Analytische Geometrie

Hat man einen Punkt p auf der Ebene und einem Normalenvektor der orthogonal zur Ebene ist und somit auch orthogonal zu Punkt p ist, ist dieser auch auch orthogonal zu einem weiteren Punkt x auf der Ebene. Daraus lässt sich die allgemeine Normalenform ableiten:

Eine weiter Multiplikation zweier Vektoren. Das Kreuzprodukt steht zu beiden Vektoren orthogonal, was bedeutet, dass das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren einer Ebene in Parameterform ergibt den Normalenvektor

Berechnung:

Die HNF lässt sich aus der allgemeinen Normalenform herleiten.

Dies funktioniert, indem man für den Normalenvektor, den Einheitsvektor des Normalenvektors einsetzt.

Rechnung für den Abstand von Punkt Ebene

n und q sind gegeben:

Man setzt für x jetzt den Ortsvektor des Punktes p ein und dann errechnet man mit dem Betrag den Abstand

Koordinatenform herleiten

Punkt einsetzen und durch Betrag des Normalenvektors teilen

Geh' Heim - Altes Haus - Gib Acht - Auf's Geld [sin - cos - tan - cot]

Winkel zwischen zwei Ebenen nutz die selbe Formel, nur mit den beiden Normalenvektoren

Lotfußpunktverfahren

P(1|2|3) und g:x sind gegeben.

L ist ein Punkt auf der Gerade.

PL mit Faktoren bilden

PL muss orthogonal zum Richtungsvektor der Gerade sein, weshalb PL * RG = 0 gelten muss. Durch Ausrechnen, des Skalarprodukts kommt ein Wert für den Faktor der Gerade heraus. L mit dem Faktor ausrechne und dann |PL| bestimmen

A = |a x b|,

gilt für Quadrat, als auch Parallelogramm. Für ein Parellogramm gilt auch |a| * |a| * sin(⍺), wobei a der Winkel zwischen a und b ist.

1/2 * |a x b|

1/2 * Grundseite * Höhe

Grundseite * Höhe ( von beiden Seiten aus, also: a * ha oder b * hb)

1/2 * ( Grundseite unten + obere Grundseite) * Höhe -> 1/2 * (a+c) * h

1/3 * Grundfläche * Höhe