Qunatitative Forschung 1

Der Modus ist der Wert einer Variablen, der am häufigsten auftritt.

Der Median splittet die Verteilung einer Variablen in zwei gleich große Hälften und

entspricht dem 50%-Quantil.

Der Mittelwert ist der durchschnittliche Wert aller Messwerte.

Die Quadratsumme ist die Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom

Mittelwert.

• ➢ Die Varianz ist die mittlere quadrierte Abweichung der Messwerte vom Mittelwert.

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz.

Bei Kategorialen Daten:

Nominalskala -> Gleichheit, Verschiedenheit (Geschlecht, Haarfarbe, Partei)

Ordinalskala -> Größer-Kleiner Relationen, Rangfolgen (Platzierung, Schulnoten)

Bei Kardinalen (Metrisch) Daten:

Intervallskala -> Gleichheit von Differenzen (Temperatur, Intelligenzquotient)

Verhältnisskala -> Gleichheit von Verhältnissen (Einkommen, Alter, Körpergewicht)

Experimentelle Designs:

• Manipulation unabhängiger Variablen,

• Messen abhängiger Variablen

• 50% der Kunden erhalten vor dem Kauf ein kleines Geschenk, die anderen nicht. Wer kauft mehr ein?

• T-Test, ANOVA

Korrelative Designs

• Untersuchung von Zusammenhängen zwischen Variablen

• Haben Bildung, Einkommen und Familienstand Einfluss auf den Konsum bestimmter Güter?

• Korrelationen, Regression

-> Aufklären von Unterschieden und Zusammenhängen

Unabhängige Variablen (UV)

• Prädiktoren, Independent Variables, Einflussgrößen, Exogene Variablen, Predictor

• Variablen, die einen Einfluss ausüben, manipuliert werden oder prädizieren

• Ausprägung der Kundenzufriedenheit

Abhängige Variablen (AV)

• Kriteriumsvariablen, Dependent Variables, Zielgrößen, Endogene Variablen, Outcome

• Variablen, auf die Einflüsse wirken und die aufgrund von Manipulation der UV variieren

• Umsatz des Kunden und Kaufverhalten

Unabhängige und abhängige Designs

• Zwischensubjekt-Designs (Between-Subject-Designs)

• Innersubjekt-Designs (Within-Subject-Designs)

• Untersuchung unabhängiger Gruppen (Autofahrer vs. Motorradfahrer)

• Untersuchung abhängiger Gruppen (Patient vor und nach der Behandlung)

• Systematische Variabilität -> Variabilität begründet sich aufgrund von gezielter Manipulation der UV, Nachweis von Kausalität.

• Unsystematische Variabilität-> Variabilität kann nicht erklärt werden und entsteht aus nicht erhobenen Einflüssen.

Systematischer und zufälliger Fehler

• Der systematische Fehler wird auch als “Bias” bezeichnet, der zufällige Fehler auch als “Error”.

• Bei Reliabilitätsstudien sprechen wir synonym von hoher Präzision (geringer zufälliger Fehler) und hoher Richtigkeit (geringer systematischer Fehler). Sind Präzision und Richtigkeit ausreichend ausgeprägt, so ist Genauigkeit gegeben (notwendige Bedingungen).

• Fragestellungen sollten ethisch vertretbar sowie exakt formuliert sein und wissenschaftlichen Nutzen bieten.

• Hypothesen müssen empirisch überprüfbar sein.

• Deskriptive und explorative Untersuchungen dienen zur Generierung von Hypothesen.

• Explanative Untersuchungen haben das Ziel, vorab formulierte Hypothesen zu prüfen.

Gerichtete Hypothesen

Es wird die konkrete Richtung der Einflüsse, Unterschiede oder Zusammenhänge formuliert.

Ungerichtete Hypothesen

Es wird keine Annahme über die Richtung getroffen.

• In unabhängigen Designs bedeutet Randomisation die zufällige Zuordnung zu Untersuchungsgruppen.

• In abhängigen Designs bedeutet Randomisation die zufällige Abfolge zu den Untersuchungsbedingungen.

• Konfundierende Variablen werden durch Randomisation neutralisiert und üben keinen systematischen Einfluss aus.

Verblindung

Einfach Untersuchungsobjekte

Doppelt Untersuchungsobjekte, Untersuchungsleiter

Dreifach Untersuchungsobjekte, Untersuchungsleiter, Statistischer Auswerter

Interne Validität Veränderungen der AV sind eindeutig auf die UV zurückzuführen.

Externe Validität Die Ergebnisse lassen sich auch auf die Population generalisieren.

Konstruktvalidität Das formulierte Konstrukt wird tatsächlich gemessen.

Kriteriumsvalidität Es gibt einen Zusammenhang zwischen Messinstrument und Zielgröße.

Inhaltsvalidität Das Konstrukt wird bestmöglich erfasst und operationalisiert.

• Felduntersuchungen finden im Gegensatz zu Laboruntersuchungen in natürlicher Umgebung statt.

• Experimentelle Untersuchungen arbeiten mit zufälligen, quasi-experimentelle mit natürlichen Gruppen.

• ➢95% der Stichproben-Mittelwerte liegen im Bereich von −1.96 x Standardfehler bis +1.96 x Standardfehler. (SE = Standard Error)

• ➢Gerichtete Hypothesen müssen 1-seitig getestet werden.

• ➢Ungerichtete Hypothesen müssen 2-seitig getestet werden

• ➢Die Alternativhypothese entspricht unserer Forschungshypothese, die Nullhypothese behauptet das komplementäre Ereignis.

• ➢Die Alternativhypothese wird mit H1, die Nullhypothese mit H0 bezeichnet.

• ➢Bevor getestet wird, muss die Irrtumswahrscheinlichkeit (α; Signifikanzniveau) festgelegt werden. Dieses liegt in der Regel bei 5%.

• ➢Ein signifikantes Ergebnis liegt vor, wenn der empirisch ermittelte p-Wert des Tests unter oder gleich dem vorab festgelegten Signifikanzniveau liegt (üblicherweise p ≤ .05).

• ➢Der p-Wert gibt an, wie wahrscheinlich das gefundene Ergebnis oder ein noch extremeres Ergebnis unter Annahme der Nullhypothese wäre.

• ➢Ein nicht signifikantes Ergebnis bedeutet nicht, dass die Nullhypothese wahr ist!

• ➢Nicht signifikante Ergebnisse sind genauso wichtig wie signifikante Ergebnisse!

• ➢Behalten wir die Nullhypothese bei, obwohl in Wahrheit die Alternativhypothese gilt, sobegehen wir einen β-Fehler oder Fehler 2. Art.

• ➢Ergebnisse statistischer Tests sind immer nur Aussagen über Wahrscheinlichkeiten, es gibt keine absolute Sicherheit!

• ➢Lehnen wir die Nullhypothese ab und nehmen die Alternativhypothese an, obwohl in Wahrheit die Nullhypothese gilt, so entspricht dies einem α-Fehler oder Fehler 1. Art.

• ➢Mit wachsendem Stichprobenumfang werden Standardfehler und p-Wert immer kleiner.

• ➢Ein statistisch signifikantes Ergebnis sagt noch nichts über die praktische oder klinische Relevanz des gefundenen Effektes aus!

• ➢Die Teststärke (1 − β) ist die Wahrscheinlichkeit, eine in der Population gültige H1 durch den eingesetzten statistischen Test tatsächlich zu bestätigen.

• ➢Die Teststärke hängt von der Effektstärke, α und N ab. Alle 4 Größen beeinflussen sich gegenseitig. Sind drei davon bekannt, lässt sich die vierte Größe berechnen.

• höherem α-Niveau

• größerer Effektstärke

• wachsendem Stichprobenumfang

• geringerem α-Niveau

• geringerer Effektstärke

• geringerem Stichprobenumfang

• ➢A priori Analyse: Aus geplanter Teststärke, Signifikanzniveau und Effektstärke wird der optimale Stichprobenumfang berechnet.

• ➢Post hoc Analyse: Aus dem Signifikanzniveau, der Effektstärke und dem Stichprobenumfang wird die tatsächliche Teststärke berechnet.

1. Welche Bedeutung hat der Standardfehler?

2. Wie können wir Konfidenzintervalle berechnen?

3. Was ist ein Signifikanztest?

4. Was sind Parameter?

5. Wie schätzen wir Parameter?

• ➢ Der Mittelwert der Population wird durch den Stichprobenmittelwert geschätzt.

• ➢Parameter werden mit griechischen, Schätzer hingegen mit lateinischen Buchstaben gekennzeichnet.

Die Parameter b0, b1, …, bn werden so geschätzt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen des Fehlerterms minimal wird. Dies nennt man Kleinst-Quadrate-Methode (KQ) oder Ordinary Least Squares (OLS).

• ➢Die abhängige Variable muss metrisch sein und sollte nicht zu schief verteilt sein oder Ausreißerwerte enthalten. Liegt eine stark abweichende Verteilung vor oder ist die AV nicht metrisch, so können Transformationen helfen oder der Einsatz eines verallgemeinerten linearen Modells (Generalized Linear Model).

• ➢Die unabhängigen Variablen können metrisch oder kategorial sein, also beliebiges Skalenniveau aufweisen. Haben kategoriale Variablen mehr als 2 Ausprägungen, müssen diese vorab dummy-codiert (dichotomisiert) werden.

• ➢Alle unabhängigen Variablen müssen Varianz aufweisen (s² > 0)

• ➢Die UVs und die AV sollten in der Realität linear miteinander verknüpft sein.

• ➢Alle Fälle (Beobachtungen, Personen, …) müssen voneinander unabhängig sein.

Ausreißer haben einen starken Einfluss auf die geschätzte Regressionsgerade und das Modell!

Einflussreiche Fälle können durch die Hebelwirkung ebenso die Regressionsgerade und die Modellparameter beeinflussen und so „vom Weg abbringen“.

Lösungen, um Bias zu entdecken:

• ➢Visuelle Prüfung: Histogramme, Box-Plots (univariat) und Streudiagramme (bivariat): Sind alle Werte plausibel?

• ➢Berechnung der standardisierten Residuen (M = 0; SD = 1). 95 % der Werte sollten im Bereich −2 bis +2 liegen. Werte < −3 oder > +3 sind höchstwahrscheinlich Ausreißer.

• ➢Berechnen von Distanzmaßen (z. B. Cook‘s Distance). Sie misst, wie einflussreich ein Fall auf das Modell wirkt. Fälle >1 sollten genauer untersucht werden.

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• ➢Trimming: Daten „beschneiden“ und somit Ausreißerwerte ausschließen → muss Ausnahme bleiben!

• ➢Einsatz robuster Methoden, die Parameter und Standardfehler verlässlich schätzen können, z. B. via Bootstrapping.

• ➢Transforming: Bessere Verteilung durch eine mathematische Transformation erzeugen (z. B. Logarithmieren linksschiefer Verteilungen).

1) Additivität und Linearität

2) Unkorrelierte Residuen

3) Varianzhomogene Residuen (Homoskedastizität)

4) Normalverteilte Residuen

5) Keine zu starke Multikollinearität (nur relevant wenn Anzahl UVs >1)

• ➢Additivität: Die einzelnen Effekte addieren sich.

• ➢Linearität: Jede einzelne UV ist linear mit der AV verknüpft. Das Modell ist linear in seinen Parametern.

Unkorrelierte Residuen

➢ Die Voraussetzung ergibt sich aus dem Versuchsdesign bzw. der Datenerhebung. Kein Fall darf mit anderen Fällen zusammenhängen.

Varianzhomogene Residuen (Homoskedastizität)

• ➢Die Residuen ei sollten über alle Werte der UV gleichmäßig streuen (homogene Varianzen haben).

Normalverteilte Residuen

• ➢Die Residuen ei sollten annähernd normalverteilt sein.

• ➢Die UVs dürfen untereinander nicht zu stark korrelieren. Prüfen der Voraussetzungen in SPSS:

• ➢Anfordern der Kollinearitätsdiagnose im Untermenü „Statistiken“, anschließend Beurteilung des VIF (Variance Inflation Factor). Der VIF sollte für alle UVs < 10 sein.

Korrelationen sind für kausale Beziehungen notwendige Bedingung, aber keine hinreichende.

• ➢Die Höhe der Kovarianz hängt von der Einheit der Variablen ab.

• ➢Um Zusammenhänge zu quantifizieren, müssen die Kovarianzen standardisiert werden.

• ➢Die Pearson-Korrelation teilt die gemeinsame Kovarianz durch das Produkt der einzelnen Standardabweichungen. Die Kovarianz wird somit an den Streuungen der beiden Variablen „relativiert“.

• Der Wertebereich reicht von −1 bis +1 und entspricht einem Kontinuum.

• ➢Positive Zusammenhänge zeigen sich durch Werte > 0, negative Zusammenhänge durch Werte < 0.

• ➢Ist der Wert = 0 oder nahe 0 so besteht statistisch kein Zusammenhang zwischen den Variablen.

• ➢Sind die Voraussetzungen der parametrischen Korrelation nicht erfüllt oder die Zusammenhänge non-linear, so muss eine non-parametrische Korrelation eingesetzt werden, z. B. Spearman‘s ρ (=rs) oder Kendall‘s τ

• ➢Wird der Zusammenhang metrischer Variablen untersucht und gibt es eine lineare Beziehung zwischen den Variablen, so wird die Pearson-Korrelation r eingesetzt.

• ➢Für die Überprüfung von Zusammenhängen mit Beteiligung nominaler Variablen werden spezielle Korrelationskoeffizienten berechnet.

• ➢Für Korrelationskoeffizienten können Standardfehler, Konfidenzintervalle und Signifikanz berechnet werden.

Spearman‘s ρ

Kendall t

• Konvertiert Original-Messwerte in Ränge

• Berücksichtigt die Differenzen der Ränge

• Berechnet mit den Differenzen Pearson’s r

• Erkennt nur monotone Zusammenhänge

• Konvertiert Original-Messwerte in Ränge

• Berücksichtigt nur Unterschiede zwischen Rängen

• Berechnet die (Dis)-Konkordanzen der Rangpaare

• Erkennt nur monotone Zusammenhänge

1. Modellformulierung

2. Schätzung der Regressionsfunktion

3. Prüfung der Regressionsfunktion

4. Prüfung der Regressionskoeffizienten

5. Prüfung der Modellprämissen

Wir starten mit der einfachen linearen Regression (1 UV).

Grafische Prüfung des Zusammenhangs zwischen UV und AV

Umgangssprachlich: Was können wir ohne Berechnung des Regressionsmodells schon anhand der Streudiagramme ablesen?

• ➢Die Schätzung der Regressionskoeffizienten erfolgt mittels KQ-Methode (= OLS). Das ist händisch theoretisch möglich, wir verwenden dazu SPSS.

• ➢ Kennen wir den Wert der UV (Werbung, X), so können wir den geschätzten Wert der AV (Geschätzter Absatz, Ŷ) berechnen und anschließend das Residuum (Differenz zum tatsächlichen Absatz, Y)