8. Größen: Mathematischen Grundlagen

• Unterscheiden, sortieren, klassifizieren, ordnen

• —> Dadurch werden Mengen strukturiert

• Elemente einer Menge aufgrund ihrer gegebenne Eigenschaften zusammenfassen

• mögliche Vorschrift: hat gleich viele Ecken

• gemeinsame Eigenschaft der Elemente, die zusammensortiert wurden (im Element zusammengehörig, aber nicht gleich!)

• —> die Dinge sind zueinander äquivalent (bezüglich der Sortierungsrelation)

• reflexiv: jedes Element steht zu sich selbst in relation

  • „Wohnt im selben Landkreis - wohne ich im Landkreis Osnabrück, wohne ich im selben Landkreis”

• symmetrisch: für den Fall, dass Element 1 in Relation zu Lement 2 steht, steht Element 2 immer in Relation zu Element 1

• transitiv

  • wenn für den Fall, dass Element 1 in Relation zu Element 2 steht und Element 2 in Relation zu Element 3 steht, dann auch Element 1 in Relation zu Element 3 steht.

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• Jedes Element einer Äquivalenzklasse repräsentiert diese Äquivalenzklasse, d. h. kann zur Sortierentscheidung herangezogen werden.

• Die Elemente in einer Äquivalenzklasse nennt man Repräsentanten dieser Äquivalenzklasse.

• Beim Ordnen werden die Elemente einer Menge aufgrund (einiger) ihrer gegebenen Eigenschaften in eine bestimmte Reihenfolge gebracht. Es können auch ganze „Schubladen“ geordnet werden.

• Ordnungsrelationen, die die Gleichheit mit einschließen (<=, >=) sind reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch:

  • Bei Zahlen: „ist größer/kleiner als oder gleich“

  • Bei Menschen: „ist mindestens so fleißig wie“

• Ordnungsrelationen, bei denen die Gleichheit nicht eingeschlossen sind, sind transitiv, aber nicht reflexiv und nicht symmetrisch:

  • Bei Zahlen: „ist größer/kleiner als“

  • Bei Zeitspannen: „dauert länger/kürzer als“

  • Bei Menschen: „ist schlauer als“

• objektiv messbare Eigenschaften von Gegenständen und Vorgängen

• ALle Repräsentanten einer Äquivalenzklasse gehören zur geliehen Größe

• Man benötigt 2 Repräsentanten

  • den Repräsentanten der Größe (zu messender Gegenstand)

  • den Repräsentanten eines Teils der Größe (Messinstrument)

• Das „Messinstrument“ wird wiederholt ohne Lücken und Überschneidungen an dem zu messenden Objekt abgetragen und gezählt (Der zu messende Repräsentant wird „ausgeschöpft“).

• Auswahl einer Einheit

  • muss wiederholbar, zerlegbar und zählbar sein

  • Unterscheidung standardisierter und nicht standardisierter Einheiten

• Vervielfachen von bzw. Zerlegen in Einheiten

  • Repräsentant der Einheit wir ohne Zwischenräume und Überschneidungen hintereinander abgetragen

• Zählen der Anzahl der Einheiten bzw. Untereinheiten

  • Abgetragene Einheiten werden mitgezählt und/oder verrechnet

    
    

• ergeben sich durch die Tätigkeit des Messens

• bestehen aus Maßzahl (Zahl) und Maßeinheit (Tasse)

• Maßzahl gibt an, wie viel Maßeinbeiten man kombinieren muss, um einen Repräsentanten der entsprechenden Größe zu erhalten