4. Standardisierung und Konzentrationsmaße

Für derartige glockenförmige Häufigkeitsverteilungen gibt die sogenannte 68-95-99.7-Regel ungefähre Prozentsätze von Daten innerhalb von ein, zwei und drei Standardabweichungen vom Mittelwert an.

Abbildung:

Beispiel: IQ-Scores Mittelwert = 100, SD = 15

Es gilt:

- etwa 68 % der IQ-Werte liegen zwischen 85 und 115 (= eine Standardabweichung unter und über dem Mittelwert von 100)

- etwa 95 % der IQ-Werte liegen zwischen 70 und 130 (= zwei Standardabweichungen vom Mittelwert)

Abbildung:

—> Verteilung der Klausurpunkte in den beiden Semestern

Anstelle der absoluten Punktzahl betrachten wir die Leistung relativ zum Durchschnitt und in Standardabweichungen:

Abbildung:

Zum Beispiel:

z = 2 heißt, dass eine Beobachtung 2 Standardabweichungen oberhalb des Mittelwerts der Daten entfernt liegt.

z= -1,5 bedeutet, dass eine Beobachtung 1,5 Standardabweichung unterhalb des Mittelwerts liegt

—> z-Standardisierung macht Werte über unterschiedliche Verteilungen hinweg vergleichbar (verglichen wird die relative Position in einer normierten Verteilung)

Abbildungen:

• Jeder Wert xi einer Variablen X kann standardisiert werden. Diese Werte zi bilden die Werte einer 'neuen', standardisierten Variable Z.

• Rechne Ausgangswerte xi in standardisierte zi-Werte um

Mittekwert = 0, Standardabweichung = 1

Formel Abbildung:

• Die z-Werte zeigen an, wie viele z Standardabweichungen die Beobachtung ober-/ unterhalb des Mittelwerts der Daten entfernt liegt.

• Die daraus resultierende standardisierte Variable Z besitzt stets den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1

Bei positiven Werten über dem Durchschnitt und bei negativen Werten unter dem Durchschnitt

Normalverteilung:

• Glockenförmig, unimodal-symmetrisch

• Abhängig vom Mittelwert und der Varianz (Standardabweichung)

Standardnormalverteilung:

• Jeder Wert der Variablen X kann standardisiert werden (z-Standardisiserung)

• neue Werte bilden die Werte euner neuen Variable Z

• Diese Variable besitzt stes den Mittelwert 0 & die Standardabweichung 1

• Bessere Vergleichbarkeit

Abbildung:

• 73 wir zu einem z-Wert von -1,346

d.h. der Wert liegt 1.3 Standardabweichungen unterhalb des Mittelwerts

• Das einfachste Konzentrationsmaß ist das Dezilverhältnis (auch Dezil-Ratio)

• Zum Beispiel: 90/10-Dezilverhältnis Verhältnis zwischen dem ersten und dem neunten Dezil einer Verteilung

Abbildung:

• Alternativ: 90/50-Dezilverhältnis

Verhältnis des Vermögens "reicher“ Personen im Verhältnis zur Mitte der Vermögensverteilung

Abbildung:

Abbildung:

Abbildungen:

1 = Ungleichverteilung

0 = Gleichverteilung

• Die Lorenzkurve erlaubt Aussagen der Art „x Prozent der Merkmalsträger teilen sich y Prozent der Merkmalssumme“. Es handelt sich dabei also um ein Maß der relativen Konzentration.

Beispiel: Die reichsten 10 Prozent aller volljährigen Personen verfügten im Jahr 2007 über 61,1 Prozent des gesamten Vermögens.

(Quelle: DIW-Wochenbericht 4/2009)

• Wenn man Aussagen für einzelne Merkmalsträger formulieren möchte („n Merkmals- träger sind für y Prozent der Merkmalssumme verantwortlich“) braucht man Maße der absoluten Konzentration

Beispiel: 804.000 Einkommensteuerpflichtigen mit dem Einkommensteuer-Höchstsatz im Jahr 2003 trugen 29,6 Prozent des gesamten Einkommensteueraufkommens. (Quelle: BMF. Datensammlung zur Steuerpolitik. 2003)

Abbildung:

Für derartige glockenförmige Häufigkeitsverteilungen gibt die sogenannte 68-95-99.7-Regel ungefähre Prozentsätze von Daten innerhalb von ein, zwei und drei Standardabweichungen vom Mittelwert an.

Abbildung

Abbildung: