Beweisführung & KI

1. Direkter Beweis

2. Kontraposition / Umkehrschluss

3. Widerspruchsbeweis

4. Vollständige Induktion

5. Fehlschlüsse

Beweis, dass alle Katzen Säugetiere sind:

Direkter Beweis:

1. Behauptung: Alle Katzen sind Säugetiere.

2. Begründung:

   2.1. Katze A ist ein Säugetier (Beispielkatze)

   2.2. Katze B ist ein Säugetier (ein weiteres Beispiel)

3. Schlussfolgerung: Da Katze A und Katze B repräsentative Beispiele für Katzen sind und beide Säugetiere sind, können wir davon ausgehen, dass alle Katzen Säugetiere sind.

Der direkte Beweis zeigt, dass die Behauptung wahr ist, indem er spezifische Beispiele präsentiert und daraus eine allgemeine Schlussfolgerung zieht.

Beweis, dass alle Kinder, die ihre Hausaufgaben machen, gute Noten bekommen:

Kontraposition / Umkehrschluss:

1. Behauptung: Wenn ein Kind schlechte Noten bekommt, dann hat es seine Hausaufgaben nicht gemacht.

2. Begründung:

   2.1. Annahme: Ein Kind hat schlechte Noten (Beispiel: Marie hat eine schlechte Note in Mathe).

   2.2. Schlussfolgerung: Da Marie schlechte Noten hat, gehen wir davon aus, dass sie ihre Hausaufgaben nicht gemacht hat, denn wenn sie ihre Hausaufgaben gemacht hätte, würde sie gute Noten erhalten.

Der Kontrapositionsbeweis zeigt, dass, wenn ein Kind schlechte Noten hat, es seine Hausaufgaben nicht gemacht haben muss. Dies stützt indirekt die ursprüngliche Behauptung, dass Kinder, die ihre Hausaufgaben machen, gute Noten bekommen.

Beweis, dass in einem Raum, in dem alle Türen geschlossen sind, es unmöglich ist, dass eine Tür offensteht.

Widerspruchsbeweis:

1. Behauptung: In einem Raum mit allen geschlossenen Türen kann keine Tür offenstehen.

2. Begründung:

   2.1. Annahme: Es gibt einen Raum mit allen geschlossenen Türen.

   2.2. Annahme des Gegenteils (für den Widerspruch): Angenommen, es gibt eine offene Tür im Raum.

   2.3. Widerspruch: Wenn alle Türen geschlossen sind, kann keine Tür offenstehen. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass es eine offene Tür gibt.

   2.4. Daher ist die ursprüngliche Annahme falsch, und es kann keine offene Tür in einem Raum mit allen geschlossenen Türen geben.

Der Widerspruchsbeweis zeigt, dass die Annahme, dass eine Tür offensteht, zu einem Widerspruch führt und daher nicht wahr sein kann. Das unterstützt die ursprüngliche Behauptung, dass in einem Raum mit allen geschlossenen Türen keine Tür offenstehen kann.

Beweis, dass alle Dominosteine in einer Reihe umfallen, wenn der erste Dominostein umgestoßen wird.

Vollständige Induktion:

Behauptung: Wenn der erste Dominostein umgestoßen wird und jedes aufeinanderfolgende Dominosteinpaar verbunden ist, dann werden alle Dominosteine in der Reihe umfallen.

Begründung:

1. Induktionsanfang: Der erste Dominostein wird umgestoßen (Basisfall).

2. Induktionsannahme: Angenommen, wenn das k-te Dominosteinpaar fällt, wird auch das (k+1)-te Paar fallen.

3. Induktionsschritt: Wenn das k-te Paar fällt, wird das (k+1)-te Paar ebenfalls fallen, da sie verbunden sind.

4. Schlussfolgerung: Durch wiederholtes Anwenden des Induktionsschritts wird jedes aufeinanderfolgende Dominosteinpaar umfallen.

Die vollständige Induktion zeigt, dass wenn der erste Dominostein umgestoßen wird und die Verbindung zwischen aufeinanderfolgenden Dominosteinen besteht, dann werden alle Dominosteine in der Reihe umfallen.

Angenommen, wir wollen einen Fehlschluss bezüglich der Aussage machen, dass alle Studenten gerne Kaffee trinken.

Fehlschluss:

Behauptung: Einzelne Studenten trinken keinen Kaffee, also mögen keine Studenten Kaffee.

Begründung:

1. Beobachtung: Student A trinkt keinen Kaffee.

2. Fehlschluss: Daher mögen keine Studenten Kaffee, weil wir ein Beispiel (Student A) gefunden haben, der keinen Kaffee trinkt.

Der Fehlschluss liegt darin, dass von einem einzelnen Beispiel (Student A), der keinen Kaffee trinkt, nicht auf alle Studenten geschlossen werden kann. Die ursprüngliche Behauptung, dass alle Studenten gerne Kaffee trinken, wird fälschlicherweise aufgrund eines Einzelfalls widerlegt. Fehlschlüsse können durch ungenaue oder voreilige Schlussfolgerungen entstehen und sind daher keine gültige Beweisführung.

• Versuch, bestimmte Entscheidungsstrukturen des Menschen nachzubilden

• Autonomes Fahren

• Automatisierte Unterstützungsprozesse

• Automatisierte Qualitätsprüfung

• Automatisierte Qualitätsoptimierung

• Supply-Chain-Management

• Predictive Maintenance

• Mensch-Maschine- & Maschine-Machine-Interaktonen

• Forschung & Entwicklung

• Teilgebiet der KI

• wie Mensch aus Beispielen & Erfahrungen lernen

• Supervised Learning (Trainings- & Testdaten)

• Unsupervised Learning (nur Eingangsdaten ohne Ergebnis)

• Reinforcement Learning (basiert auf Belohnungsprinzip)

• Gesichtserkennung

• Spamfilter

• Röntgenbilderanalyse

• Malware-Detection

• Wettervorhersage

• Teilgebiet von maschinellem Lernen

• Neuronale Netze (mehr als ein Hidden Layer)

Besteht aus:

• Input Neuronen

• Hidden Neuronen

• Output Neuronen

• Turing-Test

• Lovelace-Test

• Reverse-Turing-Test

• Marcus-Test

1. Benennung der Voraussetzungen & Behauptung (mathematisch, kurz, präzise)

2. Schlussfolgerungen Implikation durch Zwischenimplikation

3. Ergebnis

Unter einem Beweis verstehen wir ausgehend von einer Menge von als wahr angenom- menen Aussagen (die Voraussetzungen) eine Sequenz von logischen Schlüssen, die dazu führen, dass eine weitere Aussage (die Behauptung) wahr ist.