Grundvorstellungen zu Bruchzahlen
Ziele beim Ausbilden der Grundvorstelleungen
Erfassen der Bedeutung des Begriffs/Verfahrens
Anknüofen an bekannte Sachzusamenhänge oder Handslungsvorstellungen
Aufbauen von mentalen Repräsentationen
Ermöglichen operativen Handelns auf der Vorstellungsebene
Anwendung in neuen Situationen
Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen
Modellieren des Phänomens mit Hilfe der mathe. Struktur
Welche Arten von Dezimalbrüchen gibt es?
Wie kann ich erkennen ob ein gekürzter Dezimalbruch endlich ist?
Primfaktorzerlegung nur aus 2 und/oder 5
Definition Variable + 3 Aspekte
Eine Variable ist ein durch ein Symbol, meist Buchstabe, gekennzeichnete Leerstelle in einem mathematischen Term.
Aspekte von Variable:
- Gegenstandsaspekt: Ist halt da. Black Box
- Platzhalteraspekt: Einsetzen und testen
- Kalkülaspekt: Ausrechnen
Definitionen Funktion
Definition 1:
Eine Zuordnung von einer nichtleeren Menge A in eine nichtleere Menge B, die jedem Element aus A genau ein Element aus B zuordnet, heißt Funktion.
Definition 3:
Für eine reelle Funktion f: D—R heiBt die Menge D der Definitionsbereich der Funktion und die Menge W aller y<R , die einem xeD zugeordnet werden, Wertebereich der Funktion; ein xeD heißt Argument der Funktion und ein y € W heißt Funktionswert.
Definition 4:
Für eine reelle Funktion f;D —»R heißt die Menge aller Punkte der Ebene mit den Koordinaten (x| f(x)) mit xe D der Graph der Funktion.
3 Aspekte funktionalen Denkens
Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhänge zwischen Größen: einer Größe ist dann eine andere zugeordnet, so dass die eine Größe als abhängig gesehen wird von der anderen.
Durch Funktionen erfasst man, wie Änderungen einer Größe sich auf eine abhängige Größe auswirken.
Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als Ganzes.
Grundvorstellung des Prozentbegriffs.
Von-Hundert
Prozent heißt von Hunndert
Grundmenge wird aufgeteilt
Bedarfseinheit-Grundvorstellung
Zuordnung wie es passt
Das „Ganze“ = 100%
Hunderstel oder Prozenzoperator
p% = p/100
Prozentwert *100 /p = Grundwert
Trigonomie: Einstieg / 2 Aspekte
Arithmetische Aspekte: Verhältnisse von Seiten im rechtwinkligen Dreiecken
Helfen Winkel, Seiten, o.Ä. zu berechnen.
Funktionaler Aspekt: Sin, cos, Tan als Mathematischen Funktionen welche einem Wert (meist einem Winkel) einen Wert zuordnet. So ist beispielsweise sin(90°)=1 was für Aufgabenfelder in der Analysis und damit auch in Anwendungen in der Physik von Bedeutung besitzt.
3 Funktionen eines Beweises
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1. Funktionsfunktion: Die Funktionsfunktion eines Beweises besteht darin, eine Behauptung oder Aussage zu begründen und zu zeigen, dass sie wahr ist. Der Beweis demonstriert die Richtigkeit oder Gültigkeit einer Aussage.
2. Überzeugungsfunktion: Die Überzeugungsfunktion eines Beweises besteht darin, die Leser oder Zuhörer davon zu überzeugen, dass die Behauptung tatsächlich wahr ist. Ein guter Beweis präsentiert die Argumentation klar, logisch und nachvollziehbar, um die Glaubwürdigkeit der Aussage zu stärken.
3. Klarstellungsfunktion: Die Klarstellungsfunktion eines Beweises besteht darin, komplexe oder verwirrende Sachverhalte zu klären und in verständlicher Form darzustellen. Ein Beweis soll die Argumentation und die Zusammenhänge so deutlich wie möglich vermitteln.
Stochastik: 4 Wahrscheinlichkeiten
subjektive Wahrscheinlichkeit (gefühlt)
frequentistische Wahrscheinlichkeit (Messen, Wiederholen)
Laplace Wahrscheinlichlichkeiten (alle Ereignisse gleich Wahrscheinlich)
Axiomatische Wahrscheinlichkeit (Basierend auf Axiomen von Kolmogorow)
Stochastik: Was ist Ergenis? Was ist Ereignis?
Ergebnisse sind die Elemente der Ergebnissmenge, also jedes einzelne Mögliche Resultat des Zufallsvorgangs.
Ereignise sind Teilmengen der Ergebnissmenge die somit aus Ergebnissen bestehen.
Somit wäre die Augensumme = 9 ein Ereignis, welche aus den Augenpaaren und damit Ergebnissen (5,4),(3,6), etc. besteht.
Eselsbrücke:
Ergebniss 4:3
Ereignis: wir haben gewonnen
Bildungsstandards-Dimensionen
Reproduzieren
Zusammenhänge feststellen
Verallgemeinern/Reflektieren
Zahl
Messen
Raum & Form
Funktionaler Zshang.
Daten & Zufall
Math. Argumentieren
Probleme lösen
Modellieren
darstellungen verwe.
Mit Mathe symbolisch formal korrekt ungehen
Math. Kommunizieren
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