4. Faktoranalyse

= wenn große Datensätze analysiert werden sollen

1. Reduktion große Anzahl korrelierende Variable auf geringe Anzahl von Faktoren

2. Strukturierung Daten um Abhängigkeit zwischen korrelierenden Variablen zu erkennen

   —> auf gemeinsame Ursachen (Faktoren)       untersuchen + Konstrukt generieren

• Annahme: Datensatz aus hoch korrelierenden AVs

• ausreichend Wechselbeziehung zwischen Daten wichtig (vorher prüfen)

• —> konzeptionelle Eignung = kausale Interpretation empirischer Korrelation unterstellt

• —> Annahme: Korrelation durch dahinter stehende Variable F verursacht

• = Stärke Zuordnung durch Korrelationen zwischen ursprünglichen Variablen + Faktoren gemessen

• —> EFA = entdecken von Strukturen in Datensatz

  - Anwender keine Vorstellung, wie metrische Ausgangsvariablen zu Faktoren zsm.gefasst

  - Anzahl extrahierende Faktoren unbekannt

• —> KFA = Vorstellungen bekannt bzgl. Anzahl, Interpretation, Zuordnung Ausgangsvariable

• Zusammenhänge Variablen = Korrelatioxsmatrix berechnen

  —> Vereinfachung durch Standardisierung möglich

• Interpretation Korrelationen zwischen 2 Faktoren als von dritten (nicht beobachteten) gemeinsamen abhängig

• standardisierte Variablen = Varianz-Kovarianz-Matrix + Korrelatioxsmatrix identisch

  
  

• (Test auf Sphärizität)

• —> prüft Hypothese, dass Stichprobe aus GG stammt, wo Variablen unkorreliert

• —> H0: Variablen in Erhebungsgesamtheit unkorreliert, H1: korreliert

• —> unkorreliert = Korrelatioxsmatrix entspricht Einheits-/ Identitätsmatrix (R = I)

• —> Voraussetzung: Variablen sind Normalverteilt

• —> Prüfgröße: Chi-Quadrat

1. —> partielle Korrelation: Grad Abhängigkeit zwischen 2      Variablen (ohne anderen Einfluss)

2. —> eher klein = Variablen wahrscheinlich gemeinsame       Varianz durch gem. Faktor

3. —> kleine partielle Korrelation = hohe Werte für KMO

1. —> Eignung einzelner Variable für Faktorenanalyse

2. —> MSA = Werte zwischen 0 und 1 (möglichst nahe 1 liegen)

1. —> Varianz in 2 Teile zerlegbar (Image und Anti-Image)

2. —> Image = Anteil Varianz, durch Variablen mit multiple Regressionsanalyse erklärbar

3. —> Anti-Image = von übrigen Variablen unabhängig

4. —> geeignete Variable = wenn Anti-Image nahe Null

5. —> partielle Kovarianzen zwischen 2 Variablen = für negative PK eher klein sein

6. —> AIKM = enthält partielle Kovarianzen zwischen Variablen + Anti-Image-Werte Variablen

• Korrelationen in Vektordiagramm abbilden (Korrelation Winkeln zwischen 2 Vektoren)

  —> 2 Vektoren = linear unabhängig (unkorrliert), wenn orthogonal (90 Grad) zueinander

• Bestimmung Faktoren (Achsen) in Position zu Vektoren

• Annahme: jeder Beobachtungswert einer standardisierten Variable j bei Person n als Linearkombi aus mehreren (nicht beobachteten) Faktoren darstellbar

• Faktorladung a = wie stark Faktor mit anfänglicher Variable zusammenhängt —> Maß Beziehung Variablen und Faktor

• Fundamentaltheorem = Beziehung

• Faktorladung = Modellparameter des faktoranalytischen Modells

• durch Standardisierung Ausgangsvariable MW von 0 und SA von 1

• Varianz der standardisierten Variablen stehen auf Hauptdiagonale der Korrelatioxsmatrix + entsprechen Korrelation einer Variablen

• Können Faktoren Varianz vollständig reproduzieren, ist Summe quadrierte Faktorladung 1

1. Reduktion große Anzahl korrelierte Variablen auf geringe Anzahl an Faktoren

2. Aufdeckung Ursachen (Faktoren), die hinter Korrelation zwischen Variablen stehen

• für 1: Hauptkomponentenanalyse (HKA)

  —> nach kleiner Anzahl von Faktoren gesucht, die max. Varianz (Info) reproduzieren

  —> Ziel: Datenreduktion

• für 2: Faktoranalyse (FA)

  —> Faktoren als Ursache der beobachteten Variablen und Korrelationen interpretiert

  —> Annahme: Faktoren erklären nicht gesamte Varianz der Variablen

  —> zum Auffinden und Untersuchung von Hypothesen

• HKA von FA unabhängiges Verfahren, unterschiedliche theoretische Modelle

  —> beide aber gleiche Schritte, verwendeten iterative Algorithmen zur Lösung

• großen Teil Varianz in Datensatz mit nur 1/ wenigen Hauptkomponenten reproduzieren

• Kommunalität = Maß für Varianz (Info) einer Variable j, durch Hauptkomponenten erklärt —> wie viel Varianz (Info) einer Variable durch extrahierte Hauptkomponente erklärt

• Summe quadrierte Ladungen über Variablen ergibt Eigenwert Hauptkomponente q

  —> als Maß für die in Faktor erhaltene Infos interpretiert werden

• veranschaulichen in Screeplot (Liniendiagramm der Eigenwerte über Anzahl extrahierte Hauptkomponenten/ Faktoren

• Ziel HKA: Entdeckung geringe Anzahl von Komponenten + Erhaltung Maximum an Info

1. große Anzahl von Variablen durch kleine Anzahl Hauptvariablen repräsentieren,

2. die unkorreliert sind, keine redundanten Infos enthalten,

3. Maximum an Infos bewahren

• Ursache (Faktoren) der beobachteten Variablen + Korrelation aufdecken

• FA = Kommunität einer Variable nie 1, sondern immer kleiner 1

  —> auch wenn alle Faktoren extrahiert

• Kommunalitätsproblem = Kommunität erst nach Extraktion der Faktoren bekannt

• Bestimmung anfängliche Kommunität = multiple quadrierte Korrelationseffiziente jeder beobachteten Variable j in Bezug auf andere Variable

• —> Hauptachsenanalyse (HAA) = Grundverfahren für Faktorenanalyse

  - extrahiert Faktorladungen auf empirischen Korrelationsmatrix

  - Schätzung der Kommunität der Variablen

• nachfolgend gebräuchliche Extraktionsverfahren der Faktorenanalyse

• aus Vorstellung Anwender abgeleitet werden, wie viel Einheitsvarianz erklärt werden soll

• oder Anwender kennt Anzahl extragierende Faktoren

• keine Vorstellung zur Zahl = Hilfskriterien zur Entscheidungsfindung:

1. Betrachtung der anfänglichen Eigenwerte im Ausgangspunkt

2. Eigenwert oder Kaiser Kriterium

3. Scree-Test = greift anfängliche Eigenwerte auf (Knick, Ellbogen) —> Faktoren mit kleinsten Eigenwerten als Geröllhalde (ungeeignet) betrachtet

• extrahierte Faktoren = keine Aussage, wie viel Varianz durch gewählte Faktorenlösung erklärt

• Beurteilung durch Differenzen zwischen empirischen und reproduzierten Korrelationen

  —> Residuen sollten immer < 0,5 sein

• Mehrfachladung = Interpretation schwer, wenn nicht klar auf welchem Faktor Variable lädt

  —> absolute Wert der Faktorladung sollte > 0,5 sein, um relevant zu sein

• Rotation = wenn Zuordnung nicht eindeutig, verbesserte Interpretation durch Rotation

  1. Annahme: Faktoren korrelieren nicht, Vektoren bleiben in rechten Winkel zueinander

  —> VARIMAX-Rotation am bekanntesten

  2. Korrelation angenommen = Vektoren in schiefen Winkel zueinander rotiert

  —> oblique (schiefwinklige) Rotation

1. = einfache Methode, höchste Ladung einer Variablen als Ersatz für Faktor angenommen

2. —> nur akzeptable, wenn höchste Laufend dominanter Wert

3. —> alle anderen Ladungen dramatisch niedriger

1. = Alternative zu Surrogate, nutzen mehr Infos

2. —> kombinieren Variablen, die selbes Konzept messen

3. —> MW jedes Faktors gebildet

4. —> Basis: Mehrfachladungen

1. = Matrix des RK multipliziert erhält man Matrix der Faktorwerte P

2. —> Interpretation Faktorwerte = achten, dass Standardisierte Werte enthalten

3. —> negativer Faktor = Objekt in Bezug auf Faktor im Vergleich unterdurchschnittlich

4. —> Faktor bei 0 = Objekt entspricht Durchschnitt

5. —> positiver Faktor = Objekt in Bezug auf Faktor im Vergleich überdurchschnittlich

• Ziel EFA: Variablen finden, die hoch korreliert sind und Faktoren kombinieren

• —> keine a priori Beziehung zwischen Variablen

• —> um Daten zu erforschen und nach Struktur in Satz von Variablen zu suchen

• —> um Anzahl der Variablen zu reduzieren

• vorgegebene, hypothetische Konstrukte durch empirisch erhobene Variablen messen

• —> zur Prüfung, ob Faktor in empirisch gemessene Variable widerspiegelt

• —> Instrument zur Operationalisierung hypothetischer Konstrukte (latente Variable)

  1. Anzahl Faktoren (betrachtete Konstrukte)

  2. Inhaltliche Benennung Faktoren

  3. Findung und Zuordnung Messvariablen, die Konstrukt in Gesamtheit widerspiegelt