Lektion 7 Statistische Schätzverfahren

• um Erwartungswert der Grundgesamtheit zu schätzen ist Schätzfunktion notwendig

• Als Schätzfunktion kommen Realisierungen einer Stichprobenfuntion in Betracht

• Für Schätzung von u langer strich bietet sich Stichprobenfunktion “Stichprobenmittlewert” an Formel Skript Seite 123

• Kleine Buchstaben weil konkrete Stichprobe gezogen wurde , somit eine Realisierung von Zufallsvariablen

• 2 wichtige Kriterien:

• Erwartungstreue und Konsistenz

• Erwartungstreue : liegt vor, wenn Erwartungswert des Schätzers mit dem Erwartungswert in der Grundgesamtheit übereinstimmt

• Für Stichprobenmittelwet gilt E (X strich oben ) = u langer strich , also erhalten wir auch E (u langer Strich Dach = u langer strich (Skript Seite 123)

• Damit ist Punktschätzer “Stichprobenmittelwert” Erwartungstreu

• Schätzwert muss umso genauer sein je größer der Stichprobenumfang ist

• Beispiel Skript Seite 123

• Konsistenz: liegt vor wenn der Schätzer mit zunehmendem Stichprobenumfang dem wahren Parameter in der Grundgesamtheit annähert

Rechnung und Formel Skript Seite 124

• Intervallschätzung: Schätzung eines Parameters mit Angabe eines Intervalls nennt man Intervallschätzung

• Stichprobenfehler: verdeutlicht, dass zwischen Schätzer und wahrem Parameter höchstwahrscheinlich einen Unterschied gibt (werden auch zufällige Stichprobenfehler genannt )

• Intervallschätzung: Intervall wird gesucht in dem wahre aber unbekannte Parameter der Grundgesamtheit mit gewissen Wahrscheinlichkeit liegt

• Handelt es sich bei diesem Parameter um den Erwartungswert eines Merkmals der Grundgesamtheit u langer strich , wird auch hier der Stichprobenmittelwert als Schätzer herangezogen

• Zusätzlich wird Stichprobenfehler einkalkuliert um klar zu machen das der Schätzer nicht mit dem Parameter der Grundgesamtheit übereinstimmt

• Ergebnis : Konfidenzintervall : durch KI symbolisiert

• Konfidenzintervall: entspricht dem bei einer Intervallschätzung ermittelten Intervall

• entspricht der Wahrscheinlichkeit dass der wahre Parameter im ermittelten Konfidenzintervall liegt

• Symbolisiert 1 - alpha auch konfidenzniveau oder Vertrauenswahrscheinlichkeit genannt

• Umkehrschluss dazu gibt dann alpha Irrtumswahrscheinlichkeit an : Wahrscheinlichkeit dafür dass wahre Parameter nicht im erzeugten Konfidenzintervall liegt

• Grundlage ist Stichprobenmittelwert x oben strich

• Intervall wird erzeugt , liegt symmetrisch um den Stichprobenmittelwert

• Man subtrahiert eine bestimmte Zahl vom Mittelwert (linke Intervallgrenze )

• Und addiert die gleiche zahl auch wieder (rechte Intervallgrenze)

• Z.b Stichprobenmittelwert 10 , besagte Zahl 2

• 10 - 2 = 8 (linke) 10+ 2 = 12 (rechte)

• Zahl die vom Mittelwert subtrahiert oder addiert wird bestimmt daher Breite des Konfidenzintervalls - entspricht dem Stichprobenfehler der durch (Zeichen im Skript Seite 126 symbolisiert wird)

• Zur Ermittlung des Konfidenzintervalls muss Wahrscheinlichkeitsrechnung herangezogen werden

• Beispiele und Rechnungen Skript Seite 126, 127, 128, 129,

• Intervallschätzung verscuht wahren aber unbekannten Parameter in der Grundgesamtheit genau zu schätzen

• Vorrangiges Ziel ist , Stichprobenfehler so gering wie möglich zu halten

• Ist Standardabweichung des Betreffenden Merkmals der Grundgesamtheit bekannt , ist Stichprobenfehler von 3 Faktoren abhängig

• Konfidenzwahrscheinlichkeit ( meist relativ hoch mind. 90% angesetzt )

• Standardabweichung in der Grundgesamtheit (ist ein nicht beeinflussbarer Wert)

• Stichprobenumfang ( je höher der Stichprobenumfang , desto geringer der Stichprobenfehler )

• Formel Skript Seite 131

• Wichtig: Führt Anwendung der Formel zu Dezimalzahl wird immer auf die nächste ganze Zahl aufgerundet