Vl 7: Konfidenzintervall

• zentrale Grenzwertsatz: die Stichprobenverteilung von deskriptiven Maßzahlen (Anteile, arithm. Mittel, Regr. koeff.) nähert sich der Normalverteilung je größer der Umfang n der Zufallsstichprobe- egal wie die eigentliche Variable verteilt ist (aber nur wenn die Beobachtungen unabhängig gezogen wurden)

• Standardfehler: die Standardabweichung der Stichprobenverteilung geschätzt auf Basis einer konkreten Zufallsstichprobe/ Standardabweichung der Stichprobenverteilung besagt wie weit einzelne Schätzungen in “typischer Weise” vom wahren Wert abweichen

• Wichtiger Hinweis: Der Standardfehler ist kein Fehler im wörtlichen Sinne, sondern beschreibt die Variabilität der Stichprobenverteilung aufgrund unterschiedlicher Stichproben. Ein besserer Begriff wäre "Stichprobenvariabilität".

• Intervall das mit einer Zuverlässigkeit von 95% den wahren Populationswert überdeckt

  -typische Berechnung: Punktschätzer +- Quantilwert der Std normalverteilung * Standardfehler

• Zeigt die Verteilung einer deskreptiven Maßzahl eines Kennwerts eines Schätzers über alle denkbaren Zufallsstichprben

Zusammenfassung:

• angenommen, wir könnten aus einer Population mehfach Zufallsstichproben ziehen. Für jede dieser Stichproben berechnen wie einen bestimmten Kennwert, zb den Anteil einer Ausprägung, das arithmetische Mittel, einen Regressionskoeffizienten…

• Wir betrachten anschließend die Verteilung dieser verschiedenen Kennwerte (Stichprobenverteilung)

• Diese Stichprobenverteilung…

  -konvergiert gegen eine Normalverteilung

  -der Erwartungswert der Verteilung ist der entsprechende Populationsparameter

  -die Streuung ist der sogenannte Standardfehler (der ua von n abhängt)

• Quantilwert der Standardnormalverteilung (meist 1.96 für 95%) korrespondiert mit gewünschtem Niveau an Sicherheit/Konfidenz

• der kritische Wert multipliziert mit dem Standardfehler. Von einem Konfidenzintervall: das Ausmaß des Intervalls jeweils auf einer Seite des Punktschätzers

• Fehlertoleranz hängt ab von

  1. Konfidenzniveau (zb 90%, 95%, 99%) bzw dem entsprechenden z- Quantil der Standardnormalverteilung (zb 1.64, 1.96, 2.58)

  2. Standardfehler (SE), der abhängt von: Stichprobenumfang n; und Standardabweichung in der Population (die man ebenfalls mit vorliegenden Daten schätzen kann)

1. Berechnen des Punktschätzers auf Basis der vorliegende Daten

2. Entscheidung über die angemessene Verteilung (z.B. Normalverteilung,

t-Verteilung (à siehe Kapitel 9) oder andere Verteilung (à siehe Lit.)

3. Berechnen des Standardfehlers SE

4. Wahl des Konfidenzniveaus 1- a und des entsprechenden Quantils z.B. z1−a/2

5. Konfidenzintervall berechnen: Punktschätzer ± Quantil * SE

6. Nicht vergessen: Inhaltliche Interpretation!