Welche Gleichungen in unseren Modellen sind üblicherweise algebraisch und welche sind differential?
Algebraische Gleichungen:
Schließen Zustandsgrößen ab, wie Druck oder Temperatur.
Beispiele: Zustandsgleichungen, Beziehungen zwischen intensiven und extensiven Größen.
Differentialgleichungen:
Beschreiben die Änderung von Zustandsgrößen über die Zeit.
Beispiele: Massen-, Energie- oder Impulsbilanzen.
Was ist ein Freiheitsgrad und was sind Zustandsgrößen?
Freiheitsgrad:
Die Differenz zwischen der Anzahl der Variablen und der Anzahl der Gleichungen in einem Modell.
Zeigt an, wie viele Größen noch bestimmt oder spezifiziert werden müssen.
Zustandsgrößen:
Variablen, die den Zustand des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreiben.
Beispiele: Temperatur, Druck, Konzentration.
Wie berechnen wir die Anzahl der Freiheitsgrade und warum ist es wichtig, diese zu kennen?
Berechnung:
d=(Anzahl der Variablen)−(Anzahl der Gleichungen)
Freiheitsgrade sind die verbleibenden Variablen, die spezifiziert oder kontrolliert werden müssen.
Wichtigkeit:
Ein System ist vollständig bestimmt, wenn alle Freiheitsgrade spezifiziert sind.
Wenn zu viele Freiheitsgrade vorhanden sind, kann das System unterbestimmt sein.
Wie können Freiheitsgrade klassifiziert werden?
Klassifikation:
Eingangsgrößen (Input Variables): Können sich zeitlich ändern und werden gesteuert oder sind Störgrößen.
Parameter: Zeitlich fest, wie z.B. Konstruktionsparameter oder Materialeigenschaften.
Materialeigenschaften: Gegeben in den konstitutiven Gleichungen.
Naturkonstanten: Wie die Gravitationskonstante oder die universelle Gaskonstante.
Wann ist ein System vollständig bestimmt?
Ein System ist vollständig bestimmt, wenn:
Die Gleichungen unabhängig sind.
Alle Freiheitsgrade spezifiziert sind (als Konstanten oder als zeitabhängige Funktionen).
Die korrekte Anzahl von Anfangsbedingungen vorliegt.
Was könnten Quellen der Nicht-Glattheit (nonsmoothness) in einem Modell sein?
Quellen der Nicht-Glattheit:
Hybridsysteme: Systeme, die ihre Struktur ändern (z.B. Phasenwechsel, Ventilbruch).
Stückweise definierte konstitutive Gleichungen: Wechsel zwischen laminarer und turbulenter Strömung.
Nonsmooth Inputs: Änderungen der Eingangsgrößen, die diskontinuierlich sind.
Ereignisse: Zeit- oder zustandsabhängige Ereignisse wie z.B. ein Überlauf in einem Tank.
Was ist ein hybrides Modell?
Hybrides Modell:
Ein Modell, das eine Kombination aus kontinuierlichen und diskreten Dynamiken aufweist.
Kann strukturelle Änderungen im System enthalten, z.B. Phasenwechsel oder das Öffnen/Schließen eines Ventils.
Was ist ein Modell mit Zeitverzögerung?
Modell mit Zeitverzögerung:
Ein Modell, das Verzögerungen in den Eingangs- oder Ausgangsgrößen berücksichtigt.
Beispiel: Verzögerung bei der Messung von Konzentrationen oder Temperaturen durch Sensoren.
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