VL3: Itemhomogenität

Regressionsmodell                             Modellspezifikation

o   Die Steigungen (Ladungen) der Items können sich unterschieden. Ursachen dafür können sein:

§  1. Unterschiedliche Metrik

§  2. Unterschiedliche Diskrimination der items

o   Intercepte können sich unterscheiden: Items können unterschiedlich leicht sein.

o   Fehler können sich unterscheiden, sind aber nicht korreliert.

                                                           Konsequenzen:

o   Der Unterschied zw. 2 Personen hängt von den Items ab

• Der Unterschied zweier Items hängt von Personen ab,

Regressionmodell:

Modellspezifikation

•   Alle Parameter werden frei geschätzt

• Strenggenommen sind alle restriktiveren Modelle Spezialfälle dieses Modells

                        Konsequenzen

•   Modell kann die Daten perfekt „erklären“

•   Allerdings ist es nicht sparsam und einige psychometrisch günstigen Eigenschaften der restriktiveren Messmodelle sind nicht gegeben (siehe davor)

Identifikation der latenten Variablen

•        Zum Schätzen der latenten Variablen sind Restriktionen notwendig, damit η definiert ist:

•     1. Man kann beliebige numerische Werte für Mittelwert und Varianz von η einsetzen (z.B. 0 und 1)

•    2. Alternativ: für ein beliebiges Item αi = 0 und λi= 1 setzen: Dann hat η die Metrik dieses Items

Grundgleichung: τi = αi + λi * η

o   α = wahrer Wert

o   λ= Intercept

Freiheitsgrade:

-        Alle 3 Steigungen müssen geschätzt werden: 0 df gewonnen

-        Alle 3 Intercepte müssen geschätzt werden: 0 df gewonnen.

-        Alle 3 Messfehler müssen geschätzt werden: 0 df gewonnen.

-        Modell hat insgesamt 0 df

-       Modell-implizierte Datenmatrix stimmt exakt mit empirischen überein

-       Das τ-kongenerische Modell ist bei 3 beobachteten Variablen gerade identifiziert:

-       Alle Parameter können geschätzt werden, aber Modell kann nicht mehr getestet werden:

χ²(df= 0,n= 482) = 0;p= 1.00

-> Chi-Quadrat Test zeigt keine Abwrichung (=0) aber df ist 0 -> Modell ist gerade-impliziert -> können nicht weiter für Abweichungen testen da keine Freiheit für Abweichung

- Der wahre Wert (τ) in den Items ist identisch  (gleiche Diskrimination)

  - Die Items unterscheiden sich nur in einer Konstanten (α) (=Item

Leichtigkeit/Schwierigkeit)

Y1 = τ1 + ε1               

Y2 = τ2 + ε2              

Y3 = τ3 + ε3

Translationen

α12= τ1 – τ2 bzw.: τ1 = τ2 + α12

α13= τ1 – τ3 τ1 = τ3 + α13

α23= τ2 – τ3 τ2 = τ3 + α23

• Differenzen der wahren Werte zweier Personen sind in allen Items gleich

•     Validitäten sind identisch

•      Items könnten unterschiedliche Schwierigkeiten aufweisen

•    Translation Gedankenexperiment: was müsste ich machen um von tau 1 geraden Gleichung zu tau 2 Geradengleichung zu kommen -> konstante addieren usw.

  • Problem, deswegen berechnet man gemeinsam (nächster Punkt)

  •   Mittlere für alle Items berechnet, und dann Abweichung von Geradengleichung berechnen, schwereren nach unten geschoben

•      Bei p Variablen ergeben sich p*(p-1)/2 Paarvergleiche (αij)

•        Es reicht aber auch, einen Vergleichsstandard (η) zu wählen (=gemeinsame Variable), mit dem alle True-Score Variablen verglichen werden:

  • τi = η + αi

• Die α-Parameter entsprechen dann dem Erwartungswert der Truescore-Variablen (d.h. Abweichung von η aufgrund von Itemleichtigkeit).

1.     Fixierung des Erwartungswertes von η ( Mittelwert v. latente Variable) auf einen beliebigen Wert, z.b. 0 (dann hat η einen Mittelwert von 0 und alle αi geben Differenzen zu 0 an).

          i.     Durchschnittliche Wert v. latenter Variable Null zentriert

2.     Fixierung eines Parameters αi auf einen beliebigen Wert, z.b. 1 (dann entspricht der Mittelwert von η dem Mittelwert vom gewähltem Item und alle anderen αj geben Differenzen zu diesem an).

       i.   bedeutet, dass der Mittelwert der latenten Variable η nun dem Mittelwert des gewählten Items entspricht.

     ii.      Alle anderen Intercepts (αj) geben nun Differenzen zu diesem fixierten Item-Intercept an.

•   Regressionsmodell visualisiert Intercepteffekte der Items, während die Fehlervarianzen der Items nicht dargestellt sind.

•       Pfadanalytische Modell visualisiert gleiche Effekte der gemeinsamen Variablen in den Truescores der Items sowie unterschiedliche Fehlervarianzen. Intercepte sind nicht dargestellt.

Modellspezifikation

•    Messfehler sind nicht korreliert: Cov(εi,εj) = 0; i ≠ j

•    Daher nur η für gemeinsame Varianz in Items verantwortlich

•    Gemeinsame latente Variable (η) hat gleiche Effekte (λi) auf alle Truescores der Items

•   Beobachtbaren Variablen (Yi) enthalten aber noch einen Messfehler (εi), der sich zwischen Items unterscheidet.

  Konsequenzen

•   Dadurch haben beobachtbaren Items unterschiedliche Varianzen & Reliabilitäten

Grundgleichung:

τi = αi + λi * η

Gleiche Steigung (Diskrimination):

λi = λj

-> Faktorladungen oder Diskriminationsparameter für alle Items gleich

-> Jedes Item misst die latente Variable η mit der gleichen Stärke.

Freiheitsgrade:

•    Muss nur 1 Steigung anstelle von 3 geschätzt werden: 2 df gewonnen.

•   Modell hat insgesamt 2 df.

• Differenz zwischen der Anzahl der beobachteten Datenpunkte und der Anzahl der zu schätzenden Parameter.

• Steigungen λi​ gleich sind, müssen wir nur eine einzige Steigung λ anstelle von k Steigungen (wo k die Anzahl der Items ist) schätzen.

§  Modell-implizierte Matrix weicht leicht von empirischen ab.

§  Dafür ist Modell sparsam: Wurden 2 df gewonnen

§  Kann eine χ²-verteilte Prüfstatistik berechnet werden: χ²(df = 2, n = 482) = 3,74; p = 0.15

§  Die nicht-signifikante Abweichung bedeutet, dass das Modell die empirischen Verhältnisse hinreichend gut beschreibt

Modell τ-äquivalenter Variablen

Modellspezifikation

•   Alles wie beim Modell essentiell τ-äquivalenter Variablen, zusätzlich aber gleiche Intercepte (Leichtigkeiten) der Items

• Daher ist das τ-äquivalente Modell ein (restriktiverer) Spezialfall des essentiell τ-äquivalenten Modells

Konsequenzen

•   Da alle Items gleich leicht sind, fallen die Leichtigkeitsparameter (αi) weg: Yi = η + εi

•   Erwartungswert von η entspricht allen Item-Erwartungswerten: E(η) = E(Yi)

• … sodass auch alle Item-Erwartungswerte gleich sind: E(Yi) = E (Yj)

Grundgleichung:

τi = αi + λi * η

Gleiche Steigung (Diskrimination):

λi = λj

Gleiche Intercepte (Item-Leichtigkeit):

αi = αj

Freiheitsgrade:

•    Muss nur 1 Steigung anstelle von 3 geschätzt werden: 2 df gewonnen

•   Muss nur 1 Intercept anstelle von 3 geschätzt werden: 2 df gewonnen

  
  

•       Modell hat insgesamt 4 df.

Modell τ-äquivalenter Variablen

§  Modell-implizierte Matrix weicht signifikant von der empirischen ab:

·      χ²(df = 4, n = 482) = 28,51; p < 0.01

§  Da sich Modell signifikant von beobachteten Daten unterschiedet, muss das Modell abgelehnt werden

§  Demnach haben Items keine gleichen Schwierigkeiten

Modellspezifikation

o   Alles wie beim Modell essentiell τ-äquivalenter Variablen, zusätzlich aber gleiche Messfehelr

o   Daher ist das essentiell τ-parallele Modell ein (restriktiverer) Spezialfall des essentiell τ-äquivalenten Modells.

Konsequenzen

o   Beobachtbaren Items (Yi), haben nun gleiche Varianzen: Var(Yi) = Var(η) + Var(ε)

o   Effekte von η wirken nun numerisch gleich auf die beob. Variablen (Yi) aus.

o   Korrelation zwischen 2 beobachtbaren Variablen kann als Reliabilität interpretiert werden (ist Voraussetzung für Reliabilitätsanalysen)

Grundgleichung:

τi = αi + λi * η

Gleiche Steigung (Diskrimination)

λi = λj

Gleiche Messfehler:

Var(εi) = Var(εj)

Freiheitsgrade:

•    Es muss nur 1 Steigung anstelle von 3 geschätzt werden: 2 df gewonnen

•   Es muss nur 1 Messfehler anstelle von 3 geschätzt werden: 2 df gewonnen

•     Modell hat 4 df

o   Modell-implizierte Matrix weicht nicht signifikant von empirischen ab:

§  χ²(df = 4, n = 482) = 8,67; p = 0.07

o   Da sich Modell nicht signifikant von beobachteten Daten unterscheidet, kann Modell beibehalten werden

o   Demnach haben Items vergleichbare Messfehler

Modellspezifikation

• Alles wie beim Modell essentiell τ-äquivalenter Variablen, zusätzlich aber gleiche Messfehler und Intercepte

•   Daher ist τ-parallele Modell ein (sehr restriktiver) Spezialfall sowohl des essentiell- τ- äquivalenten Modells, des τ-äquivalenten Modells, als auch des essentiell- τ-parallelen Modells.

Konsequenzen

•   Resultieren alles Konsequenzen der bisherigen Modelle (bei Modellgültigkeit)

Grundgleichung:

τi = αi + λi * η

Gleiche Steigung (Diskrimination):

λi = λj

Gleiche Intercepte (Item-Leichtigkeit):

αi = αj

Gleiche Messfehler:

Var(εi) = Var(εj)

Freiheitsgrade:

-       Muss nur 1 Steigung anstelle von 3 geschätzt werden: 2 df gewonnen

-       Muss nur 1 Intercept anstelle von 3 geschätzt werden: 2 df gewonnen

-       Muss nur 1 Messfehler anstelle von 3 geschätzt werde: 2 df gewonnen

-       Modell hat 6 df

o   Modell-implizierte Matrix weicht signifikant von empirischen ab:

§  χ²(df = 6, n = 482) = 35,65; p < 0.01

o   Da sich Modell signifikant von beobachteten Daten unterscheidet, muss Modell abgelehnt werden

o   War voraussehbar, da bereits Annahmen des τ-äquivalenten Modells zurückgewiesen werden mussten.

•   Je mehr Parameter frei geschätzt werden, desto besser die Passung (Fit)

•     Je mehr Parameter restringiert (z.b. gleichgesetzt) werden, desto sparsamer (parsimonischer) ist das Modell

• Modelle, die durch Parameter-Restriktionen (Gleichsetzungen, numerische Fixierungen) aus anderen Modellen hervorgehen, sind in diesen genestet/geschachtelt