Mathe Did Sek 1

1. Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen.

2. Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt

   eigener Art kennenlernen und begreifen.

3. In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten erwerben, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten).

Bildungsstandards = fachbezogene Kompetenzen, die Schüler bis zum jeweiligen Abschluss erwerben sollen.

• Bildungsstandards = Leistungsstandards

• Bildungsstandards sind NICHT Unterrichtsstandards!

• Bildungsstandards haben eine Entwicklungs ‐ und Überprüfungsfunktion!

• Kompetenzanforderungen werden in Kompetenzmodellen ausdifferenziert.

• Solche Modelle beschreiben unterschiedlichen Facetten und Niveaustufen.

• Konkretisiert werden Kompetenzen, ihre Facetten und Stufen durch Aufgaben.

2 Erwartungen:

1. Orientierung und Evaluation

2. Basis für Leistungsüberprüfungen

Konkrete Umsetzung der Bildungsstandards bedeutet: Qualitätsentwicklung im Unterricht.

Verbessern, fördern, entwickeln (?) -> primäre Ort ist der Unterricht

Drei Dimensionen („Prozess“‐, „Inhalts“‐ und „Anspruchs“‐Dimension)

Zählprinzipien (Gelman & Gallistel 1978)

1. Das Eindeutigkeitsprinzip

2. Das Prinzip der stabilen Ordnung

3. Das Kardinalprinzip

4. Das Abstraktionsprinzip

5. Das Prinzip der Irrelevanz der Anordnung

• Didaktisches Ziel: negative Zahlen einzuführen

• Bis ins 16. Jahrhundert „unreflektierter“ Gebrauch, z.B. als Zwischenergebnis beim Lösen einer Gleichung (Schreibweise: „8‐9“, „0‐2“etc.)

• Später: Negative Zahlen als positive Zahlen mit einer zusätzlichen Eigenschaft („Vorzeichen“). Gegenpol zu den alten (positiven) Zahlen. Deutung als Schulden. Leibnitz Deutung der negativen Zahlen – „weniger als nichts“

➔ Motivation durch visualisierte, alltägliche Mathematik, um Assoziation mit den Zahlenverhältnissen zu schaffen

➔ Grundvorstellung durch Repräsentation

Einführung durch Beispiel: Du stehst im 47. Stock von 100 Stockwerken eines Hochhauses.

Du gehst in den Fahrstuhl und fährst 19 runter, um etwas abzuholen und dann wieder 23

hoch. Wo befindest du dich?

• Zusammenfügen von zwei Mengen (ZZZ)

• Beispiel: Anja hat 6 Bonbons, Tina 4 – wie viele sind es zusammen?

• Hinzufügen einer Menge zu einer anderen (ZÄZ)

• Beispiel: Anja hat 6 Bonbons, Tina gibt 4 dazu – wie viele Bonbons hat Anja danach?

• Veränderungsvorstellung (ÄÄÄ)

• Beispiel: Anja bekommt erst 6 Bonbons, dann 4 Bonbons dazu – wie viele hat sie insgesamt?

VISUALISIERUNGSIDEE:

Zahlenstrahl

• Abziehen (Zerfall)

• Beispiel: Torben möchte sechs Eier zum Frühstück machen. Ein Ei fällt ihm auf den Boden. Wie viele Eier kann er jetzt noch machen?

• Vergleichen (Differenzen)

• Beispiel: Jan hat neun Äpfel. Paula hat sechs Äpfel. Wie viele Äpfel hat Jan mehr als Paula?

• Ergänzen (Fehleranzahl)

• Beispiel: Marie hat neun Puzzleteile zusammengesetzt. Das Bild hat insgesamt zwölf Teile. Wie viele Teile fehlen ihr noch?

Festsetzungen sind sinnvoll, man kann sie letztlich nicht beweisen. Wohl aber kann man sie als einzig sinnvoll und denknotwendig legitimieren.

• Spiegelung am Zahlengrade

• Hürde 1: Gegensätzliches Deuten der alten (positiven) Zahlen

• Hürde 2: Neue Beziehungen zwischen den alten Zahlen entdecken

• Hürde 3: Entwickeln geänderter Vorstellungen von Ordnung, Addition und

Subtraktion

• Hürde 4: Sinngebung neuer Schreibweise

• Hürde 5: Definitorischen Charakter der Rechenoperationen erkennen

• Zahlenstrahl wird zur Zahlengerade

• Sachen wie Temperaturskala nun mögl.

• neue Zahlen = Spiegelbilder der alten Zahlen

• Vorstellung bleibt: Zahl = Punkt

• Vorstellung neu dazu: Zahl = Pfeil

• Streckenaddition = Pfeiladdition (erst mit positiven Zahlen)

• Festlegung der Addition für die negativen Zahlen

(4) Mathematische Operationen mit negativen Zahlen werden abstrakter

• nicht mehr als Hinzufügen bzw. Wegnehmen einer Menge

• JEDE Subtraktion ausführbar.

(5) negativer Multiplikator = „Streckspiegelung“

Grundvorstellungen

• repräsentieren abstrakte Begriffe anschaulich

• verbinden abstrakte Mathematik und Anwendungen

2 Typen von Grundvorstellungen:

Primäre Grundvorstellungen

- Wurzeln in Handlungserfahrungen

Sekundäre Grundvorstellungen

- werden mit mathematischen Darstellungsmitteln (Zahlenstrahl, Koordinatensystem, Graph, ...) repräsentiert

Intuitives Begriffsverständnis

• Begriff als Phänomen

• Beispiele kennen

Inhaltliches Begriffsverständnis

• Begriff als Träger von Eigenschaften

• Eigenschaften kennen

Integriertes Begriffsverständnis

• Begriff als Teil eines Begriffsnetzes

• Beziehungen von Eigenschaften untereinander und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen

Formales Begriffsverständnis

• Begriff als Objekt zum Operieren

• Beispiel: Rechnen mit Bruchzahlen

Syntax: Regeln, Formel,…

Erfassen der Bedeutung von Begriff/Verfahren

• Anknüpfen bekannte Sachzusammenhäng. oder Handlungsvorstl.

Semantik: Bedeutung, Sinn

Aufbauen mentalen Repräsentationen

• Ermöglichen operativen Handelns auf der Vorstellungsebene

Pragmatik: Anwendung, Gebrauch

Anwendung in neuen Situationen

• Erkennen von Struktur in Sachzusammenhäng.

• Modellieren des Phänomens mithilfe von Mathe

Probleme:

• Anschauliche Bruchvorstellungen ( 1/2 : 3/4)

• Zusammenhang zw. nat. Zahlen und Brüchen

Zusammenfassung

• Dominanz der syntaktischen Ebene gegenüber semantischen (inhaltlichen) Ebene

Einführung druch Stellenwerttafel (Einer, Zehner, Hunderter,…)

==> Dezimalbrüche als neue Schreibweise alter Brüche

Schwierigkeiten und Fehlvorstellungen:

• Dezimalbruch = 1 Zahl

  • NICHT „2 Zahlen, 1 vor und 1 nach dem Komma“

  • kann zu Fehlern bei Addition führen: „0,5 + 0,13 = 0,18“

• Aussprechen von 2,35 als „zwei ‐ fünfunddreißig“ statt „zwei Komma drei fünf“. Hilfe: fünf und dreißig“ als 35/100 interpretieren

• Die Rolle der Null beim Dezimalzahlen nach dem Komma (wie in der Grundschule; 0,027 ≠ 0,27 aber 0,27 = 0,270) Hilfe: Stellentafel

• Dezimalbrüche in Größenangaben – insb. in Längenangaben. (1,435 m = 1m 4 dm 3cm 5mm) Verdeutlichung: Stellentafel

Haptische Aufgaben, die auf Ergebnisse hinauswollen zur Begründung der neuen Zahlenmenge R

=> Din A Format mit sqrt(2)

Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch darstellen!

Egal wie viele Kommastellen man nimmt sqrt(2) endet nie.

Da nicht exakt machbar => Intervallschachtelung auf Zahenstrahl

Suchst du die Wurzel von a?

Quadrat mit Flächeninhalt a => Seitenlänge b ist die Wurzel

Anfangen mit Rechteck: a * 1

Durchschnitt der Beiden wird die eine neue Seite. Die andere wird passend gemacht.

Repeat.

In der Algebra vor allem:

• allgemeine Ausdrucksform

• Gesetzmäßigkeiten werden ausgedrückt, begründet oder verworfen

• Probleme können in der Formelsprache präzisiert und gelöst werden.

• Phase 1: Intuitiver Gebrauch der Sprache

• Phase 2: Reflexion

• Phase 3: Erkundung und Aneignung

• Phase 4: Nutzung der Sprache

• Phase 5: Erweiterung der Sprache

• Phase 6: Neue Sprachen

• Unbekannte: Die Variable steht für ein Objekt (Zahl bzw. Term), das noch unbekannt ist, prinzipiell aber bestimmt werden kann.

• Unbestimmte: Die Variable steht für ein nicht bekanntes Objekt, das zu bestimmen nicht näher interessiert.

• Veränderliche: Variable in funktionalen Zusammenhängen, in denen tatsächlich etwas variiert wird bzw. in denen die Veränderung betrachtet wird

Malles Grundvorstellungen dazu:

• Gegenstandsaspekt

  • Ist wie ein Gegenstand wie eine Black Box?

• Einsetzungsaspekt

  • Platzhalter oder Leerstelle?

• Kalkülaspekt

  • Größe mit der man Rechnet wie ne Zahl

Stadium 0: Idee wird nicht angenommen

Die Idee der Formalisierung wird (noch) nicht angenommen. Hier nehmen Schüler die Idee,

Buchstaben für Zahlen zu setzen, nicht an.

Stadium 1: Symbolisches Beschreiben

Variable und symbolische Ausdrücke werden zur Beschreibung erkannter Muster genutzt.

Stadium 2: Symbolisches Operieren

Erworbenes Wissen wird reorganisiert.

Stadium 3: Formale Sprache als mentales Werkzeug

Formale Sprache wird zum gedanklichen Werkzeug und Instrument des Argumentierens.

1. Einführung der Begriffe Variable und Term

• Zu Beginn der Reflexionsphase spricht man nochmal typische Situationen an, in denen bisher mit Variablen gearbeitet wurde.

2. Die Struktur von Termen

• Es ist wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler lernen, Terme zu analysieren und ihren, Aufbau übersichtlich darzustellen.

3. Gleichheit von Termen

Bei Problemstellungen, in denen ein Term aufzustellen ist, können sie unter Umständen verschiedene Terme ergeben.

Gleichungen als Werkzeuge

• zum Formulieren von Beziehungen zwischen mathematischen Objekten (z. B. Zahlen, Größen, Funktionen),

• zum Ausdrücken von Eigenschaften,

• zum Formulieren und Lösen von Problemen.

Gleichungen als Objekte

• Untersuchung von Gleichungstypen

➔ Existenz und Bestimmung von Lösungen

Begriffe rund um Gleichungen

• über Gleichungen reden,

• Regeln formulieren und

• Ergebnisse interpretieren zu können.

Beschreibung von Gleichungen:

• Variable

• Term

• Gleichung

• Aussage

• Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist.

• Aussageform

• Formulierung, die beim Einsetzen eine Aussage ergibt.

Ziel: Lernende sollen Algorithmen lernen, mit deren Hilfe sie Gleichungen lösen bzw.

Formeln auflösen können.

1. Gleichungen sicher und schnell zu lösen ist nur möglich, wenn man eine algorithmische Lösungsstrategie benutzt.

2. Erkennen Lernende bei Algorithmen nicht die Idee, dann wird der Algorithmus schnell vergessen.

   • Typische Fehler: das Schließen auf 3x=5 auf x=2 und von 2x+3=4 auf x+3=2

3. Mit wachsender Übung werden die Algorithmen verkürzt; Folge: Rechnungen werden fehleranfällig.

4. Das sichere Beherrschen eines Algorithmus setzt eine Hierarchie von Fähigkeiten heraus

1. Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhänge zwischen Größen:

   einer Größe ist dann eine andere zugeordnet, so dass die eine Größe als abhängig gesehen wird von der anderen.

2. Durch Funktionen erfasst man, wie Änderungen einer Größe sich auf eine abhängige Größe auswirken.

3. Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als Ganzes.

• Zentrale Idee eines funktionalen Zusammenhangs:

  • Jedem Wert der unabhängigen Größe wird genau ein Wert der abhängigen Größe zugeordnet.

• Allgemeiner gefasst:

  • Eine Zuordnung von einer Menge A in eine Menge B liegt vor, wenn jedem Element aus A ein Element oder auch mehrere Elemente aus B zugeordnen werden.

• Solche Zuordnungen treten in vielen Bereichen der Mathematik auf

Definition 1:

Definition 3:

Definition 4:

• Zu gleichen (additiven) Zuwächsen im Argument

  gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor.

• Wird also bei einer Exponentialfunktion das Argument um den gleichen Wert (+c) vergrößert, dann nimmt der Funktionswert um den gleichen Faktor (* d) zu.