Technische Mechanik

• Lehre von Gleichgewicht der Körper

• Untersuchung der Bedingungen, die einen Körper in der Ruhe bzw. gleichförmigen (nicht beschleunigten) Bewegung halten

• Stereo-Statik: starrer Körper (keine Deformation)

• Berechnung von Beanspruchungen und Veformungen von Bauteilen

• Grundlagen: Stereo-Statik & Erkenntnisse aus Werkstoffkunde

Was ist die Kraft?

Kräfte sind die Ursache von Bewegung (F = m*a) und Formänderungen

Woraus besteht eine Kraft?

Betrag: Größe der wirkenden Kraft

Richtung: wird druch die Wirkungslinie und den Richtungssinn festgelegt

Angriffspunkt: Punkt eines Körper, an dem die Kraft angreift

—> Kraft ist ein gebundender Vektor

Maßeinheit: Newton (N) -> 1 N = 1 kg * 1 m/s^2

• Zerlegung der Kraft in x,y,z Richtung mithilfe von sin, cos

• negative Vorzeichen (x): Pfeil vom Angriffpunkt aus nach links zeigt

• negative Vorzeichen (y): Pfeil zeigt nach unten

• positives Ergebnis = Zugkraft

  negatives Ergebnis = Druckkraft

-> Positives Ergebnis bestätigt Annahme der Pfeilrichtung

-> Negatives Ergebnis widerlegt Annnahme, d.h. in andere Richtung als angenommen

• die resultierende Kraft Fr, die auf das System wirkt =0

• Kräfte heben sich gegenseitig auf (Zug/Druck) -> Ruhegleichgewicht

• Es sind keine Haltekräfte erforderlich

• ist das Krafteck nicht geschlossen -> Haltekraft wird benötigt, die der Resultierenden entgegenwirkt

• Gleichgewicht in Ebene: wenn Körper keine oder eine gleichförmige Translation- und/oder Relationsbewegung ausführt

= ist die Ursache der Drehbewegung und der damit verbundenen Beanspruchung (z.B. Torsion)

Kräftepaar (Statisches Moment):

zwei gleichgroße, entgegengesetzte, auf parallelen Wirkungslinien liegende Kräfte -> Summe = 0

-> Kräftepaar kann nicht verschieden, aber drehen

Zeichnung

Moment M0 einer Einzelkraft:

ist eine Kraft bezüglich eines Punkte 0 -> ergibt sich als Produkt aus Hebelarm d und Betrag der Kraft F

Zeichnung

• wirken zwei Kräfte zwar entgegengesetzt mit dem selbem Betrag aber unterschiedlichen Angriffspunkten/Wirkungslinien

  -> Moment entseht

• Gegenstand wird in Rotation versetzt

Moment = Hebelarm*Kraft (Einheit N*m)

ist die Summe alle Momente =0, verschwindet das resultierende Moment und damit die Drehwirkung auf den Körper

-> Momentengleichgewicht

positives Vorzeichen: Gegenuhrzeigersinn/Linksdrehung

Axiome = Grundregeln

Trägheitsaxiom:

jeder Körper im Zustand der Ruhe, solange nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern

Verschiebungsaxiom:

Angriffspunkt der Kraft F darf auf der Wirkungslinie beliebig verschoben wurde (Wirkung der Kraft ändert sich nicht)

Reaktionsaxiom:

action: von einem Körper wird Kraft auf einen anderen Körper ausgeübt (das bedingt:)

reactio: dass der Körper Gegenkraft ausübt

-> Kraft und Gegenkraft sind in Betrag gleich groß (selbe Wirkungslinie, aber entgegengesetzt)

Parallelogrammaxio:

Wirkung zweier Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt ist äquivalent einer einzelnen Resultierenden (Diaoglae im Aufgespannten Parallelogramm

• Tragwerk aus geraden Stäben, das durch Normalkräfte (Zug oder Druck) belastet wird

• Lagerreaktionen: Kräfte die von der Umgebung auf das Tragwerk wirken (Reaktionskräfte)

• Stab: Länge >>>>> Querschnitt. Beanspruchung nur in Längsrichtung

• Balken: auch Querkräfte möglich

• Äußerlich: wenn Lagerreaktionen aus gleichgew. Bedingungen berechenbar

• Innerlich: wenn Stabkräfte nach Freischnitt aus inneren gleichgew. Bedingungen berechenbar und außerdem kinematische Stabilität gesichert ist. (nicht wackelig oder beweglich)

  Kinematisch bestimmt: wenn unbeweglich und 3 Lagerreaktionen bei denen

  • 3 Kräfte nicht parallel oder zentral sind

  • 2 Kräfte und 1 Moment nicht parallel sind

Blickrichtung immer vom Stab aus

• Zugstab: Stab zieht am Knoten

• Druckstab: Stab drück auf Knoten

Zeichnung

Nullstab: Stab in einer Konstruktion, der keine Kräfte tragen muss, der nur der Stabilität der Konstruktion beiträgt

Zeichnung

bei Kontakt zweier starrer Körper entsteht Reibung:

Haftreibung, Gleitreibung

Gleiten der Kristalle gegeneinander in Richtung der max. Schubspannung, also unter 45° zur Zugrichtung

• beschreibt die elastisch Verformung von Festkörpern, wenn deren Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist (linear-elatisches Verhalten)

• stellt den linearen Sonderfall des Elastizitätsgesetzts dar

• außen vor bleiben also die nicht-linear elastische Verformung wie bei Gummi, die plastische Verfomung oder die duktile Verformung wie bei Metall nach Überschreiben der Fließgrenze

• Änderung der Bewegung aufgrund von Kräften

• Änderungen der Bewegungsgrößen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) unter Einwirkung von Kräften

Wirkungslinien aller Kräfte in einer Ebene schneiden sich in einem Punkt

Gleichgewicht: Σ Fi = 0

Zeichnung

Analytische Lösung:

• kartesisches Koordinatensystem in Angriffspunkt

• Komponentenzerleguung in x und y

• Σ Fix = 0 & Σ Fiy = 0

Grafische Lösung:

• immer wieder 2 Kräfte über Parallelaxiom zu Resultierenden bis nur noch Resultierende über

• Kraft Fr = 0 -> Gleichgewicht

• in einem Schritt grafische Addition

  • Lageplan: maßstäbliche Darstellung aller F mit gemeinsamen Angriffspunkt

  • Kräfteplan: maßstäbliche Aneinanderreihung der Kräfte nach Richtung und Betrag

    -> ist Kraftpolygom geschlossen = Gleichgewicht

Zeichnung

hier schneiden sich nicht alle Kräfte in einem Punkt

-> Betrachtung muss um Momentengleichgewicht erweitert werden

Körper in x,y-Ebene:

Σ Fix = 0 & Σ Fiy = 0

Σ Miz + Σ M0iz = 0

Kräfteschwerpunkt:

durch Einzelkräfte belasteter (gewichtsloser) Balken

-> Betrag und Angriffspunkt der Haltekraft ist gesucht (die System in Gleichgewicht setzt)

Zeichnung

Flächenschwerpunkt:

???

• klassischer Versuch in der Werkstoffprüfung: Zug-Druck-Vetsuch nach DIN EN 10002 mit Spannungs-Dehnungs-Diagramm

• er liefert Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung

Zeichnungen

1: linear-elastisches Verhalten

2a: Material fließt, d.h. bei etwa konstanter Last vergrößert sich die Dehnung

im Verfestigungsbereich sind wieder höhere Lastaufnahmen möglich