Was ist Geometrie?
Wissenschaft von den Formen und ihren Eigenschaften, von Mustern & Strukturen
Nenne Gründe für den Geometrieunterricht an der GS
Förderung elementarer geistiger Kompetenzen
Erschließung der Umwelt
Unterstützung beim Erwerb arithmetischer Konzepte
Entdeckendes Lernen
Positive Einstellung zum Fach Mathe
Förderung allgemeiner mathematischer Kompetenzen (prozessbezogene Kompetenzen)
Gründe gegen Geometrieunterricht in der GS
Dominanz der Arithmetik
Vorbereitungsaufwand
Fachliche Unsicherheit
Methodische Unsicherheit
Fehlende Kohärenz
Leitideen “Raum & Form”
Was versteht man unter “räumlichen Vorstellungsvermögen?”
Operieren mit Bildern im Kopf
Fähigkeit, in der Vorstellung zu sehen und zu denken
Voraussetzungen für die räumliche Vorstellung
Intakte visuelle Wahrnehmung
Intakte visuelle Speicherung
Was gehört alles zur intakten visuellen Wahrnehmung?
Figur-Grund-Prinzip
Visuomotorsiche Koordination
Wahrnehmungskonstanz
Wahrnehmung räumlicher Beziehungen & Raumlage
Fähigkeit, charakteristische Merkmale eines nicht präsenten Objektes vorstellungsgemäß auf andere, präsente Objekte zu beziehen
Bsp.: “Bring mir mal einen Ball.” -> Objekt = Ball
Wege zur Einführung geometrischer Begriffe in der GS
Begriffserwerb durch Spezifizieren aus einem Oberbegriff
Begriffserwerb durch Abstrahieren
A) Klassenbildung nach bestimmten Merkmalen
B) Klassenbildung durch Beispiel & Gegenbeispiel
Konstruktiver Begriffserwerb
A) Handlungswissen
B) Sachwissen
Entwicklung geometrischen Denkens - 5 Stufemodell von Hiele
Räumlich-anschauungsgebundenes Denken
Analysierend-beschreibendes Denken
Abstrahierend-relationales Denken
relevant
Schlussfolgerndes Denken
Strenges abstrakt-metamathematisches Denken
nicht relevant (werden nicht thematisiert)
Was geschieht auf Stufe 0?
räumlich anschauungsgebundenes Denken
Geomet. Objekte werden in Ganzheit erfasst
NICHT in Bestandteile, Eigenschaften [z.B. kann sagen ist Kugel, aber nicht es hat keine Kanten, usw.]
Zuordnung durch Ähnlichkeit mit bereits Gesehenem
Was geschieht auf Stufe 1?
analysierend-beschreibendes Denken
Geomet. Objekte können in Bezug geomet. Eigenschaften untersucht werden + Evtl. begründete Klassifizierung
das ist ein Quadrat, weil ...
Klasseninklusion: zwischen Figuren & Objekten
zwischen Rechteck & Quadrat, Würfel & Quader → jeder Würfel ist ein Quader [auch: Haus der Vierecke]
Was geschieht auf Stufe 2?
abstrahierend-relationales Denken
Feststellung von Beziehung zwischen Eigenschaften einer Figur & deren verwandter Figuren + Erkenntnis in Begründungen einbeziehen
Klassifikation & Klasseninklusion
ein Quadrat ist ein Rechteck, weil ...
Argumente können abgeleitet werden + logische Schlüsse
Was versteht man unter der Kopfgeometrie und was sind ihre Ziele?
=> umfasst alle mündlich - im Kopf - zu lösenden geometrischen Aufgaben, die das visuelle Wahrnehmungs- & das räumliche Vorstellungsvermögen schulen
Ziele:
-> Weiterentwicklung intellektueller Fähigkeiten
-> Wiederholung geometrischen Wissens
-> Verbesserung sprachlicher Kompetenzen
Phasen beim Bearbeiten kopfgeometrischer Aufgaben (Senftleben)
Aufgabentypen beim Bearbeiten kopfgeometrischer Aufgaben (Senftleben)
-> Hilfsmittel?
reine Kopfgeometrie: keine Hilfsmittel in Phasen 1-3
Kopfgeometrie mit Hilfsmittel in Phase 1
Kopfgeometrie mit Hilfsmittel in Phase 3
Kopfgeometrie mit Hilfsmittel in Phase 1 & 3
Kopfrechnen vs. Kopfgeometrie
Kopfrechnen: Automatisierung steht im Mittelpunkt
Faktenwissen über Größen [1m = 100cm]
Faktenwissen über geomet. Figuren [Würfel hat 8 Ecken]
Kopfgeometrie: Lösungsprozess steht im Mittelpunkt
Komplexe Arithmetische Sachprobleme (logisch-kombinatorisches Denken) [z.B. Kugeln in Urne, …]
Die Geometrie wird bei SuS mit einer Beeinträchtigung leider oft vernachlässigt.
Warum sollte Geometrie gerade bei SuS mit Beeinträchtigung verstärkt behandelt werden?
-> Vorteile
viel Spielraum für inklusiven Unterricht
Meist hohe Motivation bei den SuS
Die Entwicklung des Geometriewissens verläuft bei Kindern mit einer Behinderung regulär, jedoch…
Lernvoraussetzungen & Vorerfahrungen unterscheiden sich
SuS profitieren besonders von Handlungsorientierung & Lebensweltbezug
SuS stoßen auf individuelle Barrieren
Inwiefern spielt die Geometrie in GEnt eine Rolle?
SuS brauchen mehr Zeit & Entwicklung verläuft individuell
Schnittstelle zur Arithmetik
Geometrische Kenntnisse spielen in vielen Berufsfeldern eine wichtige Rolle
Motivation
Balance halten zw. beiden Gehirnhälften
Geometrische Vorstellungen fördern geistige Entwicklung
Was muss man berücksichtigen im Geometrieunterricht in Bezug auf GEnt SuS?
Sprache / UK
eher passives Lernverhalten
Kurze Konzentrationsphasen
Kurze Aufmerksamkeitsspanne
Vorläuferfertigkeiten
Nenne die einzelnen Schritte zur Datenerhebnung
Fragen stellen / Hypothesen bilden
Datenerhebung planen
Datenerhebung durchführen
Daten aufbereiten & darstellen
Interpretationen & zusammenfassende Aussagen ableiten
Nenne die verschiedenen Verfahren zur Notierung & Darstellung der Datenerhebung
Urliste
Strichliste
Tabelle
Piktogramm
Stabdiagramm
Balkendiagramm
Säulendiagramm
Kreisdiagramm
Verschiedene Aufgabentypen, um Daten zu berechnen
Produktregel
Variation (mit beachten der Reihenfolge / geordnete Stichprobe)
Kombination (ohne Beachten der Reihenfolge / ungeordnete Stichprobe)
Mit Zurücklegen / Wiederholung
Ohne Zurücklegen / Wiederholung
mit & ohne gibt es für Variation & Kombination
Nenne die Didaktische Stufenfolge
am Beispiel von Größen
Erfahrungen sammeln in Sach- & Spielsituationen
Direktes Vergleichen von Repräsentanten einer Größe
Indirekter Vergleich mit Hilfe von selbst gewählten Maßeinheiten
Indirekter Vergleich mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten
Abstrahieren von Größenbegriffen; Stützpunktvorstellungen
Erweitern des Messbereichs; Umrechnen in benachbarte Einheiten
Rechnen mit Größen
Nenne verschiedene authentische Zugänge um Größenvorstellung zu bekommen
Paralleler Einsatz konventioneller [standardisierten - z.B. Meter, cm] & willkürlicher [nicht-standardisierten - z.B. Ellenbogen] Maßeinheiten unter Einbeziehung Vorwissen der SuS bezüglich konventioneller Maßeinheiten & Messinstrumente
zu Größenangaben passende Repräsentanten finden [Tafel Schokolade = 100g , Mehlpackung = 1kg]
Thematisierung alltagstauglicher Stützpunktvorstellungen
beim Schätzen, Problemlösen, im Alltag flexibel nutzen [nachvollziehbare Dinge]
Schätzen vs. Raten
Schätzen:
-> ermitteln ungefährer Größenangabe durch gedankliches Vergleichen mit eingeprägten Repräsentanten als Stützpunkten
Raten:
-> willkürlichen Wert nennen
Welche Funktionen hat das Sachrechnen?
Sachrechnen als:
Lernstoff
Aufbau von Wissen über Größen + Fertigkeit im Umgang mit Größen
Lernprinzip
Bezüge zur Realität für Lernen mathematischer Begriffe & Verfahren
Lernziel/ Beitrag zur Umwelterschließung
Entwicklung klarer, bewusster, kritischer Sichtweisen auf umweltliche Situationen durch mathematisches Modellieren
Wie können Sachaufgaben kategorisiert werden?
nach
beschriebener Situation
mathematischem Inhalt
Präsentationsform
Kategorisierung von Sachaufgaben:
Beschreibe die Kategorisierung nach beschriebener Situation näher
Aufteilung in:
Sachaufgaben mit Alltagsbezug [direkter Alltagsbezug = Besuch im Zoo | indirekter AB = Zugvögel]
Sachaufgaben ohne Alltagsbezug [z.B. Schneewittchen (Märchen)]
Beschreibe die Kategorisierung nach mathematischem Inhalt näher
mit arithmetischem [Rechnen] Inhalt [Aufgaben zu den 4 Grundrechenarten (+ - : x)]
mit geometrischem Inhalt [vergrößern, verkleinern, Weg beschreiben, Symmetrie, Maßstab]
funktionale Zusammenhängen [proportionale Zusammenhänge, Preise, Gewicht]
situationsadäquaten [angemessener] Umgang mit Größen [Größenvorstellungen, Umgang mit Größen]
stochastischer Inhalt [Daten erfassen & darstellen, Gewinnchancen einschätzen]
Beschreibe die Kategorisierung nach der Präsentationsform näher
Echtsituationen: reale Phänomene & Projekte [wie viele Tische, … Kuchenverkauf → wie viel Geld, …]
Authentische Mathematisierungen: authentische Materialien [Vorerfahrungen der SuS → Fahrpläne, …]
Bilder: Bilderfolgen, Bilderbücher,…
Texte: Sachtexte, Textaufgaben
Nenne ein paar Schwierigkeitsvariablen um Sachaufgaben zu differenzieren
Erfahrungen / Vertrautheit mit Situation [SuS müssen mit Situation vertraut sein sonst können sie die Aufgabe nicht lösen]
Bekanntheit der Begriffe & Formulierungen [z.B. morgen, übermorgen, …]
Verwendung irrelevanter quantitativer Angaben [Zahlen die man für Lösung der Aufgabe nicht braucht] (z.B. Elternabend findet am 13. Juni um 19 Uhr statt (dann Anzahl der Tische berechnen))
direkte / indirekte Angaben der notwendigen Daten [indirekt: Anzahl SuS die ins Museum gehen]
Komplexität des Textes [Fremdwörter, Sachtexte, …]
im Text enthaltene Schlüsselwörter [führen in andere Richtung als gedacht (z.B. Vögel fliegen weg = Minusaufgabe, denkt man nicht automatisch)]
Art und Anzahl der Lösungsschritte
Rechenaufwand
Größe der Zahlen
Maßumwandlungen
Welche verschiedenen (Kategorien der) Bearbeitungshilfen für das Sachrechnen gibt es?
Genauere Erklärungen in ZSM
Textverständnis
Modellbildung
Berechnung
Interpretation
Plausibilitätsprüfung
Was ist eine Fermi-Aufgabe?
komplexe Probleme mit unzureichenden numerischen Infos
Ziel: ungefähre Größenordnung [z.B. eher 20 000 oder 200 000]
Eigene Datenfindung erforderlich
Problemaufgabe / Sachaufgabe
Was sind Größen
Eigenschaften, die in Zahlen angegeben werden können
Zahlen sind Größen
Was ist eine Schwierigkeit mit Längen
Größen sind Abstrakt → daher sollen SuS durch eigenes Handeln eine Vorstellung von Größenangaben bekommen
Zwischen welchen Zeitangaben (nicht Einheit) wird unterschieden?
Zeitspanne
Messung mit Stoppuhr (2 Zeitpunkte, wie viel Zeit dazwischen)
Zeitpunkt
Welche Schwierigkeiten gibt es bei der Zeit?
Einheitensystem ist unregelmäßig [1 Tag = 24h, 1 min = 60 sek]
Messungen lassen sich nicht wiederholen (Kann nicht sagen, renn nochmal die Strecke → Unterschiede)
Ablesen der Zeit (Uhr) ist Herausforderung [2 / 3 Zeiger + Uhr hat 12h, Tag aber 24h + Brüche]
Was sind die Schwierigkeiten bei Geld?
Bei Unterscheidung zwischen Anzahl & Wert
Kein großes Vorwissen aus Alltag vorhanden [nach Corona noch schlechter, da EC-Kartenzahlung]
Was sind die Schwierigkeiten bei der Masse
Nicht visuell wahrnehmbar [muss angehoben werden]
Nur relativ kleines Spektrum kann direkt durch Anheben wahrgenommen werden (100g oder 5kg)
Was ist schätzen?
Ermitteln einer ungefähren Größenangabe durch gedankliches Vergleichen mit eingeprägten Repräsentanten (als Stützpunkte)
Gedanklicher Vergleich greift auf versch. Kenntnisse & Erfahrungen zurück
Definiere ein Bandorament
unendlich lang fortsetzbares periodisches Ornament (Muster) was von 2 parallelen Geraden eingeschlossen ist
Entsteht indem ein Grundmuster beliebig oft entlang beider Geraden verschoben wird
Was ist ein Motiv?
Grundmuster kann aus einem Motiv erzeugt werde
Motive = kleinste Zellen
Motiv selbst ist nicht punktsymmetrisch / symmetrisch zu einer Achse
Nenne die 7 möglichen Typen des Bandoraments
Definiere Parkettierungen
periodische, lückenlose überlappungsfreie Bedeckungen der gesamten Ebene
Periodisch = 1 Ausgangsfigur + Verschiebung anhand 2 nicht parallelen Geraden
Ausgangsfigur besteht aus einem/ mehreren Parkettsteinen
was ist eine einfache Parkettierung?
wie nennt man eine spezifische Form davon
aus einer Sorte Parkettsteine
spezielle Form = platonische Parkettierung
was ist eine Platonische Parkettierung?
einfache Parkettierung + Sonderform
Besteht aus 1 Sorte regelmäßiger n-Ecken
Jede Seite eines Vielecks muss Seite eines anderen Vielecks sein [nirgends trifft Seite auf Kante]
wie viele Platonische Parkettierungen gibt es?
warum?
Gibt 3 Stück: 3eck [Innenwinkel 60°], 4eck [Innenwinkel 90°], 6eck [Innenwinkel 120°]
Innenwinkel treffen an selber Stelle zusammen → 360° (muss Vielfaches der Innenwinkel sein)
Zwischen welchen 2 Arten der Parkettierung wird unterschieden?
Einfache Parkettierungen
Archimedische Parkettierungen
Was ist eine archimentrische Parkettierung?
3 Bedinungen müssen erfüllt sein:
Besteht aus mehr als 1 Sorte regelmäßiger n-Ecken + alle Seiten sind gleich lang
Keine Ecke trifft auf eine Seite
Alle Parkettierungen vom gleichen Typ → in jeder Ecke gleiche Konstellation zusammentreffender Vielecke
Welche Komponenten werden in welcher Reihenfolge bei der Entwicklung des räumlichen Denkens entwickelt?
Erst
topologische Beziehungen
später dann
projektive Beziehungen
euklidische Beziehungen
Beschreibe die topologischen, euklidischen, projektiven Beziehungen näher
topologisch
etwas liegt innen / außen, ist (z.B. ein Kreis) offen / geschlossen
projektiv
Perspektiven werden miteinbezogen [horizontale, vertikale]
euklidisch
Erkennen & darstellen von geometrischen Formen
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