Einführung
in Mathematik treten immer wieder Situationen auf in denen sich eine Größe an einen festen Wert immer weiter annähert ohne diesen ganz zu erreichen
Was ist eine Zahlenfolge?
Eine Zahlenfolge ist eine Sequenz von Zahlen, die sich beliebig lang fortsetzen lässt und eine eindeutige Bildungsvorschrift besitzt.
Bildungsvorschrift
= Regel/ Verfahren, das angibt, wie Glieder einer mathematischen Folge oder Funktion gebildet werden
beschreibt, wie man aus bestimmten Index (z.B. n) das entsprechende Glied der Folge oder den Funktionswert berechnet
Wie ist eine Zahlenfolge definiert?
Eine Zahlenfolge ist eine Vorschtift, die einer natürlichen Zahl n€IN eine reele Zahl an€IR zuordnet.
Abbildung IN -> IR
(an)n€IN =
a1, a2, a3 —> Folgeglieder
Wie ist die Konvergenz einer Zahlenfolge definiert?
Wenn eine Zahlenfolge (an) oder Funktion f(x) sich für große Werte von n bzw. x einem bestimmten Grenzwert beliebig annähert, nennt man sie konvergent.
Wenn kein Grenzwert existiert, liegt Divergenz vor.
Wie ist der Grenzwert eine Zahlenfolge definiert?
Die Zahl a€IR heißt Grenzwert oder Limes der Folge (an), wenn für jede reele Zahl E > 0 eine Zahl n0 existiert, so dass a-an < E für alle n > n0
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt kpnvergent.
Welche Arten von Folgen kennen Sie?
Nullfolge (Grenzwert ist 0)
konstante Folge (Grenzwert entspricht dem Folgeglied)
harmonische Folge: an=1/n (Grenzwert 0)
geometrische Folge: an=x^n
Wie lautet der Grenzwert der geometrischen Reihe?
für Betrag x < 1: Grenzwert 0
für x = 1: Grenzwert 1
Für Betrag x > 1 divergent
Was ist bestimmte Divergenz?
Wenn eine Folge für wachsendes n über alle Grenzen hinaus läuft. Also lim an = +- unendlich
Folgeglieder werden für wachsendes n immer größer
Was besagt der Sandwichsatz?
Wenn lim an = lim cn=a
an < bn < cn für alle n€IN, dann gilt lim bn = a
“Einschnürungssatz”
hilfreich bei Folgen mit komplexen Bildungsvorschriften (wenn Grenzwertansätze nicht angewandt werden können)
Ablauf Sandwichsatz
wenn für Folge bn Grenzwert nicht bestimmt werden kann, kann man mit etwas Glück zwei einfacher aufgebauter Folgen an und cn finden, die bn unten und oben eingrenzen
konvergieren diese beiden Folgen gegen selben Grenzwert a, besagt Sandwichsatz, dass auch eingeschlossene Folge bn gegen a konvergiert
alternierend
Vorzeichen wechseln:
1, -2, 3, -4, …
Bestimmten Sie mit Hilfe des Sandwichsatzes den Grenzwert der Folge an = n-te Wurzel von 2
untere Grenze: konstante Folge an=1
lim 1 = 1
Obere Grenze: n-te Wurtel von n
lim n-te Wurtel von n = 1
und damit n-te Wurzel von 2 = 1
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