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Die Ökonometrie wird als die Schnittmenge der ökonomischen Theorie, der Mathematik und der Statistik verstanden.

Dieser Sachverhalt sei exemplarisch veranschaulicht an der Hypothese, dass der Preis eines Gutes negativ mit dessen Nachfrage in Verbindung steht.

Geleitet durch Intuition und theoretisches Wissen über die Grundlagen der Wirtschaftswissenschaft, ist man dazu gewillt dieser Hypothese Glauben zu schenken.

Unter der Prämisse, dass ein normales Gut betrachtet wird, führt ein Preisanstieg für gewöhnlich zu einer reduzierten Nachfrage nach eben diesem Gut.

Die Ökonometrie erlaubt sehr praxisrelevante Anwendungen der ökonomischen Modelle , die über einen simplen Hypothesentest - also die Bestätigung oder Ablehnung dieser Hypothese - hinausgehen.

Es kann eben nicht nur die Existenz eines beliebigen Zusammenhangs überprüft, sondern auch die Stärke und mögliche Interaktionen mit anderen Variablen quantifiziert werden.

Um all dies leisten zu können, muss der postulierte Zusammenhang zunächst einmal in einem Modell dargestellt werden.

Die Theorie hilft uns also mögliche Erklärungen für beobachtbare Ereignisketten zu formulieren.

Eine theoretische Begründung ist eben noch kein Beweis für ein Zusammenhang.

Erst die ökonometrische Analyse kann die Theorie durch eine geschickte Anwendung der zur Verfügung stehenden Methoden empirisch validieren.

Die theoretisch motivierte Hypothese kann sich im Verlauf der empirischen Überprüfung als wahr oder falsch herausstellen.

Es reicht eben nicht aus einen Zusammenhang zu glauben, in der Wissenschaft müssen Sachverhalte bewiesen werden.

Aber die geschickte Verknüpfung von theoretischem Modell und empirischer Überprüfung kann nicht nur die Existenz bestimmter Zusammenhänge nachweisen.

Auch die Stärke des Effekts lässt sich in einer solchen Analyse quantitativ bestimmen, was den sehr starken Anwendungsbezug der Ökonometrie unterstreicht.

Die Kombination aus Theorie und Empirie liefert wichtige Vorhersagen für die reale Welt und erlaubt das wirtschaftliche Handeln von Individuen zu prognostizieren.

Es ist also nicht verwunderlich, dass die Ökonometrie auch in der Privatwirtschaft häufig zur Messung und Analyse wirtschaftlichen Handelns eingesetzt wird.

Mit der Rechenkapazität moderner Computer und der zunehmenden Verfügbarkeit von Daten können empirische Methoden weit über die klassische Ökonomie hinaus angewandt werden.

Zu guter Letzt ist auch der Staat auf verlässliche Prognosen angewiesen, um Politiken entsprechend zu gestalten. Voraussetzung für eine gute Handlungsempfehlung für die Politik ist aber natürlich immer eine gründliche Analyse mit Berücksichtigung ihrer inhärenten Probleme.

Diese Probleme hängen ab von der gestellten Frage und müssen entsprechend analysiert, beschrieben und auf Validität hin überprüft werden.

Die Statistik hat eine Vielzahl an Methoden parat, die eingesetzt werden können, um diese Probleme zu umgehen und verlässliche Antworten auf die gestellten Fragen zu finden

Zusammenfassend kann also gesagt werden, dass die Mathematik und die Statistik dem Forscher das Methodenwissen an die Hand geben, das zur Überprüfung von wirtschaftlichen Zusammenhängen benötigt wird.

Die Wirtschaftstheorie basiert auf der Mathematik und liefert vereinfachte Zusammenhänge, die mathematisch formuliert anhand statistischer Methoden geschätzt werden können. Die Verbindung aus Wirtschaftstheorie und Statistik ist Gegenstand der Ökonometrie.

In der Realität klaffen Theorie und Empirie allerdings sehr häufig auseinander, da oftmals diese logische Verknüpfung der beiden Disziplinen nicht ausreichend berücksichtigt wird.

Vielfach fallen die postulierten Schätzgleichungen sprichwörtlich vom Himmel und ökonometrische Probleme werden häufig eher stiefmütterlich behandelt.

Der gefundene Zusammenhang zwischen zwei beliebigen Variablen kann zwar noch immer statistisch signifikant sein, komplexere Zusammenhänge lassen sich ohne Modell allerdings nur sehr schwer deuten und es ist nicht klar, ob der gefundene Zusammenhang dem tatsächlichen Zusammenhang entspricht. Man spricht hier häufig vom “wahren Zusammenhang“, der unbeobachtbar ist und durch ökonometrische Modelle ausfindig gemacht werden soll.

 Systematische Datenexploration,

 Falsifikation von Hypothesen,

 Prognosen über zukünftige Entwicklungen und

 Evaluation vergangener Entscheidungen.

Bei der systematischen Datenexploration soll zunächst ein Zusammenhang identifiziert werden.

Die Theorie liefert uns eine Hypothese über den Zusammenhang zweier Variablen und dieser Zusammenhang kann in der systematischen Datenexploration zunächst einmal über deskriptive Statistiken und einfache Korrelationsanalysen veranschaulicht werden.

Dieser erste Schritt der Analyse ist allerdings zu einfach, um weitergehende Rückschlüsse über Kausalität und/oder die Stärke des Effekts zu ziehen.

Im zweiten Schritt kann eine Hypothese aus der Theorie aufgestellt werden, die dann anhand eines geeigneten Tests bestätigt oder abgelehnt wird.

Ablehnen bedeutet in diesem Zusammenhang, dass eine Hypothese durch Aufzeigen eines Widerspruchs zwischen Hypothese und Testergebnissen widerlegt wird.

Komplexe Probleme müssen dafür geschickt vereinfacht werden, um überhaupt erst eine eindeutige, testbare Aussage treffen zu können.

Auch für diesen Schritt kann ein Modell hilfreich sein, um die Komplexität bestimmter Vorgänge so zu reduzieren, dass bestimmte Hypothesen in einfachen wahr/falsch Aussagen formuliert werden können.

Eine Anwendung haben wir bereits kennengelernt.Wir erwarten, dass ein Preisanstieg zu einer Reduktion der Nachfrage führt.

Im einfachsten Fall kann diese Hypothese bestätigt oder abgelehnt werden. Die Stärke des Effekts ist bei der Überprüfung der Hypothese zunächst einmal nebensächlich.

Die dritte Form der ökonometrischen Analyse ist die Prognose. Man versucht aus dem Erkenntnisgewinn der Vergangenheit einen Rückschluss über die Zukunft zu gewinnen.

Diese Art der Analyse ist nicht unumstritten und muss mit Vorsicht verwendet werden. Zunächst einmal ist nicht sicher, ob alle Einflussfaktoren des “wahren Zusammenhangs“ in der Analyse der zugänglichen Daten ausreichend berücksichtigt wurden.

Dieses Problem des “omitted variable bias“, also dem Problem der Verzerrung aufgrund von ausgelassenen Variablen, sollte nicht unterschätzt werden.

Eine Aussage zu validieren reicht für die Prognose in der Regel nicht aus, da die Stärke des Zusammenhangs für viele Fragen quantifiziert werden muss.

In der Praxis geschieht dies häufig über eine Regressionsanalyse. Daten werden verglichen, um so eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs zu treffen.

Die Stärke des Effekts, gemessen durch den sogenannten Koeffizienten der erklärenden Variable in einer Regression, mitunter stark verzerrt sein kann.

Auf verzerrten Schätzern basierte Prognosen sind ungenau und selbst der einfache Hypothesentest, der ja nur auf Annahme oder Ablehnung der Hypothese testet, kann durch verzerrte Schätzer ein falsches Ergebnis liefern.

Zu guter Letzt findet man ökonometrische Analysen im Bereich der Evaluation. Die Politik ist häufig an einer Einschätzung des Wirkungsgrads einer durchgeführten Politikmaßnahme interessiert.

Im Anschluss an eine bestimmte Maßnahme können Daten über die betroffenen Personen herangezogen werden, um den Erfolg des jeweiligen Programms einschätzen zu können. Sehr häufig verwendet man eine experimentelle Herangehensweise.

In einem Vergleich der Situation vor Einführung einer Maßnahme mit der Situation nach der Einführung der Maßnahme kann die Wirkung eingeschätzt werden.

Die Veränderung in der Gruppe der betroffenen Individuen (Treatment group-Группа лечения) wird mit den Veränderungen in einer Kontrollgruppe verglichen.

Auf diese Weise sollen Einflussfaktoren kontrolliert werden, die nichts mit der eigentlichen Maßnahme zu tun haben.

Stellen Sie sich vor, dass zeitgleich zur politischen Maßnahme ein Schock auftritt, der alle Individuen (sowohl in der Treatment Gruppe als auch in der Kontrollgruppe) gleichermaßen beeinträchtigt. Durch einen Vergleich der Änderungen in der Gruppe der tatsächlich betroffenen Individuen mit den Veränderungen in der Kontrollgruppe lassen sich solche Effekte herausrechnen.

Für jede dieser Hauptanwendungen stellt die Ökonometrie also mehr oder weniger eigene Methoden zur Verfügung.

Einige Beispiele:

– Was ist die Nachfrageelastizität eines Gutes oder einer Dienstleistung (qualitativ und quantitativ)?

– Hat die individuelle Investition in Humankapital (Bildung) einen Effekt auf den Lohn?

– Welche Auswirkungen hat eine Weiterbildungsmaßnahme auf die Produktivität von Mitarbeitern?

– Hat die Einführung eines Mindestlohns negative Effekte auf die Beschäftigung?

– Sind exportierende Unternehmen produktiver als andere?

– Führt die Verlagerung von wirtschaftlichen Aktivitäten ins Ausland zu negativen Beschäftigungseffekten im Inland?

– Wachsen arme Länder schneller als reiche (Konvergenzhypothese des Solow

Modells)?

– Was sind die Determinanten für das Ausfallrisikio eines Kredits?

– Wie entwickelt sich die Inflationsrate im nächsten Jahr?

– ...

Grundsätzlich verschreibt sich die Wissenschaft bei der Beantwortung solcher Fragen der Objektivität! Das heißt, dass die Analyse stets ergebnisoffen erfolgen muss und die Regeln der guten wissenschaftlichen Praxis eingehalten werden sollten.

Die veröffentlichten Ergebnisse müssen valide und nachvollziehbar sein, was wiederum durch fest vorgeschriebene Regeln erreicht werden kann. Diese Regeln werden aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Mathematik beziehungsweise der Statistik abgeleitet.

Ein solch formaler Zugang erlaubt es dem Forscher seine Annahmen offen zu legen, wodurch andere Wissenschaftler die Analysen nachvollziehen können.

Jeder Wissenschaftler kann basierend auf den gleichen Daten zu exakt der gleichen Schlussfolgerung kommen.

In der Regel beginnt die empirische Analyse immer mit der Diskussion des der Analyse zugrunde liegenden theoretischen Modells. Nehmen wir die folgende Modellgleichung als einfaches Beispiel

y = f (x1, x2, ..., xk) . (1.1)

Ohne den funktionalen Zusammenhang genauer zu spezifizieren, nehmen wir an, es gebe eine endogene( Внутренний) Variable y, die durch die exogenen(внешний) Variablen x1, x2 bis xk bestimmt wird. Wichtig ist, dass diese Variablen veränderbar sind und dass sich die endogene Variable gemäß dieser exogenen Variablen sowie einem bislang noch nicht weiter charakterisierten Prozess anpassen. Dieser Anpassungsprozess sei zunächst einmal allgemein durch die Funktion f () charakterisiert.

In der Regel werden bestimmte Eigenschaften der Funktion f unterstellt, um den Prozess zumindest charakterisieren zu können.

Die funktionalen Eigenschaften des Prozesses können aus modell-theoretischen Vorüberlegungen abgeleitet werden.

Das theoretische Modell muss dann zu einem ökonometrischen Modell

y = b1x1 + b2x2 + ... + bkxk + e

transformiert werden, welches mit Daten geschätzt werden kann. Für die Ermittlung der Koeffizienten, die das angenommene Modell quantifizieren, werden für y und

xi (mit i = 1, ..., k) reale Werte eingesetzt. Die Koeffizienten können dann nach bestimmten Regeln, die wir sogleich noch diskutieren werden, gesetzt werden.

Im Unterschied zu Gleichung 1.1 wird in der Schätzgleichung bereits ein bestimmter Prozess unterstellt. Wir gehen zunächst einmal davon aus, dass ein linearer Zusammenhang zwischen y und den k unabhängigen Variablen auf der rechten Seite existiert.

Es sei angemerkt, dass wir den wahren Zusammenhang noch nicht kennen und dass der Übergang von Gleichung 1.1 zu Gleichung 1.2 zunächst einmal willkürlich ist.

Tatsächlich wird in der Regel zunächst immer ein stark vereinfachtes, lineares Modell geschätzt. Aufbauend auf diesen ersten Ergebnissen können dann komplexere Zusammenhänge in weiterführenden Analysen untersucht werden. Ein solches “trial and error“ Vorgehen, das verschiedene Schätzmethoden miteinander vergleicht, kann uns dabei helfen, den wahren Zusammenhang näherungsweise zu ermitteln.

Je robuster(более надежный) die Ergebnisse, desto belastbarer die aus der Analyse gewonnen Rückschlüsse. In seriösen Analysen wird also in der Regel nicht nur ein Modell gezeigt, sondern viele Robustheitsanalysen präsentiert, um die Allgemeingültigkeit der Ergebnisse zu untermauern und den Leser davon zu überzeugen, dass der wahre Zusammenhang ausfindig (найден)gemacht wurde.1 Außerdem enthält die Gleichung 1.2 einen zusätzlichen Störterm e.

Um zu sehen, wie sich die Modellgleichung in die Schätzgleichung überträgt, schauen wir uns zunächst einmal ein paar Eigenschaften der beiden Gleichungen an.Wie wirkt sich eine Änderung der erklärenden Variable xi mit i 2 f1, ..., kg auf die abhängige Variable aus? Dazu bilden wir zunächst die erste Ableitung der beiden Gleichungen 1.1 und 1.2. Beachten Sie, dass es sich hierbei um eine ceteris paribus(При прочих равных условиях) Betrachtung handelt.

Wir schauen uns an, wie sich die Variable y ändern muss, wenn sich eine der x variablen ändert. Das heißt, dass mit Ausnahme der betrachteten Variable xi, alle anderen Variablen xj6=i konstant(nicht veränderlich) bleiben. An dieser Stelle reicht also die Betrachtung der partiellen(частичный) Ableitung völlig aus, da zunächst ein lineares Modell unterstellt(предполагалось) wird.

Aus Gleichung 1.1 lässt sich exemplarisch die erste Ableitung nach x1 bilden, um folgenden Zusammenhang zu bekommen:

Gemäß des Modells führt eine Änderung der Variable x1 um dx1 Einheiten zu einer Anpassung der endogenen Variable y um insgesamt dy Einheiten. Es sei noch einmal angemerkt, dass die Änderung von x1 isoliert betrachtet und alle anderen x Variablen als konstant angenommen wurden. Die erste Ableitung der Funktion f bestimmt die Stärke und die Richtung des Effekts. Wie sieht dieser Zusammenhang in der zugehörigen Schätzgleichung aus?

Aus Gleichung 1.2 bekommen wir

Der funktionale Zusammenhang f wurde also implizit so gewählt, dass gilt.

Diese Herangehensweise ist zwar sehr willkürlich, hilft aber zunächst einmal dabei ein Gespür für die Daten zu bekommen. Es sei noch erwähnt, dass die Variable e nicht durch das Modell erklärbare Einflussfaktoren auffängt.

Ein Modell ist immer eine Abstraktion von der Wirklichkeit und kann nicht alle wichtigen Einflussfaktoren beinhalten. In der Wirklichkeit hingegen ist die tatsächliche Zahl der x Variablen, die berücksichtigt werden müssten, sehr wahrscheinlich extrem groß.

Um diese nicht einbezogenen Einflussfaktoren in der Schätzgleichung zu berücksichtigen, wird der Fehlerterm e eingeführt, in dem alle weiteren vom Modell nicht erklärten Einflussfaktoren zu einem Wert verdichtet werden (also alle Einflussfaktoren mit Ausnahme von x1 bis xk).

Warum werden dann nicht einfach alle erdenkbaren Einflussfaktoren im Modell berücksichtigt?

Dies hat zwei Gründe: Daten stehen nicht zu allen erdenklichen Einflussfaktoren zur Verfügung und die Anzahl an Freiheitsgraden ist im Modell begrenzt.

Es können nicht unendlich viele Parameter geschätzt werden, da das zu lösende Gleichungssystem auch lösbar sein muss. Zu viele unbekannte Variablen in einem Gleichungssystem führen zwangsläufig dazu, dass die einzelnen Parameter nicht mehr identifiziert werden können.

Wir werden sehen, dass ein ökonometrisches Modell letztendlich eben “nur“ ein einfaches, mathematisches Optimierungsproblem ist und die Gesetze der Mathematik entsprechend gelten.

 Nehmen wir an, wir haben ein theoretisches Modell, das den Lohn einer Person beschreibt

Lohn = f (Bildung, Beru f ser f ahrung, Alter)

 Ein mögliches ökonometrisches Modell könnte sein:

Lohn = b0 + b1Bildung + b2Beru f ser f ahrung + b3Alter + e

 In dieser ökonometrischen Darstellung des Modells nehmen wir also eine lineare Form der Beziehung zwischen den erklärenden Variablen und der zu erklärenden Variablen an!

 Der Fehlerterm berücksichtigt weitere Einflussfaktoren, die zwar einen Einfluss haben auf die abhängige Variable, jedoch nicht im Modell berücksichtigt wurden.

Auch für dieses Beispiel lassen sich ganz einfach die marginalen(nicht unmittelbar wichtig) Effekte berechnen.

Aus dieser Berechnung lässt sich erkennen, dass das postulierte ökonometrische Modell auch tatsächlich linear ist. Egal wie alt die Person bereits ist, ein weiteres Jahr (dAlter = 1) erhöht den Lohn um dLohn = b3 Einheiten, wobei d für Veränderung (difference) steht.

Die Konstanten b0, b1, b2 und b3 sind also die Parameter des theoretischen Modells und beschreiben die Richtung und die Intensität der Beziehung zwischen dem Lohn und dessen Determinanten.

Variable e erfasst hier alle übrigen Effekte auf den Lohn einer Person. Der Umgang mit diesem Fehlerterm oder Störterm (e) ist extrem wichtig für die Anfertigung einer validen Analyse.

Das ökonometrische Modell wird oft als das wahre Modell bezeichnet, das für den Forscher in der Realität auf Grund der Abstraktheit nicht so ohne weiteres beobachtbar ist. Durch die Anwendung der statistischen (empirischen) Methode auf die Daten, wird das wahre Modell dann geschätzt.

Die Koeffizienten im Vektor b, die den wahren Zusammenhang angeben und unbeobachtbar sind, werden durch die geschätzten Parameter b approximiert(приблизительный). Der wahre Störterm e wird durch den geschätzten Störterm e approximiert. Wir können eine Vermutung über den Zusammenhang aufstellen und diesen dann anhand von Daten schätzen. Dennoch wird der wahre Zusammenhang auch durch die Schätzung niemals entdeckt werden. Lediglich die geschätzten Werte können anhand von Hypothesentests mit einer bestimmten Sicherheit validiert oder abgelehnt werden.

Im Modell unterstellen wir, dass der Zusammenhang zwischen Lohn, Bildung, Berufserfahrung und Alter positiv ist.

Dies wird durch das positive Vorzeichen der Koeffizienten angezeigt. Ob die Daten diesen postulierten Zusammenhang unterstützen, zeigt sich an den geschätzten b Koeffizienten, die ein entsprechendes Vorzeichen haben sollten.

Eine Vielzahl an ökonometrischen Problemen, kann zu entsprechenden Abweichungen zwischen tatsächlichem und geschätztem Koeffizienten führen.

Im Extremfall kann sich durch diese Art von Problem nicht nur die Stärke des Effekts ändern, sondern sogar das Vorzeichen umkehren.

Bevor wir aber auf diese Probleme näher eingehen, wird im nächsten Kapitel zunächst gezeigt, wie die Koeffizienten b, und damit einhergehend auch der Fehlerterm e, basierend

auf beobachteten Daten in einer multivariaten Regressionsanalyse bestimmt werden können.

Die einfachste Form einer Regressionsanalyse ist die univariate Regression (Einfachregression), die benutzt werden kann, um die Beziehung zwischen zwei Variablen zu analysieren. Eine abhängige Variable wird auf eine unabhängige Variable regressiert.

Diese Regression liefert einen Koeffizienten für die unabhängige Variable auf der rechten Seite und er gibt uns die Richtung und die Stärke des Zusammenhangs zwischen den beiden betrachteten Variablen an.

Das Konzept ist vergleichbar mit der Berechnung einer Korrelation-(взаимозависимость) zwischen zwei Variablen mit dem Unterschied, dass bei der Einfachregression bestimmte Annahmen getroffen werden und ein kausaler(begründend) Zusammenhang zwischen den durch die unabhängige Variable beschriebenen Einflussfaktoren und der abhängigen Variable unterstellt wird. Im Unterschied zur Regressionsanalyse wird in einer einfachen Korrelationsanalyse in der Regel keine kausale Interpretation gemacht. Die univariate Regression vernachlässigt außerdem definitionsgemäß eine mögliche Interaktion dieser beiden Variablen mit anderen Variablen.

Häufig sind die untersuchten Zusammenhänge allerdings so komplex, dass die vernachlässigung weiterer Einflussgrößen zu Verzerrungen in der Schätzung führt. Als Werkzeug in einer empirischen Analyse der komplexen Welt stößt diese Methode somit schnell an ihre Grenzen. Trotzdem liefert sie eine gute Intuition für die multivariate Regression und wird an dieser Stelle nur zur Wiederholung angesprochen.

Im Unterschied zur univarianten Regression berücksichtigt die Mehrfachregression k

Regressoren und wird definiert als

Index i identifiziert ein bestimmtes Individuum, einen bestimmten Gegenstand, ein bestimmter Zeitpunkt oder eine bestimmte Sache.

Je nach betrachtetem Datensatz können das beispielsweise Personen, Firmen oder Länder sein.

Stellen Sie sich vor, es liegen Arbeitsmarktdaten über 1000 Arbeitskräfte in Deutschland vor. Alle Daten seien in einem bestimmten Jahr erhoben worden, so dass die Zeitdimension zunächst einmal keine Rolle spielt.

Jede Arbeitskraft wird nun eindeutig über die Indexvariable i identifiziert. Aus dem Datenbestand lassen sich dann Informationen zu beobachtbaren Größen auswerten.

Zieht man beispielsweise eine bestimmte Person i aus der Grundgesamtheit aller Beobachtungen heraus, dann lässt sich der Lohn dieser Person mit den persönlichen Merkmalen xki vergleichen. Hierbei haben wir vorausgesetzt, dass die Lohninformation auch tatsächlich als Variable vorliegt und dass zusätzliche Informationen zur Charakteristik der Arbeitskräfte ebenfalls im Datensatz enthalten sind.

Logischerweise kann der Forscher nur auf Informationen in den Daten zurückgreifen, die beobachtbar sind. Unbeobachtbare Eigenschaften stellen den Analysten häufig vor Probleme, die nur mit aufwendigen Methoden adressiert werden können.

In der Regel sind zumindest Merkmale wie Qualifikation, Alter und Berufserfahrung beobachtbar und können entsprechend im Modell berücksichtigt werden. Denkbar wäre also eine Analyse, die die Löhne der Arbeitskräfte (abhängige Variable auf der linken Seite der Regression in Gleichung 2.1) den persönlichen Merkmalen (Regressoren auf der rechten Seite der Gleichung 2.1) gegenüberstellt, um so den Einfluss dieser Merkmale auf das Einkommen der Arbeiterschaft zu identifizieren. Die Datenstruktur sei an einem Beispiel veranschaulicht. Nehmen wir uns die Beobachtung mit dem Index i = 1 hervor. Der Lohn dieser ersten Beobachtung sei y1 = 10. Außerdem können wir den vorliegenden Daten auch weitere Informationen über die Variablen x21, x31, ..., xk1 entnehmen.

Der erste Index identifiziert die jeweilige Variable 2, ..., k und der zweite Index wiederum identifiziert jede Beobachtung (in diesem Fall jede Person). Warum beginnt der Index, der die Variable identifiziert (Alter, Bildung, Erfahrung usw.) mit einer 2?

Der Grund hierfür ist eine Zusätzliche Variable in der Regression, nämlich die Regressionskonstante.

Diese Konstante ist identisch für alle Individuen und misst den von den erklärenden Variablen unabhängigen aber messbaren Anteil des Lohns einer Arbeitskraft.

Dieser konstante Anteil des Lohns könnte hier als eine Art Grundgehalt interpretiert werden, dass jeder Person stets unabhängig von ihrer Bildung, ihrer Berufserfahrung oder dem Alter ausgezahlt wird. Auch dies wird später noch viel ausführlicher erklärt.

Technisch lässt sich dies sehr einfach zeigen. Nehmen Sie an, für eine Person sind alle erklärenden Variablen genau gleich Null. Der Lohn dieser Person j müsste gemäß unseres Modells also entsprechen.

Diese Person dient als eine Art Referenzpunkt. Ausgehend von diesem Referenzpunkt können alle 1000 Personen relativ dazu angeordnet werden.

Nehmen Sie an, wir beobachten eine Person, die genau ein Jahr alt ist und für die alle anderen Variablen weiterhin eine Ausprägung in Höhe von 0 aufweisen.

Wie hoch wäre der Lohn gemäß der Regressionsergebnisse? Angenommen das Alter wird über die Variable x2i gemessen, dann würden wir einen Lohn

erwarten. Aber ist das ein realistisches Ergebnis? Kann ein Kind in einer Ökonomie

ohne Grundgehalt mit einem Jahr bereits einen positiven Lohn bekommen?

Mit Sicherheit nicht und das ist der Grund, warum der Fehlerterm (e) sehr wichtig ist. Der

Fehler, den das Modell bei einem Kind macht, ist enorm groß! Das Modell berücksichtigt

eben nicht, dass Kinder im Alter von 1 noch nicht arbeiten dürfen oder können und auch kein Grundgehalt erhalten.

Das Modell macht daher in der Prognose einen Fehler, der über den Fehlerterm berücksichtigt wird. Der Lohn sollte Null sein und die Diskrepanz zwischen Modell und Realität wird über den Fehlerterm modelliert.

Für diese eine Beobachtung beträgt der Fehlerterm nämlich ,

so dass der Lohn

als Ergebnis herauskommen würde. Tatsächlich würde man in der Anwendung natürlich nur sinnvolle Beobachtungen zulassen und sich auf Individuen im erwerbsfähigen Alter konzentrieren.

An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, dass wir so tun, als ob wir das wahre Modell kennen und mit den exakten aber prinzipiell unbeobachtbaren Parametern des theoretischen bzw. abstrakten Modells rechnen. In der Realität sind die exakten Parameter unergründbar, so dass wir uns mit Schätzungen dieser Parameter begnügen müssen.

Bevor wir das erste Schätzverfahren kennenlernen, schreiben wir das gesamte Regressionsmodell allerdings in Matrixschreibweise als mit den folgenden Vektoren und Matrizen als mit den folgenden Vektoren und Matrizen als Komponenten

Der (nx1) Spaltenvektor y und die (nxk) Matrix X sind die Variablen in unserem Modell, also unsere Daten. Der (kx1) Spaltenvektor b ist der wahre Zusammenhang in der Grundgesamtheit unserer Daten.

Die Variablen n bezeichnen die Anzahl der Beobachtungseinheiten (Größe der Stichprobe) und k die Anzahl der erklärenden Variablen, hier inklusive einer Regressionskonstanten. Der (nx1) Spaltenvektor e ist der stochastische Störterm in der Grundgesamtheit.

Statt die Gleichung 2.1 n mal untereinander zu schreiben, werden sie in einer kompakten Matrix zusammengefasst, die sich allerdings auch problemlos wieder in die ursprüngliche Form zurückführen lässt.

Wir könnten die Matrix nämlich jederzeit wieder Zeile für Zeile auflösen. In der folgenden Matrix sind alle zur ersten Beobachtung gehörenden Elemente der Matrix gelb hinterlegt:

Da es sich bei y und e um Vektoren handelt und keine Koeffizienten berücksichtigt werden, können die Elemente einfach zeilenweise übernommen werden. Etwas komplizierter ist der Umgang mit der Beobachtungsmatrix und dem Vektor der Koeffizienten, die Element für Element richtig miteinander multipliziert werden müssen.

Das erste Element der ersten Zeile wird mit dem ersten Element des Spaltenvektors b multipliziert, dann das zweite Element der ersten Zeile mit dem zweiten Element des Spaltenvektors der Koeffizienten, bis hin zum kten Element der Zeile, das mit dem kten Element des Spaltenvektors multipliziert wird. Diese Prozedur kann für alle n Beobachtungen wiederholt werden, um folgendes Gleichungssystem aus der Matrix zu gewinnen:

In unserem Beispiel mit insgesamt 1000 Beobachtungen müssten wir also ein Gleichungssystem mit insgesamt 1000 Gleichungen aufschreiben. Beachten Sie, dass die Koeffizienten b1 ... bk für jede Beobachtung gleich sind.

Aus den individuellen Daten werden gemeinsame Effekte identifiziert, die alle Beobachtungen repräsentieren.

Ausgehend von dem Modell der Multivariaten Regression ist der nächste Schritt in der empirischen Analyse die Schätzung dieses (ökonometrischen) Modells! Ziel ist es, die unbekannten Parameter entsprechend einer bestimmen Optimierungsvorschrift zu ermitteln. Wir wollen dafür den OLS Schätzer benutzen.

Der OLS Schätzer (Ordinary Leasts Squares bzw. Kleinste-Quadrate-Schätzer) liefert eine approximierte Lösung für den Vektor b. Diese Lösung wird als der geschätzte Wert b oder häufig einfach als ˆb bezeichnet.

Natürlich sind auch abweichende Bezeichnungen für die geschätzte Variable des unbeobachtbaren Zusammenhangs, b, möglich.

Die Schätzung kann intuitiv erklärt werden als ein Vorgang, bei dem alle Koeffizienten so lange variiert werden, bis die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen dem geschätzten Modell und den beobachteten Datenpunkten minimiert ist.

Das geschätzte Modell kann in den häufigsten Fällen durch eine Gerade repräsentiert werden. In unserem stark vereinfachten Preis-Nachfrage Beispiel wäre das eine Gerade, die den negativen Zusammenhang zwischen Preis und nachgefragter Menge darstellt.

Für jeden beliebigen Preis lässt sich im Modell die resultierende Nachfrage berechnen und entsprechend über eine einfache Funktion grafisch darstellen.

Als einzige Voraussetzung bräuchte man einen Wert für den Koeffizienten, der ja durch die Regression ermittelt werden soll. Nimmt man reale Daten zu Preisen und der entsprechenden Nachfrage hinzu, lässt sich für jeden dieser beobachteten Preise die erwartete Abweichung zwischen tatsächlicher Nachfrage und der durch das Modell prognostizierten Nachfrage berechnen.

Der Parameter, der den Zusammenhang zwischen Preis und Nachfrage im Modell festlegt, wird nun solange variiert, bis die minimale durchschnittliche Abweichung erreicht wird. Iterativ könnte man ganz einfach einen beliebigen Startwert für den Koeffizienten setzen und alle Abweichungen zwischen real beobachteter Nachfrage und der vom Modell prognostizierten Nachfrage berechnen.

Vergleicht man die Abweichungen dieser Modellvariante mit den Abweichungen, die aus einem alternativen Modell mit abweichenden Koeffizienten resultieren, dann würde man diejenige Variante mit der geringsten Abweichung zwischen Modell und beobachteten Werten bevorzugen.

Nun ist ein Vergleich zweier Modellvarianten nicht ausreichend. Um eine verlässliche Schätzung zu bekommen, müsste diese Prozedur unendlich oft wiederholt werden, um so iterativ zum Parameter für den Koeffizienten zu gelangen, der die beobachteten Daten bestmöglich beschreibt. Anders ausgedrückt: man würde die Prozedur unendlich oft wiederholen, um dann den Parameter zu wählen, für den die durchschnittliche Abweichung zwischen Modell und Beobachtungen minimal ist. Diese Vorgehensweise ist natürlich in der Praxis nicht praktikabel und auch in den häufigsten Fällen nicht notwendig.

Bei einem so einfachen Zusammenhang reicht ein analytisches Minimierungsproblem völlig aus, um den optimalen Parameterwert für den Koeffizienten im Modell zu bestimmen.

Implementiert wird dieses Minimierungsproblem über die Summe der quadrierten Fehlerterme e. Diese Summe ist die Zielgröße, die über die Variation des (der) Koeffizienten im Modell minimiert werden soll. Dafür muss diese Zielgröße als Funktion in Abhängigkeit des Koeffizienten aufgestellt werden, um dann über die Variation des Koeffizienten zur optimalen Lösung zu gelangen. In unserem Beispiel würden sich für jeden Wert des Parameters insgesamt 1000 Werte für die Differenz zwischen beobachteter und modelltheoretischer Nachfrage ergeben. Diese 1000Werte könnten quadriert werden, um sie so über alle 1000 Individuen aufzusummieren. Die geschätzten Parameter lassen sich dann sehr einfach über ein Minimierungsproblem herausfinden. Als Lösung bekommen wir die analytische Lösung des OLS Schätzers:

Durch Einsetzen der gegebenen Daten einer empirischen Analyse in diese Gleichung bekommt man eine Lösung für die Parameter der Mehrfachregression. Hierfür benötigen wir allerdings zunächst eine analytische Lösung für die Summe der quadrierten Abweichungen.

Zur Erinnerung, das geschätzte Modell lautet wobei b der geschätzte Wert für b und e der geschätzte Fehlerterm bzw. das Residuum der Regression ist. Je nachdem wie viele Variablen berücksichtigt werden ist b also ein Skalar oder ein Vektor. Da die Residuen durch den oder die Parameter b determiniert werden, wählen wir die Notation e(b). Wie bereits erwähnt, schreiben wir den Fehlerterm e als eine Funktion in Abhängigkeit von b auf. Durch eine einfache Multiplikation der geschätzten Fehlerterme mit sich selbst bekommen wir die quadrierten Fehlerterme. Da die geschätzten Fehlerterm in einem Vektor zusammengefasst wurden, muss der Vektor e(b) zunächst einmal transponiert werden. Dann ist der OLS Schätzer definiert als

Aus der zweiten Zeile wird auch ersichtlich, warum die Parameter b die geschätzten Residuen bestimmen. Die Differenz zwischen dem beobachteten y und dem geschätzten y = Xb ergibt das vorhergesagte y. Häufig wird der vorhergesagte Wert von y als ˆ y = Xb bezeichnet, so dass das Residuum als e = y-ˆ y berechnet werden kann. Durch Variation der Koeffizienten b verändern sich auch dementsprechend die geschätzten Residuen e. In einem Minimierungsproblem werden nun die bs solange variiert, bis die Bedingungen für ein Minimierungsproblem erfüllt sind. Doch zuvor müssen wir die Terme in der eckigen Klammer noch etwas umformen. Die Klammern werden unter Beachtung der Matrixregeln aufgelöst, um

zu bekommen. Die Anwendung einer weiteren Rechenregel im Umgang mit transponierten Matrizen ergibt dann

Für diese Lösung wurde die Regel (Xb)’ = b’X’ angewandt. Im nächsten Schritt wird ein Trick angewandt. Bei näherer Betrachtung fällt auf, dass die Terme b’ X’y und y’Xb die gleiche Dimension haben, nämlich die Dimension eines Skalars (1 x1).

Zusammenfassung: Dimension der (transponierten) Matrizen und Vektoren Folgende Informationen können für die Herleitungen verwendet werden:

Dimension des y Vektors: (n * 1)

Dimension der X Matrix: (n * k)

Dimension des b Vektors: (k * 1)

Dimension des y0 Vektors: (1 * n)

Dimension der X0 Matrix: (k *n)

Dimension des b0 Vektors: (1 * k)

Wir wissen also, dass b’X’y die Dimension (1 * k) * (k *n) * (n * 1) = (1* 1) hat.

Außerdem wissen wir auch, dass y’Xb ebenfalls die Dimension (1 * n)* (n * k) *

(k *1) = (1 * 1) besitzt. Bei näherer Betrachtung fällt auch auf, dass zweimal die

gleichen Elemente miteinander multipliziert werden. Die beiden Terme liefern also das gleiche Ergebnis, so dass folglich b’X’y = y’Xb gilt. Daher kann

-b’X’y-y’Xb zu -2y’Xb zusammengefasst werden und für bols ergibt sich somit in diesem Schritt die Vereinfachung:

abschließend die folgende Regel an:

Beachten Sie bitte, dass diese Regel nur angewendet werden kann, wenn die Matrix A symmetrisch ist (d.h. es muss aij = aji gelten). Diese Bedingung ist in unserem Fall mit A = X’X erfüllt.

Ausgangspunkt der angestellten Überlegungen war ein beliebiges Modell

der theoretischen Form

– es wird also angenommen, dass ein unbeobachteter Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variablen x1, ..., xk und der abhängigen Variable y besteht.

Diese modelltheoretische Überlegung muss zu einem ökonometrischen Modell transformiert werden. Idealerweise bekommt man eine Schätzgleichung der Form:

– Als Ergebnis sollte ein linearer Zusammenhang zwischen den unabhängigen und den abhängigen Variablen resultieren, um mit einfachen Schätzmethoden arbeiten zu können.

– In der praktischen Anwendung kann eine Linearisierung sehr häufig durch Logarithmieren der Modellgleichung herbeigeführt werden.

Ist die Transformation des Modells in einen solch linearen Zusammenhang möglich, kann der OLS Schätzer angewandt werden, um die unbeobachtbaren Parameter zu schätzen. Als Ergebnis bekommen wir

– Voraussetzung für die Schätzung ist das Vorhandensein von ausreichend

Daten zu den Variablen y und x2, ..., xk.

– Liegen diese Daten vor, können die einzelnen Punktschätzer über das

Minimierungsproblem

gelöst werden. Als Ergebnis bekommen wir einen k * 1 Vektor, der die

k Koeffizienten für b enthält.

Die Wahl des OLS Schätzers als eine mögliche Lösung für die Parameter des Mehrfachregressionsmodells ist natürlich nicht arbiträr. Unter bestimmten Annahmen können einige wertvolle Eigenschaften des OLS Schätzers nachgewiesen werden.

Diese wünschenswerten Eigenschaften des OLS Schätzers werden innerhalb des sogenannten Gauß-Markov-Theorems häufig mit dem Akronym BLUE zusammengefasst. Wobei sich dieses Akronym aus den folgenden Wörtern zusammensetzt

 Best

 Linear

 Unbiased

 Estimator

Das Best bezieht sich auf die kleinste Varianz des Schätzers. Die Werte für den OLS Schätzer wurden über das Minimierungsproblem so gewählt, dass die Varianz am geringsten ist. Das heißt, dass die Koeffizienten auf Werte gesetzt wurden, die das Modell bestmöglich in die Punktewolke der vorhandenen Beobachtungen einpasst.

Dieser Schätzer wird als effizient bezeichnet. Im folgenden Kapitel werden wir auf die Eigenschaften des OLS Schätzers und der Annahmen, die wir für dessen Berechnung benötigen, eingehen. Zunächst werden wir aber noch die einzelnen Schritte für eine konkrete Berechnung mit dem OLS Schätzer durchgehen und anschließend zwei empirische Anwendungen besprechen.