Einfaktorielle ANOVA

-> die Varaianzanalyse (ANOVA) prüft ob statistosch signifikante Unterschiede zwischen mehr als 2 Gruppen vorliegen

(t-Test erweitert auf mehr als 2 UVs)

-> durch AV will man wissen, welche durchschnittlichen Ergebnisse bei (z.B. unterschl. Lernmethoden) erzeilt werden

-> Intresse an mittelwert

Voraussetzung:

• muss intervallskaliert sein

• die Werte der AV sollen innerhalb der jeweiligen Gruppe normalverteilt sein (betrifft theoretisch die Population der Gruppe, steht nicht zur verfügung, deshalb Evaluierung der Gruppe)

(auch Gruppenvariable)

-> dient Unterschiede und/ oder Zusammenhänge zwischen den jeweiligen Stufen der Variable zu analysieren

-> Fakrtoreb mit mehr als 2 Stufen

Wenn für jede Faktorstufe eines enfaktoriellen Versuchsplans die gleiche Anzahl von Beobachtungen erhoben wird.

Multriples Testen = Durchführen von zusammenhängenden Hypothesentests

Man testet folgende Hypothesen:

Globalhypothese (alle Mittelwerte sind gleich):

Beim Testen einer Hypothese gehen wir davon aus, dass die H0 richtig ist.

-> Auch genannt: family-wise-error-rate oder experiment-

wise-error-rate

= Üblicherweise wird α auf 5% gesetzt, bedeutet 5%ige Chance die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen (Fehler 1. Art). Wenn mehrere Tests durchgeführt werden, steigt das Risko diesen Fehler zu begehen (bei m = 3tests fast um das 3- fache)

• Bonferroni-Korrektur

• Formel:

  α’ = α/m

-> Korrektur fällt eher konservativ (streng) aus

-> multiples Testen

-> Alternative:

• H0 besagt, dass alle Mittelwerteder strufen des Gruppenfaktors gleich sind

• H1v besagt, dass mind ein Mittelwert der 3 Gruppen nicht gleich den anderen Mittelwerten ist

• testen ob generell ein Unterschied zischen Mittelwerten der Stufen eines Faktors vorliegt

• lieftert signifikantes Ergebnis genau dann, wenn mindestens ein Mittelwert statistischbedeutsam von den anderen abweicht

• gibt keine Auskunft welche Mittelwerte sich voneinander unterscheiden

Analysis of Variance

-> Omnibustest

-> Da generell auf Unterschied getestet wird (keine Auskunft

welche Mittelwerte sich unterscheiden)

H0: M̅1 = M̅2 = M̅3

H1: M̅i ≠ M̅j mit i≠j

1. Unterschiedliche Treatmentsnwirken sich auf Mittelwert der jeweiligen Gruppe aus

2. Verteilung der abhängigen Variablen in jeder Gruppe folgt einer Normalverteilung

3. Varianz innerhalb der Gruppen sind gleich

4. alle Beobachtungen (Mesungen) unabhängig voneinander

• Wenn unterschl. Lernmethoden keine Wirkung zeigen, unterscheiden sie sich auch nicht von herkömmlicher Lehrmethode

• Ändert sich Leistung untersch. Lehr methoden nicht, dann sind unterschl. hohe Mittelwerte bedingt durch zufällige Stichprobenzusammensetzung unterschiedlicher Personen

• Wirkt Lehrmethode, sollten Gruppen versch. Populationen angehöhren -> die auf grund unterschl Lehrmethoden entstsnden sind

man vermutet das die Lernemthode (Treatment) Auswirkung auf die Leistung hat

Personen innerhalb einer Gruppe erzielen nicht alle denselben Messwert.

Die Varianz innerhalb der Gruppen

• Treatmenteffekt

• Fehlervarianz

-> total sum of squares (SSToT)

-> geht auf Unterschiede zwischen und innerhalb der Gruppe zurück

-> Quadratsumme zwischen

-> Einzelne Messwerte ausschließlich von verschiedenen Instruktionen beeinflusst, Messwerte innerhalb der Gruppen dürfen sich nicht unterscheiden

-> Quadratsumme innerhalb

-> Restliche varianz die nicht durch Treatment erklärt werden kann, wenn Personen die denseleben Test ausgeführt haben in ihren Testwerten unterscheiden

-> wenn man Quadratsumme durch Freiheitsgrade dividiert

-> Enstpricht der bekannten Varianzschätzung

-> Verhältnis der Treatmentvarianz zu Fehlervarianz

-> Je größer der F-Wert desto stärker der Effekt des Treatments

-> In Abhängigkeit von den Freiheitsgraden, ein Treatmenteffekt ab ca. einem F-Wert von 4 (der unter Annahme H0 nur selten zu beobachten ist)

-> signifikanter Effekt des Treatment Faktors

= Verhältnis der Treatmentquadratsumme zur Totalen Quadratsumme -> entspricht der Varianzaufklärung

-> Würden die Unterschiede in den Mittelwerten sehr hoch sein, wäre auch die Totale Quadratsumme hoch

-> Im Extremfall: Daten genauso hoch wie gesamte Variabilität also QSTotal

-> verwendet “nur” die Quadratsumme der Stichprobe -> überschätzt somit den Effekt der Population

-> Alternative:

• w^2

• passt durh Korrektur die Schätzung an die Population an

-> bezieht sich auf die Varianzaufklärung eines Faktors

-> für einfaktorielle ANOVA ohne Messwiederholungen sind η^2 & η^2part gleich

.10 - klein

.25 - mittel

.40 - groß

1. Uabhängigkeit der Fehlerkomponenten zwischen den Stichproben

2. Normalverteilung der Daten innerhslb der jeweiligen Gruppe

3. Homogenität der Varianz zwischen den Gruppen

Außerdem:

-> ca. gleich große Gruppengrößen

-> ähnliche Streuung zwischen den Gruppen

Ja

= Beeinflussung eines Messwerts durch Fehlereffekte, muss unabhängig, von der Störvaraiblenbeeinflussung anderer Messwerte sein

Gegeben wenn:

• Untersuchungseinheiten wurden Treatmentstufen zufällig zugeordnet

• Wenn unter Treatmentstufen verschiedene Stichproben untersucht werden

Kolmogorow-Smirnow-Test

Allternativen:

• Lillifors-Test

• Shapiro-WilL-Test

• Anderson-Darling-Test

-> Test zur Prüfung der Normalverteilung innerhalb von Gruppen

= Ob eine Zufallsvariable einer zuvor angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt

Schwäche:

• allgemein geringe Teststärke

• Vor allem bei kleinen Stichproben entscheidet er meist zugunsten der H0 (daten sind Normalverteilt) & bei großen Stichproben gegen die H0

• Kennwete der deskriptiven Satistik (Schiefe, Kurtosis, Median, Mittelwert etc.)

• graphische Analyse (Histogramm, Q-Q-Plot, Box-Plot)

-> Transformation der Date bieten in vielen Fällen die Möglichkeit, die Voraussetzungen der Normalverteilung zu erfüllen

= Fehlerkomponente in versch. Treatmentbedingungen dürfen keine systematischen Größenunterschiede zeigen

-> Verletzt wenn: Störgrößen einer Treatmentbedingung überdurchschnittlich klein oder groß, denn Varaianzheterogenität, entsteht häufig nicht zufällig, sondern als Folge Treatmentbedingung

-> Levene Test

-> einfache ANOVA, welche die absolute Differenz der Messwerte zum jeweiligen Mittelwert dee Gruppe analysiert

-> Signifikantes Ergebnis weist auf eine Heterogenität der Varianz zwischen den Gruppen hin

• Brown-Forsythe F

• Welch’s F

(beide Verfahren kontrollieren Fehler 1.Art WelchbProzedur bessere Teststärke, sofern keine extremen Mittelwerte mit großer Varianz vorliegen)

• Abhängige Fehlerkomponenten ko ̈ nnen den F -Test hinsichtlich des Fehlers 1. Art und des Fehlers 2. Art entscheidend beeinflussen.

• Abweichungen von der Normalität sind zu vernachlässigen, wenn die Populationsverteilungen schief sind. Bei extrem schmalgipfligen Verteilungen neigt der F-Test zu konservativen Entscheidungen. Bei breitgipfeligen Verteilungen ist die tatsa ̈chliche Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art etwas ho ̈her als das nominelle α.

• Heterogene Varianzen beeinflussen den F-Test nur unerheblich, wenn die untersuchten Stichproben gleich groß sind.

• Bei ungleich großen Stichproben und heterogenen Varianzen ist die Gu ̈ltigkeit des F-Tests vor allem bei kleineren Stichprobenumfa ̈ ngen erheblich gefa ̈ hrdet

Beim Vergleich der unterschiedlichen Lehrmethoden wurde im Abschlusstest bei der Methode 1 ein durchschnittliches Ergebnis von M̅1 = 68.79, sd1 = 3.09, bei Methode 2

M̅2 = 65.08, sd2 = 3.28 und bei Methode 3 M̅3 = 78.90, sd3 = 3.61 erreicht.

Die Lehrmethoden unterscheiden sich signifikant, F (2,357) = 1287.51, p < .001, η2 = .88.

-> Führt einfaktorielle Varianzanalyse zu signifikantem F-Wert, können wir daraus schließen, dass sich die p Mittelwerte in irgendeiner Weise signifikant unterscheiden

Möglichkeiten zum Herausfinden, welche Mitelwerte sich unterscheiden:

• Kontraste -> hypothesengeleitetes Vorgehen

• Post-hoc-Test -> exploratives Vorgehen

=> Einzelvergleiche sind paarweise Vergleiche zwischen den Treatmentstufen. Dadurch findet man raus welche einzelnen Treatmentstufen signifikante Unterschiede aufweisen

Kontraste (D) werden übere eine Gewichtung der Mittelwerte der jeweiligen Faktorstufen definiert.

• Will man Stufe in paarweise Vergleich einschließen wählt man Gewicht ≠ 0

• Will man eine Stufe aus einem paarweise Vergleich ausschließen, wählt man Gewicht = 0

• Will man Stufe mit mehreren anderen Stufen vergleichen, fasst man die letzteren durch geschickte Gewichtung zu einer Stufe zusammen

Bedingung = 0 muss gelten

-> ist das nicht der Falle werden bestimmte Mittelwerte unterschiedlich gewichtet

Entsprechen denen der t-Tests unabhängiger Variablen:

• Daten müssen intervallskalenniveau aufweisen

• Es muss Normalverteilung der Werte in Gruppenpopulation vorliegen

• Varianzhomogenität muss gegebe sein

-> geben Auskunft welche Mittelwerte sich voneinader unterscheiden

-> Es werden alle möglichen, paarweisen Mittelwertsdifferenzen auf signifikante Unterschiede getestet

-> es geht mit dem Problem der α-Fehlerkumulierung einher

-> in ihren Kriterien:

wie:

• balancierter Fall: Stichprobenumfänge in allen Gruppen sind gleich

• unbalancierter Fall: Stichprobenumfänge in allen Gruppen sind nicht gleich

• Varainzhomogenität: Varianz in allen Gruppen gleich

• Varianzheterogenität: Varianz nicht in allen Gruppen gleich

Einerseits von Stichprobenumfang, Varianzhomogenität & Design (balanciert vs.unbalanciert), andererseits von der gewünschte Kontrolle des α- bzw. ß-Fehlers

Empfehlungen bei folgenden Voraussetzungen:

• Voraussetzungen erfüllt: REGWQ oder Tukkey HSD

• konservativ: Bonferroni

• Ungleiche Stichprobengößen: Gabriel (bei kleinem n)

• Ungleiche Stichprobengrößen: Hochberg’s GT2 (bei großem n)

• Ungleiche Varianzen: Games-Howell, Dunnett’s T3

Konservativ

Bonferroni -> Duncan -> Scheffe -> Tukey, Tewman-Keuls -> Least significant difference

nicht konservativ

• Analyse eines systematischen Verlaufs (linear, quadratisch höher polynomisch) der AV über die verschiedenen Stufen eines Faktors hinweg.

• Die AV muss dabei stetig (intervallskaliert) sein.

• Die Trendanalyse ist nur dann sinnvoll, wenn der untersuchte Faktor in der ANOVA als signifikant getestet worden ist.