03 Maße der Dispersion

Als Quartile werden jene Punkte Q1, Q2 und Q3 bezeichnet, welche eine

Verteilung in vier gleich große Abschnitte aufteilen. Das mittlere Quartil Q2

entspricht dabei dem Median (Prozentrang von 50), während das untere Quartil Q 1

einen Prozentrang von 25 und das obere Quartil Q3 einen Prozentrang von 75 erfasst. Die Differenz der beiden Quartile Q1 und Q3 wird als Interquartilsabstand (IQA) bezeichnet:

IQA = Q3 - Q1

Vorteil:

Ausreißer wirken sich nicht so sehr auf diese Kennwerte aus, da mit den Quartilen Q1 und Q3 nur die mittleren 50 % der Verteilung berücksichtigt werden.

Nachteil:

Da die Werte außerhalb der Quartile Q und Q , des Interquartilsabstands, nicht 1 3

berücksichtigt werden, gehen nur die Informationen der mittleren 50 Prozent der Verteilung in diese Kennwerte ein.

σx2 Populationsvarianz (griechische Buchstaben)

σˆx2 geschätzte Populationsvarianz

sx2 Stichprobenvarianz (lat. Buchstaben)

In der Regel werden Stichprobenwerte verwendet um Populationswerte zu schätzen.

Es besteht die Gefahr einer Unterschätzung der Populationsvarianz.

Wenn durch den Freiheitsgrad geteilt wird, erfolgt eine konservative (=vorsichtige) Schätzung.

Mit zunehmender Stichprobengröße wird der Einfluss dieser Korrektur verschwindend gering.

Anmerkung: Viele Statistikprogramme gehen generell von der Schätzung der Populationsvarianz aus (z.B. SPSS).

Die Varianz wird durch Summierung der quadrierten Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Mittelwert und anschließendem Teilen durch die Stichprobengröße, beziehungsweise den Freiheitsgrad, berechnet.

Vorraussetzung: Intervallskala

Bei Addition einer Konstanten a ändert sich die Varianz nicht.

2 Bei Multiplikation mit einer Konstanten a (a > 0) vergrößert sich die Varianz

um den Faktor a^2

Durch das Quadrieren der Werte bei der Berechnung der Varianz entsteht ein schwer interpretierbarer Kennwert, da verschiedene Varianzen als quadratische Maßzahlen weder leicht noch anschaulich verglichen werden können.

-> Die Standardabweichung entspricht der Wurzel aus der Varianz.

Berechnung der Standardabweichung in der Population:

Als Zentrales Moment wird die Differenz eines individuellen Werts vom Mittelwert bezeichnet:

(xi − x ̄) ^a

Der Exponent a beschreibt die Ordnung des zentralen Moments, a=2 bspw bei Varianz

Bei SPSS liegt die Normalverteilung bei a4=0

= Für kontinuierliche Variablen:

Range = maximaler Wert – minimaler Wert.

= Für diskrete Variablen:

Range = Anzahl der Kategorien

• Voraussetzung: Nominalskalenniveau.

• Nachteil: Anfällig für Ausreißerwerte (bei kontinuierlichen Variablen), da

nur zwei Werte in die Berechnung eingehen. • Keine Aussagen über die Mitte der Verteilung

1. Standartabweichung, Varianz

2. Schiefe

3. Exzess