Definiere:
Stellenwert
Position der Ziffer innerhalb der Zahl
Multiplikative Eigenschaft
Der Wert der einzelnen Stelle kann gefunden werden, wenn die Anzahl der Einheiten (Ziffer) mit dem Wert der jeweiligen Einheit (Position) multipliziert wird.
Die Ziffern in 429 bedeuten
4*100
2*10
9*1
Additive Eigenschaft
Der Wert der Zahl setzt sich zusammen aus der Summe der Stellenwerte (400+20+9)
Eigenschaft der Basis 10
Die Werte der Position wachsen um Zehnerpotenzen von rechts nach links beziehungsweise nehmen. Von links nach rechts um 1 ab
1000 = 10³
100 = 10²
10 = 10¹
Welche Wissenselemente müssen miteinander in Verbindung gebracht werden, um die Zahl im dezimalen Stellenwertsystem interpretieren zu können? (Ross 1989)
Welche Mittel zur Veranschaulichung von Zahlaspekten gibt es?
Hunderter- Tausenderpunktfeld
Hundertertafel / Tausenderbuch
Zahlenreihe
Zahlenstrahl
Merkmale:
Verbindung von ordinal und kardinal
sehr komplex
Für lernschwache Schüler:innen oft schwierig zu verstehen
Hundertertafel und Tausenderbuch
Lernen des originalen Zahlenaspektes
Anordnung der Zahlen steht im Vordergrund und nicht Anzahl
Gesetzmäßigkeiten des Zahlenaufbaus und Zahlenschreibweise erkennen
sowie auch Strukturen und Zahlenmuster
Hunderter- und Tausenderpunktfeld
Veranschaulicht den kardinalen Zahlaspekt
geeignet zum Entwickeln von Größenvorstellungen
strukturelles Darstellen
Ablesen von Anzahlen
Zerlegen von 100 oder 1000
Zahlreihe
sowohl ordinaler als auch kardinaler Zahlaspekt sichtbar
Rangordnung der Zahlen erkennen + erarbeiten der Zählstrategien
Nenne die drei Hürden beim Erlernen des Stellenwertsystems
Bündelungsprinzip (fortgesetzte Bündelung)
Positionsprinzip (Stellen- und Zahlenwertprinzip)
Zahlensprechweise (inversive Zahlwortbildung)
Fortgesetzte Bündelung
Das Prinzip der fortgesetzten Bündelung besagt, dass die Elemente einer Menge zu gleichmächtigen Teilmengen (einem Bündel) zusammengefasst werden, bis die Menge vollständig in gleichmächtige Teilmengen und eine Restmenge zerlegt ist
Das Prinzip des Stellenwerts
… gib vor, in welcher Reihenfolge die einzelnen Bündel angeordnet werden, nämlich indem rechts beginnend die Bündelungseinheiten nach links ansteigen (beginnend mit Einer…)
Das Prinzip des Zahlenwerts
...regelt, dass an der entsprechenden Stelle (also beim passenden Stellenwert) die Anzahl der jeweiligen Bündel notiert wird
Inversive Zahlwortbildung
Sprechweise bei der die Anzahl der einer vor den Zehnern genannt wird
hat Einfluss auf Wahrnehmung und Verarbeitung von Zahlen
Erarbitung des Bündelungsprinzips und der Stellenwerte
1. Bündeln durch strukturiertes Zählen im Hunderterraum
2. Bündeln mit dem Dienes-Material im Tausenderraum
Wichtig: Rolle der Null klären ab Stufe 2
3. Unterschiedliche Darstellung und Notation von Zahlen
den Ordinalzahlaspekt
Wird unterschieden in den Zählzahlaspekt (Folge der Zahlen, die beim Zählen durchlaufen wird) und in den Ordnungszahlaspekt. Ordnungszahlen geben den Platz eines Elements in der Zahlwortreihe an (z. B. das sechste Plättchen in der Reihe, die Zahl 6 ist Vorgänger der Zahl 7 und Nachfolger der Zahl 5)
den Kardinalzahlaspekt
… nimmt eine Menge von Elementen in den Blick. Zahlwörter können Mengen repräsentieren, mit ihnen kann die Anzahl von Elementen angegeben werden
Relationale Zahlvorstellungen
… beziehen sich auf das Verständnis der Beziehungen zwischen Zahlen und ihrer Position im Zahlensystem
Direkte Zahlvorstellungen
… beziehen sich auf das unmittelbare Verständnis und die Repräsentation von Zahlen als konkrete Menge oder Objekte
Beschreibe das Modell zur theoretischen Beschreibung des Stellenwertverständnisses (Fromme 2017)
Prinzip der stabilen Ordnung / Prinzip der stabilen Rangfolge
Die Reihenfolge der Zahlwörter der Zahlwörter bleibt immer, d. h. dass beim Zählprozess immer die gleiche Folge an Zählzahlen durchlaufen wird
Das Prinzip der Eins-zu-Eins-Zuordnung
Man spricht von einer Eins-zu-Eins-Zuordnung, wenn jedem Element, genau ein anderes Element, genau ein Zahlwort zugeordnet wird. Das bedeutet, dass keines der Elemente doppelt gezählt und keines der Elemente vergessen werden darf.
Kardinalprinzip
Beim Abzählen einer Menge von Elementen gibt das zuletzt genannte Zahlwort die Gesamtzahl der Elemente an, d.h. das zuletzt genannte Zahlwort ist die Antwort auf die Frage: “Wie viele?”
Das Prinzip der Irrelevanz der Reihenfolge
Sowohl die Reihenfolge, in der die Elemente einer gegebenen Menge gezählt werden, als auch die Anordnung der Elemente ist für das Ergebnis des Zählprozesses irrelevant. Der Zählprozess kann bei einem beliebigen Objekt beginnen.
das Abstraktionsprinzip
Die zuvor genannten Prinzipien sind auf beliebige Elemente anwendbar. Sowohl konkrete Materialien, aber auch Töne, Lichtsignale etc. sind zählbar. Die Objekte, die gezählt werden, müssen da aber nicht in einem inhaltlichen Zusammenhang stehen.
Nenne Beispielaufgaben für:
Zahlwort -> Zahlzeichen
Mengendarstellung -> Zahlzeichen
Zahlzeichen -> Mengendarstellung
Antwort: Zahlendiktat (Gefahr: inversive Zahlwortbildung)
Antwort: Dienes-Material durcheinander darlegen und Anzahl soll notiert werden
Antwort: Zahl mit Dienes-Material oder Beutel mit Murmeln (10er Beutel und einer Beutel) o.Ä. darstellen
Systematische Übungen mit Plättchen in einer Stellentafel fördern das Verständnis der Bündelung und des Stellenwerts. Verschiedene Typen von Aufgaben sind möglich (nach Hölzel 2004):
Mit einer vorgegebenen Anzahl von Plättchen alle möglichen Zahlen legen und ordnen […]
Mit Plättchen eine Ausgangszahl darstellen und Plättchen nach Regeln wegnehmen oder dazulegen. Veränderungen beschreiben […]
Eine Ausgangszahl legen und Plättchen nach Regeln verschieben. Veränderungen beschreiben. […]
Was ist das Ziel der App:
„Stellenwerte üben“?
Es geht um den Aufbau des Stellenwertverständnisses (NICHT darum zu Rechnen). Es geht darum, noch VOR dem Einführen der Rechenoperationen das Stellenwertsystem verstanden zu haben.
Was ist der Nutzen der App:
Häufig in Fördersituationen im Gebrauch, um den Aufbau von Stellenwertverständnis zu unterstützen
Was sind die Vorteile der App:
Lösungen werden nicht angezeigt (Es gibt nur Tipps, worin der Fehler liegt)
Das Konzept des Bündelns wird deutlich
Keine lange Einführung in die App nötig (intuitiv & schnell zu verstehen)
Synchronität und Vernetzung von Darstellungen (EIS-Ebenen)
Strukturierungshilfen auf Knopfdruck (die Einer-Würfel fliegen langsam zueinander und werden zu einer Zehner-Stange)
Informative Rückmeldung (keine Lehrkraft wird gebrauchtàdie Kinder können selbstständig arbeiten)
Keine Verleitung mit dem Material zu spielen
Dienesmaterial ist unendlich vorhanden und nicht begrenzt
Was sind die Nachteile der App:
Lösungen werden nie angezeigt
Fehler im System führen zu Irritationen (man sollte weiterbündeln, es gab aber nichts mehr zu bündeln)
Das haptische fehlt bei der App
Zahlendrehern wird nicht vorgebeugt (sowohldigital als auch analog nicht)
Nenne Übungen zur dezimalen Struktur mithilfe von Ziffernkarten in der Stellenwerttafel
Mit einer Auswahl von Ziffernkarten (alle) zwei-, drei und vierstellige[n] Zahlen legen, die Zahlen der
Größe nach ordnen […]
Additions- und Subtraktionsaufgaben legen […]
Zahlen möglichst nahe an einer Zielzahl legen […]
Zahlen in anderen Zahlensystemen legen […]
Entwicklungsstufen des Stellenwertverständnisses (Schipper ab Klasse 2)
1. Mehrstellige Zahlen als Gesamtheiten
Anzahlen werden „als nicht weiter strukturierte Ganzheiten” verstanden
Anzahl der Objekte wird meist durch Abzählen ermittelt
2. Zweistellige Zahlen als Zusammensetzungen aus Zehnervielfachen u. Einern
Zehnervielfaches wird allerdings i.d.R. noch als Gesamtheit aufgefasst, nicht als x Zehner
Zahlzerlegungen in Zehner und Einer können als Plusaufgabe meist korrekt aufgeschrieben werden, eine
Übertragung in die Stellentafel gelingt aber oft noch nicht
3. Zweistellige Zahlen als Zehner-Einer-Sequenzen
Zweistellige Zahlen als Zehner-Einer-Sequenzen
Erkenntnis, dass zweistellige Zahlen immer aus Zehner-Einer-Folge bestehen
Erkenntnis, dass AuLau innerhalb der verschiedenen Zehner gleich ist
Zählen in Zehnerschri:en ist möglich
Spalten der Hundertertafel können gedeutet werden
4. Zweistellige Zahlen als Zusammensetzungen aus Zehnern und Einern
Anzahl der Zehner kann abgezählt werden ohne Mit-Benennen des Wertes
Übertragung auf Stellentafel bereitet keine NotaOonsprobleme mehr
strukturierte Darstellung z.B. in Strich-Punkt-KombinaOonen oder mit Dienes-Material ist möglich
5. Sichere Verbindung von Zahlenschreibweise und Zahlbedeutung
Erkenntnis, dass Zahlwörter und Zifferndarstellungen gleichzeiOg unterschiedliche Bedeutungen haben
können, z.B. „23“ ist „zwanzig plus drei“ und auch „zwei Zehner und drei Einer“
Mögliche Vorarbeiten zum Stellenwertverständnisses in Klasse 1
„Im Zahlenraum bis 20 [kann] der dezimale Aufbau unseres Stellenwertsystems nicht besonders gut verdeutlicht werden […], da die „Bündelung in Zehner + Einer“ erst im Zahlenraum bis 100 wirklich sichtbar wird und dort auch durchdrungen werden kann.“
Einige grundlegende Aspekte können jedoch auch im Zwanzigerraum bereits gut thematisiert werden:
Zahlen sind zerlegbar
Was macht die Zahl 10 besonders?
Unregelmäßigkeiten (z.B. bei der Zahlwortbildung)
Entwicklungsmodell von Stellenwertverständnis nach Ross (1985)
Stage 1, (whole numerals) Ganzheiten:
Zahlen repräsentieren eine Gesamtmenge. Den Ziffern und den Positionen wird kein besonderer Wert beigemessen
Stage 2, (positional property) Positionseigenschaft:
Ausgehend vom Zahlzeichen wissen Kinder, dass die Zahl rechts als Einer undlinks als Zehner betrachtet wird.
Stage 3, (face value) Ziffernwert:
Kinder interpretieren jeden Ziffernwert in der Zahl und ordnen diesen den entsprechenden Worten (Zehner, Einer) oder Gegenständen zu (Stangen, Würfel).
Die Zehner repräsentieren für sie nicht eine Gruppe von 10 Einern.
Stage 4, (construction zone) Konstruktion:
Kinder wissen, dass die linke Ziffer in einer zweistelligen Zahl Zehnerbündel repräsentiert und die rechte Ziffer die übrig gebliebenen Einer. Dieses Wissen ist vorläufig und wird durch unzuverlässige Aufgabenleistung charakterisiert
Stage 5, (understanding) Verständnis:
Kinder wissen, dass die unterschiedlichen Stellen in einer zweistelligen Zahl eine Aufteilung der Gesamtmenge in Zehner und Einer darstellen. Auf dieser Ebene können auch nicht-kanonische Darstellungen verstanden werden.
Defniere:
nichtkanonischen Darstellungsweisen
Nichtkanonische Darstellungsweisen in der Grundschule beziehen sich auf alternative Weisen, eine Zahl zu zerlegen und darzustellen, abweichend von der Standarddarstellung.
Beispielsweise kann die Zahl 365 nicht nur als 3 Hunderter, 6 Zehner und 5 Einer geschrieben werden, sondern auch als 2 Hunderter, 16 Zehner und 5 Einer oder 1 Hunderter, 26 Zehner und 5 Einer.
Diese flexiblen Darstellungen fördern das Verständnis für Zahlen und Rechenoperationen, indem sie zeigen, dass es mehrere Wege gibt, eine Zahl aufzuteilen und zu berechnen.
Nenne Merkmale eines tragfähigen Stellenwertverständnisses
Einsicht in die Prinzipien des Stellenwertsystems
„flexible[s] Verständnis des Zusammenhangs zwischen Zahlwort, Zahlzeichen und Menge“
„Einsicht in die Zerlegbarkeit von Zahlen“
Übungen zur Förderung des Stellenwertverständnisses (nach Schipper)
Bündelungsaktivitäten, Notation der zweistelligen Zahlen als Zehnervielfache und Einer (35=30+5), als Strich-Punkt-Darstellungen oder mit Ziffernkarten in Stellentafel
Notation von zweistelligen Zahlen als Zehner-Einer-Sequenzen (43=4Z 3E) und Übertragung dieser Notation in Stellentafel
Übertragungen zwischen Summenschreibweise, Stellenwertschreibweise und Stellentafeleinträgen
Einbeziehung von nicht-kanonischen Schreibungen wie 4Z 12E
Schrittfolge von Übungen (nach Wartha / Schulz (2012))
Übungen und Hinweise (Anregungen aus Vorträgen von M. Gaidoschik):
Die Hälfte von …?
Hier stellte Gaidoschik in einer Untersuchung fest, dass z.B. die Hälfte von 30 deutlich schwerer zu bestimmen war als die Hälfte von 80
z.B. 70-5, 56+10, 87-10, …
Wichtig aber auch das Material: Dienes-Blöcke, bei denen entbündelt werden muss, sind deutlich ergiebiger als Plätchendarstellungen; meist werden bei der Orientierung im Hunderterraum zu viele Veranschaulichungen in kurzer Zeit eingeführt !
Übungen und Hinweise (Anregungen aus einem Vortrag von P. Scherer)
Erreichen von Stufenzahlen durch Legen von Aufgaben (zweistellig - 100 treffen, fünfstellig - 100000 treffen); „Koproduktionen“!
Zerlegen in Stellenwerte
Zusammensetzen aus Stellenwerten
Wann sind Zahlvorstellungen tragfähig?
Wenn mathematische Prinzipien und Beziehungen durch sie transportiert werden.
Wenn sie ausbaufähig sind und damit als Grundlage für weitere Vorstellungen dienen können, ohne dass die Kinder jedes Mal umlernen müssen.
Kindervorstellungen von Zahlen (Vor- und Nachteil)
können als Ausgangspunkt dienen, um tragfähige Zahlvorstellungen zu entwickeln
können jedoch auch hinderlich sein, um tragfähige Zahlvorstellungen zu entwickeln
Diese Fähigkeit zur visuellen Strukturierung von Darstellungen entwickelt sich in Stufen, jedoch nicht ohne gezielte Impulse im Unterricht. Söbbeke und auch Steenpass haben folgende Stufen identifiziert:
Ebene I:
Konkret empirische Deutungen; es dominiert eine Sicht auf Einzelelemente und konkrete Objekte, die weitgehend isoliert nebeneinanderstehen
Ebene II:
Zusammenspiel von partiell empirischen Deutungen mit ersten strukturorientierten Deutungen oder mehrteilig relationalen Nutzungsweisen.
Ebene III:
Strukturorientierte Deutungen mit zunehmender flexibler Nutzung von Beziehungen und Umdeutungen.
Ebene IV :
Strukturorientierte, relationale Deutungen mit umfassender Nutzung von Beziehungen und flexiblen Umdeutungen, indem komplexe und umfassende Beziehungen aufgebaut und flexible, umfassende Umdeutungen vorgenommen werden.
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