Was ist das Wohlordnungsprinzip? Nenne Beispiele.
eine nichtleere Menge A von reellen Zahlen heißt wohlgeordnet, wenn jede nichtleere Teilmenge T von A ein Minimum besitzt.
Beispiele:
M=(-5,0,2) ist wohlgeorndet, denn minM=-5
T1 = (0,1) ist nicht wohlgeordnet, denn ein offenes Intervall hat kein Minimum
Die Mengen der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen sind auch nicht wohlgeordnet
Warum ist die Menge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet?
die Menge der N besitzt ein Minimum
man kann die Wohlgeordnetheit von N jedoch nicht beweisen, daher wird es einfach akzeptiert
Was ist eine Folgerung aus dem Wohlordnungsprinzip?
die Gültigkeit des Prinzips der vollständigen Induktion
Wie lautet der Satz für die Induktion?
Für jede natürliche Zahl n sei P(n) eine Aussage
Wenn
P(n) wahr ist
für alle k aus N gilt: P(k) => P(k+1)
dann gilt für alle n aus N: P(n)
Wie geht man bei einem Induktionsbeweis vor?
man startet mit dem Induktionsanfang
man zeigt also, dass P(1) wahr ist
dann folgt die Induktionsannahme
sei n aus den natürlichen Zahlen
es gelte unsere Behauptung
schließlich folgt der Induktionsschluss
zu zeigen ist P(n+1)
man setzt für jedes n nun (n+1) ein
dann muss man die Annahme nutzen und umformen
Was ist das starke Induktionsprinzip?
sei m aus Z und sei S:=( i / i aus Z , m < oder = i )
für jedes n aus S sei P(n) eine Aussage wenn
P(m) wahr ist
wenn P(i) für alle Zahlen i mit m < oder = i < oder = k gilt, dann ist P(k+1) auch wahr
dann gilt P(n) für alle Zahlen
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