Lektion 2 Auswertungsmethoden eindimensionaler Daten

• Beispiel Skript Seite 28 Anschauen !

• Tabellarische oder Grafische Darstellung der geordneten Merkmalausprägungen - ihnen zugeordneten absoluten und relativen Häufigkeiten

• Zeit wie häufig bestimme Merkmalauspr. In den Daten vorkommt

• Relative Häufigkeit gibt den Anteil von allen Beobachtungswerten an

• Tabellarische und grafische Darstellung hängen Merkmalsart und der Skalierung ab

• Tabelle Beispiel Skript Seite 29

• Merkmalausrprägung ist x

• Index j spricht für die versch. Werte

• Beispiel j = 1 - Entwicklung

• X1 = Entwicklung

• absolute und relative Häufigkeiten liefern prinzipiell identische Infos

• Mit der relativen H. Kann man Verteilungen besser Vergleichen

• wie im Beispiel App inc

• Merkmal = Abteilung (besitzt abzählbare Merkmalausrpägung)

• Können in keine natürliche Reihenfolge gebracht werden

• Ist also Qualitatives, diskretes Merkmal , kann auf keiner Nominalskala gemessen werden

• Geläufigste Darstellungen

• Säulendiagramm:

• Anordnung der Merkmalausprläung ist willkürlich , gibt keine natürliche Ordnung

• Säulendiagramm wird auch Stabdiagramm genannt

• Man kann auch Balkendiagramm nehmen

• Kreisdiagramm:

• Meist bei Nominalskallierten Merkmalen (Kreis hat keinen Anfang bzw Endwert)

• zb Ausbildung , Noten

• Merkmalausprägung: x1 = Mittl. Reife , x2 = Abitur, x3 = Bachelor , x4 = Master

• Ausprägungen haben eine natürliche Ordnung, sind abzählbar, folglich komparatives , diskretes Merkmal

• Wird auf Ordinalskala gemessen

• Beim Beispiel soll stat. Erfasst werden wieviele Beschäftigte einen bestimmten Abschluss haben

• Für dieses Merkmal - Häufigkeitstabelle udn ein Säulendiagramm (alles im Skript abgebildet) Seite 32, 33…

• laut Säulendiagramm - 9 Beschäftigte Abschluss (Merkmalausprägung) Bachelor (absolute Häufigkeit) bzw 36% aller Beschäftigten haben einen Bachelor

• Aufgrund dieser Ordnung ist es möglich :

• Kumulative absolute bzw relative Häufigkeiten zu berechnen , bei denen die Einzelhäufigkeiten jeweils addiert werden

• kumulative absolute H. Der Merkmalauspr. Mittl. Reife und Abitur ist die Summe der absoluten H. Beider Ausrpägungen also

• 3 + 6= 9

• Formale Schreibweise H (x2) = h (x1) + h (x2) = 3+6=9

• 9 Mitarbeiter haben einen Abschluss der Mittl. Reife und Abi

• Analog kann zur Ermittlung der kumulierten relativen H. Der Ausprägungen M.R. Und Abi vorgeben zb.

• F (x2) = f (x1) + f (x2) = 0,12 + 0,24 = 0, 36

• Also 36 % haben M.R oder Abi

• Formel dazu auf Karteikarte !

• wird über alle Merkmalauspr. Kumuliert, entspricht die Kumulierte absolute H. Stets der Anzahl der Beobachtungen n und die kumulierte relative H. Ist gleich 1

• Beispiel H (x4) = 3+ 6+9+7= 25 (gesamtwert)

• X4 = Abschlüsse, 3 Mittl. R. , 6 Abi, 9 Bachelor, 7 Master

• Beispiel F (x4) = 0,12+0,24+0,24+0,36+0,28= 1 (das muss so sein)

• Denn 100% der Beschäftigten (25) haben einen der Abschlüsse

Beispiel Skript App Inc.:

• Merkmal Eintrittsjahr - abzählbare Merkmalauspr. Also diskret allerdings hier quantitatives Merkmal

• Dadurch Häufigkeitstabelle und Säulendiagramm - Skript Seite 35

• Merkmal Bruttogehalt : natürliche Reihenfolge - natürlicher Nullpunkt

• Liegt ein quantitatives Merkmal vor

• Wird auf Verhältnisskala gemessen

• Problem ist: Anzahl Ausprägungen ist sehr hoch , würde schnell unübersichtlich

• Besser Daten klassieren (größe Anzahl von Merkmalauspr. Wird zu überschaubar vielen Klassen zusammengefasst

• Wichtig : Klassen dürfen nicht überlappen, zw. Den Klassen keine Zwischenräume

• Beispiel Klassen Karteikarte! S. 36

Klassen Mitte *:

• entspricht dem Wert, der in der Mitte der Klasse liegt

• * bedeutet es ist die mittte der klasse

Klassenbreite w:

• ist die Differenzierung zwischen oberer und unterer Klassengrenze

Außerdem gibt a untere Klassengrenze und b obere Klassengrenze an

Index j kennzeichnet jeweilige Klasse zb j = 1

Beispiel Skript Seite 37

Klasse = K

Tief gestellte Zahl zeigt Klassennummer Skript Seite 36!

1. absolute H. Gibt bei klassierten Daten Anzahl der Beobachtungen an die in bestimmte Klasse fallen

• Zb 5 Bruttogehälter die in Klasse 3 fallen , 5 Mitarbeiter verdienen zwischen 5000 und 6999,99

1. Relative H. Zeigen wie viel Prozent der Beobachtungswerte in eine bestimmte Klasse fallen

   • Zb 20% aller Bruttogehälter in Klasse 3

2. Kumulierte absolute und relative H. Summieren die Einzelwerte auf

   • zb der Wert 11 zeigt anl dass insg. 11 Bruttogehälter entweder in Klasse 1 oder 2 oder 3 Fallen

   • Der wert 0,44 zeigt an, dass 44% aller Bruttogehälter entweder 1,2,3 Klasse zugehören

Einpunkt und Rechteckverteilung:

• Einpunktverteilung - sind per Annahme alle Beobachtungswerte mit der Klassenmitte identisch

• Rechteckverteilung- sind per Annahme alle Beobachtungswerte gleichmäßig über die dKlassenbreite verteilt

• alle Beobachtungswerte stimmen mit der Klassen Mitte überein

• Wir erhalten eine per Annahme erzeugte Merkmalausprägung xj stern oben (Karteikarte)

• Zb x1 stern : 1500 kommt 3 mal vor (absolute Häufigkeit)

• X2 stern : 4000 gleiches

• X3 stern: 6000 gleiches wie bei x1

• Wir tun so als wären die Klassenmitten unsere Beobachtungswerte (diagram u Beispiel im Skript )Seite 39

• hat mehr Bezug zu den realen Daten

• Wird ausgegangen dass sich die Beobachtungswerte gleichmäßig über die gesamte Klassenbreite verteilen

• Werden durch Rechtecke grafisch dargestellt

• Breiten der Rechtecke identisch mit Breiten der Klassen

• Höhe kann ermittelt werden, dass die relative Häufigkeit durch die Klassenbreite dividiert wird

• Zb 1. Rechteck f1/w1 = 0,00004

• 2 f2/w2 = 0,00006

• Werte geben an wie dicht die Beobachtungswerte innerhalb der Klassen liegen

• Je höher der Wert desto dichter liegen die Klassen aneinander

• Flächeninhalt zeigt die relative Häufigkeit

• Wichtig : zwischen den Rechtecken also zwischen den Klassen darf es keine Abstände geben

• Klassen sollen alle möglichen Ausprägungen behinhalten

• emprirische Verteilungsfunktion (grafische Darstellung) im Skript Seite 40

• Präsentiert die kumulierte Häufigkeit

• Zeigt an wie hoch der Anteil oder Beobachtungswerte ist der kleiner od. Kleiner/gleich eines wertes ist siehe Skript

• sobald es sehr viele unterschiedliche Merkmalausprägungen gibt

• Vorallem bei stetigen Merkmalen der fall (zb Gewicht)

• Ist überabzählbar viele Ausrpägungen

• Beispiel im Skript ist stetiges Merkmal - werden ebenfalls klassiert

• beschreiben die zentral Lage einer Verteilung

• Mit Hilfe der Häufigkeitsverteilungen ist es möglich Daten überstichtlich darzustellen - Vorallem bei sehr vielen Daten

• Gängige Praxis der statistischen Analyse

• Nachteil alle Daten müssen berücksichtigt werden

• Hilfe schafft das Konzept der statistischen Maßzahlen (Od. Kennzahlen) - Versuch die Daten mit einem bestimmten wert , der stat. Maßzahl zu beschreiben

• Wir unterscheiden Lagemaß (Daten sollen durch einen mittleren wert charakterisiert werden

• Oder Streuungsmaße (Unterschiedlichkeit der Daten steht im Vordergrund )

• Mittelwert: (arithmetische Mittel) - entspricht dem Durchschnitt der Beobachtungswerte

• Median: (zentral Wert)

• Modus: (modal Wert)

Welche Lagemaße zur Anwendung kommen hängt davon ab um welche Merkmals Art es sich handelt und auf welcher Skala das Merkmal gemessen wird

• Lagemaße (zentrale Lage einer Verteilung)

• Streuungsmaße (Streuung einer Verteilung wird anhand des Streuungsmaße beschreiben

• Beispiel 10 Studierende werden nach alter (= Merkmal) gefragt

• Ergebnisse (Beobachtungswerte) sind:

• 25,25,30,23,41,36,33,33,25,31

• Der Mittelwert der Daten gibt aufschluß über durchschnittliches Alter

• Berechnung : alle Beobachtungswerte addieren und dann Anzahl der Beobachtungen dividieren

• 25+25+30+23+41+36+33+33+25+31 : 10 = 302 :10= 30,2 Jahre alt

• Formel auf Karteikarte

• Index i wird verwendet um alle Beobachtungswerte kennzeichnen zu könne

• Beispiel xi = 25, xi = 25 xi = 30…

• Summe Zeichen ist auf Karteikarte ( beschreit das alle Beobachtungswerte (i gleich 1 geteilt durch n ) addiert werden

• Formel auf Karteikarte Seite 42

• Summe aller Beob. W entspricht 302 und für die Anzahl gilt n = 10

Beispiel: Hilfreich ist die absoluten Häufigkeiten der Merkmalausrpägungen anzugeben :

X1 = 23 - h (x1) = 1

X2 = 25 - h (x2) = 3

X3 = 30 - h (x3) =1 usw. im Skript Seite 43

• X1,2,3 … geben Merkmalausprägung an und nicht Beobachtungswert

• Absolute Häufigkeit h wird zur Anzahl der Beobachtungswerte (in diesem fall 10) addiert

• Rechnung im Skript , Formel im Skript Seite 43

• Merkmal Alter stellt quantitatives Merkmal dar

• Wird auf Verhältnis Skala gemessen

• Für solche Merkmale ist Mittelwert geeignetes Lagemaß

• Dieses Merkmal hat keinen Nullpunkt, deswegen Intervallskaliert handelt sich um einen Durchschnitt

• Zahl gibt mittleren wert des Beobachtungswerts an

• für qualitative od komparative Merkmale kann der Mittelwert nicht berechnet werden

• Gibt allerdings “Ausreißer”

• Beispiel Skript Seite 44l

• Bei Interpretation von Mittelwerten muss überprüft werden ob Ausreißer den durchschnitt verzerren

• Besonderheit , usprüngliche werte sind nicht mehr vorhanden oder erkennbar

• Weder Beobachtungswerte aufsummieren noch absolute Häufigkeit der Merkmalauspr. Berechnen

• Um trotzdem Mittelwert zu berechnen : Annahme der Rechteck- Verteilung

• Anstelle Merkmal xj die Klassenmitte xj stern oben Formel im skript (Karteikarte anlegen) Seite 44

• kommt am häufigsten in den erhobenen Daten vor

• Wird als häufigster wert bezeichnet durch x unten mod symbolisiert

• Eignet sich zur Beschreibung von qualitativen Daten die auf Nominalskala gemessen werden

• Beispiel app inc. welches Merkmal kommt man häufigsten vor

• Antw. Die Ausrpägung Entwicklung ist mit einer absoluten Häufigkeit von 7 der häufigste wert

• X mod= Entwicklung

• Modus lässt sich auch für komparative und quantitative Merkmale bestimmen

• Merkmal Ausbildung x mod=Ausbildung

• Merkmal Eintrittsjahr x mod = 2010

• großer Vorteil des Modus - ist gegenüber Außreisern unempfindlich

• statistische Maßzahl, gibt den Beobachtungswert an

• Liegt genau in der Mitte (wird auch Zentral wert genannt )

• X med = ist das Symbol

• Um den Median zu berechnen müssen die Beobachtungswerte geordnet werden

• Auf oder absteigend

• Median ist nicht geeignet für qualitative Merkmale

• Sinnvoll für komparative und quantitative

• Bei komp. m. Gilt die Einschränkung , dass einen ungerade Anzahl an Beob. W. Vorliegen muss

• Beispiel Skript 10 studierende

• Beob. W. Sortieren nach Alter - aufsteigend nach ihrer Größe

• Hierbei gerade Anzahl n = 10

• Mitte ist dadurch kein beobachteter wert

• Sondern wert zwischen dem fünften Bw (30) und dem sechsten Bw. (31)

• Median entspricht x med= 30,5

• Würden 11 Studenten gefragt wäre eine genau Mitte vorhanden …31 wäre direkt in der Mitte

• Also Median x med= 31

• Bei ungerader Anzahl ist die Mitte ablesbar

• Median ist dann unempfindlich gegernüber Ausreißern denn das alter der Befragten hätte keine Auswirkung

• Varianz ist Streuungsmaß

• Drückt Streuung der Daten m den Mittelwert aus

• Je höher der Wert, desto höher die Streuung einer Verteilung (sofern der Mittelwert konstant bleibt)

• Berechnet wird Varianz indem man Differenzen zwischen Beob. W. Und Mittelw. Bildet, Ergebnisse quadriert, dann aufsummiert, am Ende durch die Anzahl der Beobachtungen dividiert

• Beispiel im Skript Seite 47

• Die 50 aus dem Skript stellt die gesuchte Varianz dar symbolisiert durch s hoch 2

• 3 Ergänzungen im Skript mit Beispiel

• 2te Beispiel kann durch Umrechnung entkräftet werden

• Durch ziehen der Wurzel wird die Quadrierte Zahl wieder zu ihrer ursprünglichen Einheit zurückgeführt

• Beispiel Befragung 1: Wurzel50 = 7,07s (das beobachtete Alter weicht um 7,07 Jahre vom Mittelwert 30 Jahre ab

• Beispiel Befragung 2: Wurzel0,40= 0,63 (0,63 Jahre vom Mittelwert 30 Jahre)

• - Streuung in Befragung 1 ist wesentlich höher l

• Der sogewonnene Wert ist als Standardabweichung gekennzeichnet mit s

• Varianz und Standardabweichung Berechnung mit folgender Formel auf Karteikarte

• Varianz kann auch auf basis der absoluten und relativen Häufigkeit ermittelt werden

• Formel für absolute Häufigkeit in Skript (Karteikarte)

• Xj nun die Merkmalausprägung (nicht der Beobachtungswert)

• - m die anzahl der Merkmalausrpägungen in den Daten angibt

• Beispiel Arbeitstabelle Skript Seite 51

• neben Varianz und Standardabweichung noch drittes Maß

• Charakterisiert Streuung der Daten um den Mittelwert

• Mittlere absolute Abweichung MAD

• Wird durch folgende Formel charakterisiert Skript Seite 52

• Anstatt Differenzen der Beobachtungswerte vom Mittelwert zu quadrieren, wird der absolutbetrag der Differenz verwendet

• Negative werte werden durch den absolutbetrag zu positiven Werten

• Beispiel Skript Seite 53

• Differenz zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Beobachtungswert nenn man Spannweite

• Spannweite ist ein Streuungsmaß

• Buchstabe R (range)

• Gibt Differenz zwischen dem maximalen und minimalen Beobachtungswert an

• Beispiel im Skript : Niedrigste wert ist 23 höchste ist 41l

• Spannweite ist R= 41-23=18

• Ist allerdings empfindlich für Ausreißer

• Spannweite kann auch für komparative Merkmale angegeben werden

• Übungen im Skript Seite 54 und 55