Was passiert bei der zeitdiskreten fouriertransformation mit dem integral?
die integarion wird summation
-> da nur beiträge zu den abtstzeitpunkten nTA (dazwischen nicht definiert; oder auch 0 angenommen…)
statt kontinuierlicher frequenz klein omega
-> hat man nun die digitale Frequenz, da spektren periodisch
=> für omega kleiner / größer pi -> spektren widerholen sich
Woran kann man einfach erkennen, dass das spektrum periodisch ist in der zeitdiskreten fourier transformation?
Argument von X (klein omega) wird durch e^j omega ersetzt
-> dieses ist periodisch mit 2pi!
Was ist oft ein problem für nicht periodische funktionen f(t)?
das integral [-inf,inf] f(t) e^(-jwt) dt konvergiert nicht
=> PROBLEM! (-> fourier transformierte existier für diese funktoin nicht!
Wie kann man abhilfe schaffen wenn das fourier integral nicht konvergiert?
-> Im kausalen fall:
dämpfung der zeitfunktion mit e^(- sigma t)
dann in abhöngigkeit von f(t) für bestimmte werte von sigma >= 0 konvergenz herstellbar
Wie führt man die dämpfung in das integral ein ?
F_s(w) = integral [0,inf] f(t) e^-(s t) e^-(jwt) dt
Was stellt das s dar im integral?
s = sigma + j omega
=> F_s(w) stellt eine ganze schar von spektraldichten dar
von denen einige nicht existieren können (i.e. integral konvergiert nicht…)
Wie kann man nun das s nutzen (die schar der spektraldichten)?
Abtragen von s in einem graph
-> mit y-achse -> jw
-> mit x-achse -> sigma
=> F(s) = integral [0,inf] f(t) e^-((sigma + jw)t) dt
=> dann stellt F(s) bei festem s die spektralfuncktoin der mit e^-(st) gedämpften zeitfunktion f(t) dar
Als was wird F(s) bezeichtet?
als einseitige Laplacetransformation der Funktoin f(t)
Was ist der zusammenhang der Laplace und Fourier transformation?
Laplace deckt die gleiche eigenschaften wie die fourier transformation ab
und deckt die meisten in der praxis vorkommenden Fälle nicht periodischer funktionen ab
Wie schreibt man die Laplace transformation für zeitdiskrete signale auf? WIe höngt das mit der z-Transformation zusammen?
Wo liegt der konvergenzbereich bei der Z-transformation?
im einheitskreis ist der dämpfungsfaktor sigma < 1
auserhalb > 1
Was macht die z-transformation?
bildet diskrete zahlenfolge in den z-Bereich ab
Was sind die vorteile der z-Transformation?
die vorteile der laplace transformation im kontinierlichen fall bleiben erhalten (-> für den diskreten fall…)
insbesondere: ersetzen der berechnung von faltungssummen durch die multiplikation von spektren
-> faltung im zeitbereich -> multiplikation im z-bereich
Wie kann man die z-transforamtino invertieren (rücktransformation)?
-> üblicherweise mit tabelle lösen und nicht mit integral…
Was ist die z-transformation w.r..t x(n)?
die entwicklung von x(n) in eine laurent-reihe um z=0 (keine potenzreihe, da nur negative exponente für z)
Gib eine beispielhafte z-transformation der zeitreihe
Führe desweiteren die faltung im zeitbereich im spektralbereich durch
Und nach faltung transformiere zurück
Welche beobachtungen kann man aufgrund des vorhergehenden Beispiels zu der z-Transformation treffen?
der wert vor z^-n ist offensichtlich der wert der zeitreihe zu zeitpunkt n
die spektren H(z) und X(z) sind < inf für alle werte von z != 0
=> für z != 0 => konvergenz der z-transformation
=> das spektrum existiert
Wann ist die z-transforamtion nicht sinvoll?
nur sinvoll wenn beschränkt
-> konvergenzuntersuchung der reihe notwendig!!!
Wie gibt man üblicherweise eine konvergenz der z-trafo an?
mittels eines konvergenzgebietes
=> konvergenzregion R umfasst alle werte von z
-> fpr die der betragswert der summe endlich ist
Wie analysiert man den konvergenzbereich der z-transformation?
zerlegen der reihe in
eine kausale reihe
und eine akausale reihe
Was gilt für den kausalen anteil?
mit r_c = konvergenzradius des kausalen bereichs
=> für alle z außerhalb dieses konvergenzradius r_c konvergiert die reihe
Was gilt für den akausalen anteil?
-> für alle z die innerhalb der konvergenzradius r_a liegen
Zusammenfassung unterschied kausal und akausale konvergent?
kausal: |z| muss außerhab von r_c liegen
akausal: |z| muss innerhalb von r_a liegen
Wie sieht konvergenz für kausal und akausal in der imaginären ebene aus?
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