6. 7. Symmetrie

• Formaspekt

  • wie lassen sich symmetrische Formen charakterisieren?

• ästhetischer Aspekt

  • Regelmäßigkeit, Fast-Achsensymmetrie in der Natur

• ökonomischer Aspekt

  • Symmetrische Strukturen bieten oft Möglichkeit zur Deduktion von Kraft- und Denkaufwand

• arithmetischer Aspekt

  • Zahlen und Operationen lassen sich durch symmetrische Punktmuster darstellen (Punktefeld, gerade-ungerade Zahl...)

• algebraischer Aspekt

  • Durch Kombination der Abbildungen lassen sich aus zwei Symmetrien weitere ableiten

• eine Beschreibung kennen

• Beispiele und Gegenbeispiele kennen

• Symmetrien an Beispielen identifizieren

• Symmetrien konstruieren

• Symmetrieeigenschaften zum Problemlösen nutzen

• (Symmetrien klassifizieren)

• “Ein Ding ist symmetrisch, wenn man es einer bestimmten Operation aussetzen kann und es danach als genau das gleiche erscheint wie vor der Operation.“(Feynman nach Herrmann Weyl)

• Mathematisch formuliert: Eine Figur ist symmetrisch, wenn es eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird

• Symmetrie: Eigenschaft einer Figur!

• Zwei Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie bis auf ihre Lage im Raum übereinstimmen

• Äquivalent dazu: Zwei Figuren heißen kongruent, wen sie sich durh Verschieben, Drehen und/der “Umklappen” zur Deckung bringen lassen

  Konruent = keine Eigenschaft EINER Figur —> Vergleich von 2 FIguren

• Abbildungen, die Geraden ind Geraden abbilden und die Größe von Längen und Winkeln unverändert lassen (d.h. geraden-, längen-, winkeltreu sind)

• —> Achsenspiegelungen, Drehungen, Verschiebungen (Punktspiegelungen, Schubspiegelungen)

• Achsenspiegelungen

• Drehungen

• Verschiebungen

• orientierungserhaltend

• orientierungsumkehrend (Achsenspiegelung)

• Achsenspiegelung

  • Gerade (Spiegelachse) —> Orientierung ändert sichc

• Drehung

  • Drehzentrum und Drehwinkel (gegen den Uhrzeigersinn)

• Verschiebung (Translation)

  • Verschiebevektor

• Punktspiegelung

  • Spiegelpunkt. Punkt und BIldpunkt liegen aud einer Geraden durch de Spiegelpunkt mit selbem Abstand zum Spiegelpunkt

Jede Kongruenzabbildung kann als Hintereinanderausführung von höchstens drei Achsenspiegelungen dargestellt werden

• Hierbei gibts auch

  • Drehung (um drei Punkte)

  • Punktspiegelung

  • Verschiebung

  • Schubspiegelung

·       Es gibt eine Symmetrieachse.

·       Zu jedem Punkt gibt es einen symmetrischen Punkt (Bildpunkt).

·       Jeder Punkt der Figur hat den gleichen Abstand zur Symmetrieachse wie sein Bildpunkt (Spiegelpunkt).

·       Die Figur ist invariant bzgl. der Spiegelung an der Achse. Die Figur zerfällt auf natürliche Weise in zwei deckungsgleiche Teile.

·       Alle Punkte der Figur, die auf der Symmetrieachse liegen, werden auf sich selbst abgebildet

• Es gibt ein Drehzentrum und einen Drehwinkel

• Figur ist invariant unter dieser Drehung

• zu jedem Punkt gibt es mehrere symmetrische Punkte

• Jeder Punkt hat selben Abstand zum Zentrum wie die zu ihm symmetrischen Punkte

• Drehsymmetrische Figuren haben maximal einen Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird —> Drehzentrum

• Vektorverschiebung

• Zu jedem Punkt gibt es unendlich viele symmetrische Punkte

• Achsensymmetrie wird nicht erkannt

• Fehlende Achsen

• Einzeichnen zusätzlicher vermeinticher Achsen

• Spiegelfigur nicht kongruent (v.a. bei schrägen Linien der FIgur)

• Verschiebung

• Spiegleung an einer gedahten Achse und Verschiebung

• Spiegelung an einer gedachten horizontalen Achse

• Anknüpfen an Vorerfahrungen der Kinder

• zentral: ästherischer Aspekt symmetrischer Figuren, der an vielen Beispielen betrachtet wird

• ANknüpfung an Handlungserfahrung der Kinder

• Faltübungen, Spiegel

• Intuitives Begriffsverständnis

  • Spiegeln, ggf. Klecksbild

• Inhaltliches Begriffsverständnis

  • Symmetrische Figuren beschreiben

  • Symmetrieeigenschaften prüfen, Symmetrieachse einzeichnen

  • Bilder/Figuren hinsichtlich Symmetrieeigenschaften überprüfen

• Integriertes Begriffsverständnis

  • Bilder und dere Spiegelbilder erzeugen

·       Formales Begriffsverständnis

o   Einbettung in einen axiomatischen Aufbau der Geometrie

• Verzicht auf das Kästchengitter oder Punktegitter als Zeichenhilfe, u.U. unter Nutzung des Geodreiecks. Nutzung nicht-rechteckiger Punktegitter.

• Betrachtung von Figuren bzw. Spiegelungen bei denen die Achse nicht parallel oder senkrecht zum Grundmuster liegt.

• Auch das Spiegeln von Figuren, die von der Symmetrieachse („unsymmetrisch“) geschnitten werden ist schwierig.

• Eigenständige Konstruktion („Ausdenken“) von Figuren mit einer, zwei, drei, vier… Symmetrieachsen

• Streifenmuster, denen ein Muster oder ein Motiv nach beiden Seiten periodisch wiederholt wird

• Verschiebung parallel zum Streifen

• Parkettieren = Abdecken der Ebene mit kongruenten Ausgangsfiguren ohne Lücken und Überlappungen

  • Periodische Parkette: Grundfigur, die aus einer oder mehreren Teilen besteht (kleinster Teil, mit dem man durch Verschiebung in mindestens zwei verschiedene Richtungen Parkett erzeugen kann

• Grundfigur: Polygon

• Grundfiguren sind regelmäßig, Ecken, die immer Seite an Seite liegen

• Grundfiguren sind mindestens zwei verschiedene. An jeder Ecke stoßen die selben Figuren auf gleiche Weise zusammen

• Penrose-Parkett

• es wiederholen sich nirgends Teilausschnitte des Parketts

• Gesetzmäßigkeiten in Bandornamenten erkennen, verändern, fortsetzen

  • Grundfigur erkennen

  • auf Symmetrieeigenschaften hin untersuchen

• Parkettierungen erstellen

  • z.B. mit Flächenformen legen oder mit PC-Einsatz