1. Varianzanalytische Methoden: Einfaktorielle Versuchspläne

• simultaner Vergleich von k größer als 2 Mittelwerten

• Analyse von Lageuunterschieden

• Wird also eingesetzt bei Lageunterschieden zwischen 2 oder mehr Gruppen (Erweiterung t-Test)

Problem der Alphafehler-Kumulierung

• Für steigendes k (Anzahl an Gruppen) und m (Anzahl an Tests) strebt der family wise error schnell gegen 1

• Gemeinsamer Fehler (family wise error) ist bei 3 t-Tests dreimal höher als der nominell gewählte

• Reales Alpha, bzw. echter family wise error ist eig noch höher, weil nicht alle Vergleiche voneinander unabhängig sind

Bonferroni-Korrektur:

p-Wert jedes Tests wird nicht mit Alpha verglichen, sondern mit

Alpha / Anzahl an Tests

-> Nachteil: sehr konservatives Vorgehen, Verwerfen der H0 wird uU unverhältnismäßig schwierig (es braucht größere Unterschiede zw. den Gruppen, ein signifikantes Ergebnis zu bekommen wird schwierig)

• kontrolliert den familywise error

• nicht so konservativ wie alternative Prozeduren, da nur ein Hypothesentest durchgeführt wird (nicht m>1)

• Omnibustest: ANOVA prüft NICHT sequentiell die Hypothesen , sondern alle gleichzeitig (alle in einer Gleichung)

• H0: Mittelwerte unterscheiden sich nicht/ sind gleich

• H1 angenommen: mind. 2 der untersuchten Mittelwerte signifikant voneinander unterschiedlich (muss so sein)

  • welche Mittelwerte sich unterscheiden bleibt offen

  • Richtung bleibt auch offen

• Test beruht auf dem Vergleich der Varianz der Daten, die durch systematische Unterschiede bedingt wird (Gruppen), gegenüber der Varianz, die durch den Zufall zustande kommt -> „Varianzanalyse“

  Zufallsvarianz wird mit der Varianz verglichen, die durch Gruppenunterschiede entsteht

  „Inwiefern kann die UV die Variabilität der Werte erklärt werden?”

Berechnung der Quadratsummen:

Gesamtvariabilität

= Systematische Variabilität + Unsystematische Variabilität

Wie unterschiedlich sind Gruppen von einem gemeinsamen Mittelwert

die Variabilität zwischen Gruppen

= QS zwischen

WIe unterscheidet sich die Variabilität innerhalb der Gruppen vom Gruppenmittelwert?

= QS innerhalb

Berechnung der Varianzschätzer

• QS gesamt = QS zwischen + QS innerhalb

(wenn man also 2 davon hat, kann man sich den dri5en ausrechnen)

• Quadratsumme dienen zur Varianzschätzung

• wen H0 gilt: Varianz zwischen = Varianz innerhalb (unabhängig, aber gleich groß)

• Inferenzstatatistische Überprüfung mit F-Test

  -> F = Varianz zwischen / Varianz innerhalb

  -> wenn Varianz zwischen größer, dann F>1 -> H1 gültig

• F-Wert mit krit. F-Wert verglichen

• nur Varianz zwischen > Varianz innerhalb sricht gegen die Gültigkeit von H0

  • allerdings ungerichtete H1 (Richtung und Gruppe unbekannt)

• F > 1: H1 annehmen, = signifikant

• Je größer F ist, desto größer ist die Streuung zwischen den Gruppen

• Varianz zwischen und Varianz innerhalb folgen jeweils X-Verteilungen

• X-Verteilungen sind durch Freiheitsgrade charakterisiert

• Varianz zwischen und Varianz innerhalb voneinander stat. unabhängig

• Quotient zweier X-verteilter Variablen durch F-Verteilung beschrieben

  • durch zwei freiheitsgrade charakterisiert:

    -> Zähler- und Nennerfreiheitsgrade

• F-Verteilungen jaben nur postive Zahlenwerte und sind rechtsschief

• Für größere Freiheitsgrade geht der Erwartungswert der F-Verteilung schnell gegen 1

  • unter der H0 wird der Quotient zweier gleichgroßer Varianzen nahe bei 1 erwartet

  • => große F-Werte weisen auf eine größere Zählervarianz als die Nennervarianz hin und Verwerfung der H0

• nur große Zahlenwerte sprechen für die H1 und einseitige Testung

durch Einzelvergleiche/Kontraste und Post-hoc Tests

• A priori formuliert (planned contrast)

• Geht aber auch a posteriori (explorativ)

• Bei planned contrast: Testung von Hypothesen, welche Mittelwerte sich voneinander unterscheiden

  -> hypothesengeleitetes Vorgehen, einseiXge Hypothesen

• Planned contrasts können Omnibustests ersetzen: wenn Omnibustest nicht die eigentliche Hypothese widerspiegelt; Kontrast ist dann das geeignetere Vorgehen und hat größere Testmacht

rein zur Datenexploration -> explorativ

• erlauben spezifische Gruppenvergleiche & gerichtete Hypothesen (z.B. Gesunde und Remittierte haben niedrigere Werte als akut Depressive)

• Kontrasttests entweder:

  • orthogonal

    • zerlegen Quadratsummen des Omnibustests in voneinander unabh. Anteile

      (Welche Gruppenunterschiede werden für Signifikanz des omnibustests verantwortlich gemacht?)

  • nicht-orthogonal

    • addieren sich nicht auf das Ergebnis des Omnibustests

  • also voneinander stat. unabhängig oder abhängig

• 
  

df=k-1

(soviele wie Freiheitsgrade, wie in der Ziwsschengruppenvarianz vorhanden)

-> es muss mindestens 3 Gruppen geben

durch Bildung von Linearkombinationen (= gewichtete Summen) der jeweiligen Gruppenmittelwerten mithilfe von Kontrastkoeffizienten (=Gewichte)

• Gruppen müssen Zahlen/Gewichte zugeordnet werden

• = Kontrastkoeffizienten gj

• müssen eine Nebenbedingung erfüllen

• Summe aller Gewichte muss 0 sein

• Gruppen, die zusammengelegt werden, bekommen dieselbe Zahl

• Gruppen, die verglichen werden, bekommen unterschiedliche Vorzeichen

• Gruppen, die nicht berücksichtigt werden, bekommen die Zahl 0

• Zahlenwerte sind beliebig, müssen nur Summe 0 bilden

• Normal wird kleinstmögliche Zahl verwendet

• 2 Kontraste sind orthogonal, wenn die Summe der Produkte ihrer Koeffizienten 0 ist

• Koontrast 1 soll Gruppe 1 (Gesunde) und Gruppe 2 (Remittierte) zusammenfassen und mit Gruppe 3 (Depressiven) vergleichen

• Kontrast 2 soll nur Gruppe 1 und 2 vergleichen

• Alternative Kontraste sind ebenso mögllich (andere kombis der 3 Gruppen)

• insgesamt kann es bei 3 Gruppen aber nur 2 orthogonale Kontraste geben

• erster Kontrast enthält alle Gruppen

• pro weiterem Kontrast bekommt eine weitere Gruppe den Koeffizienten 0 und wird aus Vergleichen ausgeschlossen

• Zahlenwerte anderer Koeffizienten werden ggf. angepasst, damit Summe wieder 0

• Kontraste testen dann sequentiell Unterschiede in Kombinationen der vorliegenden Gruppen

• letzter kontrast vergleicht nur mehr zwei Gruppen

die Fehöerkontrolle -> Bonferroni-Kontrolle

• Gesunde und Remittierte unterscheiden sich signifikant von Depressiven; Gesunde unterscheiden sich signifikant von Remittierten

• Prüfgröße ist t-verteilt und kann auch für Tests von gerichteten Hypothesen verwendet werden

  • einseitige Testung - p-Wert halbieren

  • funktioniert nur für Kontrasttests, nicht post-hoc Testungen

nach dem Vorhandensein gerichteter Hypothesen

• muss a priori entschieden werdne und kann nicht a posteriori zum “Fischen nach Signifikanz” eingesetzt werden

• gerichtete Hypothesentests zeigen sich nicht in den Zahlen der Kontrastkoeffizienten und werden auch nicht durch diese festgelegt

Polynomiale Kontraste

-> dienen zur Analyse von Trends

-> zueinander orthogonal (unabhängig)

• Linear (mind. 2 Gruppen)

• Quadratisch (mind. 3 Gruppen)

• Kubisch (mind. 4 Gruppen)

wenn Gruppen eine sinnvolle und nicht beliebige Ordnung aufweisen

-> Äquidistanz der Faktorstufen vorausgesetzt

Um eine Referenzgruppe mit allen anderen Gruppen zu vergleichen

gleiche Prozedur:

• Differenz: von oben nach unten

• Helmert: von unten nach oben

um alle paarweisen Mittelwertsunterschiede aufeinanderfolgender Gruppen zu testen

• erlauben explorative Untersuchung, welche Gruppen sich nach signifikantem Omnibustest der ANOVA voneinander unterscheiden

  • vergleichen alle Paare von Gruppen miteinander (nicht-orthogonal)

• nicht zur Testung von a priori Hypothesen, sondern zur Datenexploration

• nur zweiseitige Tests -> ggf. geringere testmacht als Kontraste

• JASP und SPSS bieten Vielzahl (3+5 corrections & 18!) unterschiedlilcher Post-hoc Testverfahren an+

• Unterschiede in Art der Kontrolle des familywise error (Typ 1 Fehler), Testmacht (Typ 2 Fehler) und Robustheit gegenüber Voraussetzungsverletzungen

• Games-Howell

• Dunnet’s C test

• Dunnet’s T3 test

• Tamhane’s T2 test

-> auch sonst gute Power und Kontrolle des Typ 1 Fehlers

-> werden generell empfohlen

• Q nach Ryan-Einot-Gabriel-Welsh

• Tukey

• Gültigkeit und Durchführung der einfaktoriellen ANOVA an vier Voraussetzungen gebunden:

  • AV hat metrische Skaleneigenschaften

  • Stufen der UV voneinander unabhängig

  • Varianz der AV über alle Gruppen homogen

  • AV innerhalb aller Gruppen normalverteilt

• gleiche Voraussetzungen wie t-Test für unabhängige Gruppen

• Vpraussetzungen müssen vor der Durchführung geprüft werden , sonst anderes Testverfahren

• Gesamtmittelwert zbd Effekt der Gruppe sind Konstanten (feste Effekte)

• Streuung innerhalb der Gruppe kommt nur durch Fehler zustande

  -> Variation innerhalb der Gruppe zufällig

• Verrteilung der Fehler muss in allem Gruppen

  • gleich sein (Varianzhomogenität)

  • normal sein

• Modell ist Teil des allg. linearen Modells: X = YA + U

• Werte einer AV (X) werden durch Werte einer UV (Y) vorhergesagt

• Matrix enthält Regressionsgewichte

  • im Fall der ANOVA = feste Effekte

  • Matrix Y enthält dan Indikatorwerte der Gruppenzugehörigkeit

• “U” enthält alle individuellen Abweichungen von festen Effekten

• 
  

es ist das Rahmenmodell parametrischer Testverfahren:

• lineare Regression

• t-Test

• f-Test

• ANOVA

• ANCOVA

• MANOVA

• etc.

• Fehler haben Erwartungswert 0

• Varianz der Fehler in allen Stufen des Faktors (ANOVA) bzw. über alle Ausprägungen der UV (Regression) gleich (Homoskedastizität)

• Fehler sind normalverteilt

• Fehler voneinander unabhängig

-> daraus leiten sich alle “klassischen” Voraussetzungen parametrischer Verfahren her

• Lageparameter (Median)

• Streuungsmaß (Interquartilabstand; IQA): Länge der Box

• Lage des Medians innerhalb der Box & Länge der “Whisker” geben Hinweise auf Schiefe der Verteilung

• Whisker zeigen Min. un Max. an, wenn diese < 1.5 x IQA von Box entfernt

• Wetrte Außerhalb = Ausreißer

• ANOVA (& ALM) = robuste Verfahren, dh einzelne Voraussetzungsverfahren haben keinen großen Einfluss auf Ergebnis des F - Test

• Wenn ns gleich (und/ oder große ns) sind Abweichungen von NV oder Varianzhomogenität oft vernachlässigbar (zentrales Grenzwerttheorem)

• Bei ungleichen ns (& wenn klein, also ns < 25) können Abweichungen einen größeren Einfluss ausüben

  • Keine ausreichende Kontrolle von Fehlerraten

  • U. U. ausweichen auf nicht-parametrische Tests

    notwendig

• sehr ungleiche Gruppen

• sehr kleine Gruppen

• Robusten F-Test durchführen (robuste Verfahren können weniger robuste Verfahren widerlegen)

• korrigieren der Freiheitsgrade des Fehlers & beruhen auf alternativer Berechnung der Fehlerquadratsummen

• „Welch“ kontrolliert Typ-II-Fehler besser (höhere Testmacht)

durch Levene-Test (Pendant des F-Test)