VL9: CFA-3: Latente Relationen (SEM), Hierarchische Modelle

Modellannahmen

•      1 g-Faktor erklärt Kommunalität aller Indikatoren

•   Indikatoren haben Spezifität allerdings ist diese nicht korreliert innerhalb (Aufgaben-) Gruppen

Modellbewertung

•   Schlechte Passung zeigt an, dass hinter den Speed-Aufgaben nicht ein unitärer Faktor steht

  
  

Modellannahmen

• Gruppenfaktoren erklären die (höheren) Korrelationen zwischen Indikatoren der gleichen Gruppe

•     Gruppenfaktoren sind korreliert und erklären somit (moderate) Korrelationen zwischen Indikatoren verschiedener Gruppen

Modellbewertung

•      Gute Passung zeigt an, dass das Modell mit Daten vereinbar ist

Modellannahmen

•        Ein Faktor höherer (zweiter) Ordnung erklärt die Korrelationen zwischen Gruppenfaktoren

•      Sämtliche Effekte des Faktors höherer Ordnung auf Indikatoren sind vollständig durch Gruppenfaktoren mediiert

Modellbewertung

•       Gute Passung zeigt an, dass das Modell mit Daten vereinbar ist

Modellbewertung

-       Beide Modelle sind unsinnig, passen aber genauso gut auf Daten wie das Modell mit korrelierten Faktoren bzw. das Modell mit Faktor höherer Ordnung

•     Das 1-Faktor Modell erklärt Daten nicht so gut

  • Demnach ist nicht von einem unitären Faktor von Mental Speed auszugehen

•     Alle anderen Modelle passen gut und unterscheiden sich in Passung nicht untereinander

  • Die 3 Speed Faktoren haben jeweils die gleichen Messmodelle

  •   Müssen darüber hinaus jeweils die gleiche Anzahl von Parametern für die latenten Relationen geschätzt werden (nämlich 3 Korrelation oder Ladungen).

•     Fit ermöglicht somit keine Aussage, welches Modell das „Richtige“ ist

•     Das „volle Bifactor Modell“

  • Technisch handelt es sich um ein Mediatormodell, indem g-Faktor sowohl direkten Pfade auf die Indikatoren hat als auch indirekte über spezifischen Gruppenfaktoren

  •   Modell ist allerdings zu komplex und nicht empirisch testbar

  •   Beide vorangehend vorgestellten Modelle sind im „vollen Bifactor-Modell“ enthalten (also genestet) und gehen aus ihm durch Nullfixierungen von Pfaden hervor

•      Modell mit Faktor höherer Ordnung

  •   Modell mit Faktor höherer Ordnung erhält man durch Null-Fixierung der direkten Pfade vom g-Faktor auf die Indikatoren (0)

•    Bifactormodell

  •   Erhält man durch Null-Fixierung der indirekten Pfade über die Gruppenfaktoren (0)

  •   Wenn Gruppenfaktoren nicht mehr auf g-Faktor laden, sind sie technisch orthogonal und erklären nur unabhängige Varianz in Indikatoren

•     Der g-Faktor (Bifactor) hat direkte Effekte auf Indikatoren

•        Gruppenfaktoren (genestete Faktoren) haben direkte Effekte auf Indikatoren

•      Varianz in Indikatoren setzt sich zusammen aus g-Faktor, Gruppenfaktor und Fehler/Spezifität

•       Effekte der Gruppenfaktoren und g-Faktors sind orthogonal (unabhängig)

•       Gruppenfaktoren können untereinander korreliert sein

•       Anders als beim Modell mit Faktor höherer Ordnung können beim Bifactor-Modell alle Faktoren simultan mit einem Kriterium korreliert werden

  
  

•       Durch Entfernen eines Gruppenfaktors (hier „Mental Health“) werden dessen Items zur Referenzmethode des g-Faktors

•        Dies erleichtert die Interpretation des g-Faktors als „Mental Health“ Faktor

•        Effekte der anderen Gruppenfaktoren lassen sich dann als Moderation durch Gruppeninhalte interpretieren (also Über/Unterschätzung relativ zum Abschneiden in „Mental Health“)

•       M-1 Methode erleichtert außerdem statistische Identifizierbarkeit des Modells

Vergleich genesteter Modelle

•     Wenn Modell durch Parameter-Restriktionen aus anderen Modell hervorgeht, kann Chi-Quadrat Differenztest berechnet werden mit der Differenz der Χ2 Werte und Differenz der df der Modelle

Vergleich nicht-genesteter Modelle

•     Wenn Modelle zwar auf gleichen Variablen beruhen, aber ungleich in Struktur sind, können Informationsindizes berechnet werden, die jeweils Fit und Sparsamkeit ins Verhältnis setzen

Akaike Informationskriterium (AIC)

•   𝐴𝐼𝐶 = −2𝑙𝑛𝐿 𝜃 𝑦, 𝑀 + 2𝑘

                   Bayesiansches Informationskriterium (BIC)

•    𝐵𝐼𝐶 = −2𝑙𝑛𝐿 𝜃 𝑦, 𝑀 + 𝑘 ∙ 𝑙𝑛𝑁

• Wird das Modell mit kleinstem Index bevorzugt, da gute Modelle sowohl geringe Abweichung als auch geringe Komplexität haben sollten

•    Dabei können Indizes auch negativ werden

•       Daumenregel: Different von 2,4,6,10 spricht mit kleiner, mittlerer, hoher und sehr hoher Sicherheit für das Modell mit geringerem Index

•    Kommt auf Kontext an

•       Bei Informationskriterien AIC und BIC schneiden Modelle „3-korrelierte Faktoren“ und „Faktor höherer Ordnung“ am besten ab

•       Rein statistisch kann nicht entschieden werden, welches Modell von diesen beiden Modellen das besserer ist

• Liegt daran, dass im aktuellen Fall identische Messmodelle erster Ordnung und gleiche Anzahl von Parametern geschätzt werden

•     Relationen beim Modell mit korrelierten Faktoren sind hoch und homogen, was einen g-Faktor nahelegt

  • Entsprechend gibt es hohe und homogene Ladungen beim Modell mit Faktor höherer Ordnung

•       Ladungsmuster spricht also eher für ein Facetten-Modell mit einem Faktor höherer Ordnung als für 3 korrelierte aber separierbare Faktoren

•    Entscheidung ist letztlich aber theoretischer Natur

Anliegen

•       Test, ob ein statistischer Zusammenhang zwischen 2 Variablen (X;Y) über einen (oder mehrere) Mediatoren (M) vermittelt wird

  •       Volle Mediation: Effekt wird komplett über Mediator „erklärt“

  •       Partielle Mediation: Effekt wird nur teilwesie über Mediator „erklärt“

Effektstärken (R2)

•       Direkter Effekte: X -> Y

•       Indirekter Effekt: X -> M -> Y

•        Gesamteffekt: (X -> Y) + (X -> M -> Y)

•        I.d.R. sind Daten rein korrelativ und wurden zu einem Messzeitpunkt erhoben

•       Kausalität muss aus Theorie abgeleitet werden

•       Im Fall der vollständigen Mediation sind kausale Richtungen X -> M -> Y und Y -> M -> X statistisch nicht unterscheidbar

Spezifikation und Passung

•       Als SEM kombiniert es CFA in Messmodellen und Regressionstechniken bei latenten Variablen

•        Richtung der Regressionspfade sollte theoretisch begründet sein

•        Fit wird weitgehend über Messmodelle bestimmt und lässt keine Rückschlüsse auf Richtung zu:

•       Solange latenten Variablen Relationen haben (egal in welche Richtung: A->B; A<-B; A<->B) ist Modell-Fit identisch

Interpretation der Ergebnisse

•      Analog wie bei Mediation mit beobachteten Scores: Größe und Signifikanz des totalen, direkten und indirekter Effekts

-       Fragestellung

o  Wird der Zusammenhang von X und Y über einen Moderator W vermittelt?

•       Ausgangslage

  •   Gibt einen latenten Prädiktor mit 3 Indikatorvariablen (x1,x2,x3)

  •   Gibt latenten Moderator mit 3 Indikatorvariablen (w1,w2,w3)

• Berechnung von Indikatoren für Interaktionsterm (Faktor) (X*W)

  •   Werden Interaktionsterme aller möglichen Kombinationen von x-Variablen und w-Variablen berechnet:

  •   x1*w1 ; x1*w2 ; x1*w3 ; x2*w1 ; x2*w2 ; x2*w3 ; x3*w1 ; x3*w2 ; x3*w3

  •   Jeder der Interaktionsterme wird auf „Haupteffekt“-Variablen regrediert, um deren Überlappung zu beseitigen

  •   Die residualisierten Interaktionsterme sind statistisch unabhängig von Haupteffekten

•   Im SEM wird latenter Interaktions-Faktor spezifiziert, der den reliablen Anteil aller Interaktionsterme erklärt

•   Gibt demnach 3 latente Prädiktor-Faktoren: X,W und X*W

•   Aufgrund der statistischen Abhängigkeiten bei den Indikatoren werden Korrelationen der Fehlerterme zwischen jeweils korrespondierenden Indikatoren zugelassen, also z.b. x2*w3 mit x2 und w3 in den jeweils anderen Messmodellen

Ein-Schritt Modellierung

•        Wenn theoretisch-motiviertes Modell auf Anhieb passt und nicht weiter modifiziert werden muss

•      Ist eigentlich der erwünschte Fall, da rein konfirmatorisch

Mögliche Fehlerursachen

-       Wenn theoretische Modell die Daten nicht gut beschreibt, stellt sich Frage was falsch spezifiziert wurde

o  Messmodelle

o  Strukturelle Relationen

•       Zunächst testen, ob Messmodelle allein schon schlecht fitten, dann ggf. modifizieren

•      Wenn Messmodelle in Ordnung sind, dann strukturelle Relationen testen

•       Strukturierte Vorgehen mit 2 oder 4 Schritten:

  •   Zwei-Schritt Modellierung

  •   Vier-Schritt Modellierung

Schritt 1

•        Latente Struktur-Modell wird als Messmodell re-spezifiziert

•        Alle Kovarianzen werden zugelassen

•       Missfit kann somit nur Ursache in Messmodellen haben

•       Ggf. Modifikation der Messmodelle (eliminieren von Indikatoren, Zulassen von Fehlerkovarianzen oder Sekundärladungen), bis Fit akzeptabel ist

Schritt 2

•       Vgl. alternativer Strukturmodelle mit ursprünglichen (theoretischen) Strukturmodell als auch mit Kovarianzmodell

•        Ggf. zulassen weiterer Pfade, bis Passung akzeptabel ist

•       Anmerkung: Wenn Strukturmodell gerade identifiziert ist (=alle latenten Faktoren hängen irgendwie zusammen), entspricht der Fit dem Kovarianzmodell

Beispiel re-spezifieziertes Strukturmodell als Messmodell

•       Oberen Zahlen sind nicht-standardisierte, die unteren standardisierte Schätzer (in Klammern SE)

•       Gestrichelten Pfade werden hier frei geschätzt, sollten nach Theorie aber null sein

•       Gerade-identifiziertes Modell: Alle Faktoren sind durch Relationen verbunden: Werden genauso viele Parameter geschätzt wie beim Kovarianzmodell, daher gleicher Fit

1.     Schritt

•       Durchführung einer EFA mit gleichen Schätzmethode wie beim SEM (ML,WLS,…)

•       Überprüfung der Anzahl der Faktoren sowie des Ladungsmusters der Indikatpren

2.     Schritt

•        Testen eines CFA-Kovarianzmodells (analog Schritt 1 & 2-Schritt Modellierung)

•       Ggf. Modifikation Messmodelle

3.     Schritt

•       Test des Strukturmodells mit gleichen Null-Relationen wie bei Schritt 2, allerdings spezifizieren einer Relation als kausalen Pfad (ggf. sukzessiv)

4.     Schritt

•        Eliminieren von Regressionspfaden aus Strukturmodell, die nicht benötigt werden

Bewertung

•      Ausdifferenzierung der Zwei-Schritt Modellierung

•        Beides sind post-hoc Modifikationen: Finale Modell hat Status einer Hypothese

•       Generalisierbarkeit sollte an unabhängigen Daten überprüft werden

•        Gute Modellpassung (Modell-Fit) bedeutet nicht zwingend, dass das Modell wahr ist

•       Oft alternative Modelle möglich, die die Kovarianzstruktur vergleichbar gut beschreiben

•      Sollte eine überzeugende Theorie geben, aus der die Kausalität plausibel abgleitet werden kann 

•      Am besten ist, wenn man kausale Effekte experimentell manipuleiren kann (geht oft nicht aus ethischen Gründen)

•     Falls das nicht geht, ist zumindest eine zeitversetzte Messung günstig, um Richtung der Effekte zu überprüfen:

  •   UVt1 -> AVt2