in Form ihrer Charakterisitik dargestellt ist
für Charkterisitik und Mantisse wird im Rechner eine feste Anzahl von Speicherstellen festgelegt
Länge der Charakteristik bestimmt die Grüße des Zahlenbereichs
Länge der Mantisse die Genauigkeit der Darstellung
Normalisierung
Darstellbarer Zahlenbereich
Anzahl darstellbarer Zahlen (Bitkombinationen)
ist zwar in allen zwei Fällen gleich (2^32) aber
Bereich und DIchte darstellbarer Zahlen auf Zahlenstrahl ist sehr unterschiedlich
Charakterisitische Zahlen
maxreal
größte darstellbare normalisierte positive Zahl
minreal
kleinste darstellbare normalisierte positive Zahl
smallreal
kleinste Zahl, die man zu 1 addieren kann, um einen von 1 verschiedenen Wert zu erhalten
Ungenauigkeiten
Differenz zwischen aufeinander folgenden Zahlen wächst exponentiell mit der Größe der Zahl
bei Festkomma-Zahlen konstant
bei Darstellung großer Zahlen ergibt sich hohe Ungenauigkeit
Gesetzmäßigkeiten, die für reele Zahlen gelten werden für Maschinendarstellung verletzt (z.B. Assoziativgesetz)
Problematik unterschiedlicher Definitionen
viele Möglichkeiten unterschiedliche Gleitkommaformate zu definieren
Wortbreite, Basis, Darstellung 0, Anzahl der Stellen für Charakterisitik und Mantisse
Normierung erforderlich!
IEEE-P 754 Floating Point Standard
definiert mehrere Darstellungsformen
IEEE single: 32 Bit
IEEE double: 64 Bit
IEEE extended: 80 Bit
Eigenschaften IEEE-P 754
Basis ist 2
erstes bit MAntisse wird implizit zu 1 angenommen, wenn die Charakteristik nicht nur Nullen enthält
Normalisierung: erstes Bit Mantisse steht vor dem Komma
Charakterisitik gleich 0, entspricht dies dem gleichen Exponenten wie bei Charakterisitik 1
erstes bit der Mantisse wird dann aber explizit dargestellt
alle bits der Charakterisitk 0 signalisiert Ausnahmesituation
zusätzliche Mantisse gelich 0, wird Situation “overflow“ kodiert (unendlich)
dies erlaubt Prozessor Fehlerbehandlung einzuleiten
intern arbeiten Rechner nach IEEE Standard mit 80 Bit, um Rundungsfehler unwahrscheinlicher zu amchen
Darstellbarer Zahlenberiech
Darstellung:
bei Mantisse Lage des Kommas durch Vereinbarung festgelegt
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