2.9 Conduzione

Tornando alla conduzione, considerando sempre un campo scalare di temperatura. Il problema della conduzione si risolve conoscendo questo campo scalare F, dove T rappresenta la temperatura. Ogni punto del nostro corpo generico sarà caratterizzato da una coordinata x, y, z e in un istante t del nostro dominio del tempo avrà un certo valore di temperatura.

Per un dato punto, possiamo identificare un versore n, che rappresenta la direzione e il verso del flusso termico. Quindi posso scrivere q’’n = - λ per ∂T/∂n versore n. Questo è il flusso termico specifico lungo il versore n generico. Se vogliamo descrivere questo in funzione degli assi, lo possiamo sempre scrivere come - λ che moltiplica ∇T. In questo caso ci siamo ricondotti alla nostra terna di assi cartesiani.

Il caso più semplice che vediamo è quello monodimensionale, lungo l’asse x sarà q’’x = - λ per ∂T/∂x per n, nel caso della parete piana.

Facciamo il caso bidimensionale. Per esempio, un oggetto dove possiamo individuare una superficie a temperatura T₁ e qui una temperatura T₂. Abbiamo una geometria particolare che fa si che si generino delle superfici isoterme di questo tipo. Prendiamo come sistema di riferimento x e y, queste sono delle superfici isoterme; immaginiamo questo corpo tridimensionale che entra dentro alla lavagna. Il flusso termico è bidimensionale, perché ogni punto del corpo è caratterizzato da un flusso termico specifico, che ha una direzione. Questo lo posso scomporre nelle due coordinate, cioè nella componente lungo x e nella componente lungo y.

Il caso tridimensionale è più complicato perché ci sono tutte e tre le componenti. Possiamo scrivere al posto  di - λ per ∂T/∂x ī, q’’x perché rappresenta il versore lungo x, oppure q’’y.

λ è la conduttività, che nella nostra trattazione consideriamo costante e isotropa, quindi ogni punto del nostro corpo è fatto da un materiale la cui conduttività è costante ed è uniforme, quindi ogni punto ha conduttività uniforme e non ha direzione, quindi non c’è una variazione di questa proprietà lungo una certa direzione. È costante in tutte le direzioni. Questa proprietà può andare da valori bassi fino a valori molto elevati. I solidi cristallini come metalli come rame, argento hanno conduttività molto elevate. Mentre gli isolanti hanno conduttività di qualche millesimo di W su m K.

La conduttività dipende anche dalla temperatura. Se prendiamo i gas e i liquidi, questo valore λ varia con la temperatura; per variazioni molto elevate di temperatura, troviamo altrettante variazioni di λ. Nei conti che facciamo però consideriamo λ costante con la temperatura.

Con i liquidi e con i gas vedremo nella convezione come λ lo assumiamo variabile con la temperatura. Vedremo qualche caso in cui dovremo scegliere dei valori ben precisi, in funzione con la temperatura del sistema.

Con l’equazione del calore andiamo a risolvere il problema della conduzione. Otteniamo l’equazione del calore generica per un caso tridimensionale a regime variabile e poi vediamo come da questa equazione del calore sia possibile semplificarla per andare a studiare dei casi più semplici monodimensionali e dimensionali.

Per ottenere l’equazione del calore, il cui obbiettivo è trovare questa funzione, quindi risolvendo l’equazione del calore otteniamo questa funzione, la prima cosa che dobbiamo considerare è una generica superficie, quindi quella superficie ipotizziamo che abbia area A e scomponiamo questa generica superficie tridimensionale in tanti piccoli quadrati di area dA. Per ognuno di questi quadratini, possiamo individuare un versore n, ortogonale alla superficie infinitesima dA e individuiamo un flusso termico specifico q di direzione generica. q è un flusso termico termico generico che esce dalla nostra area infinitesima, ha verso uscente dall’area e direzione qualsiasi. 

La potenza totale che esce da quest’area la possiamo calcolare come integrale di area del prodotto scalare q  • n dA. Prendiamo ogni piccolo quadratino dA e per ognuno di questi andiamo a fare il prodotto scalare q per n. In questo modo troviamo per ogni quadratino la potenza uscente ortogonale, poi per trovare l’energia totale uscente in un certo periodo di tempo Δt, facciamo l’integrale che va da t₁ a t₂ di q n dA dt. Quindi prendiamo la potenza totale, la integriamo nel tempo e otteniamo l’energia che sta uscendo dalla superficie.

Immaginiamo che la superficie di prima racchiuda un volume di controllo, caratterizzata da un’area superficiale A, da un volume V e consideriamo delle quantità infinitesime di calore scambiato. ∂Qe è una quantità infinitesima di calore che viene scambiata, è positiva se entrante e negativa se uscente. ∂ perché dipende dal percorso, non è un differenziale esatto. Qui dentro possiamo generare una certa quantità di energia termica ∂QG; se consideriamo questo sistema come un sistema solido, fisso e indeformabile, che scambia calore con l’ambiente esterno, possiamo applicare il 1° Principio e dire che ∂Qe + ∂QG è uguale alla variazione infinitesima di energia interna.

∂Qe la posso calcolare come - dt per l’integrale di prima sull’area A di q • n dA. Il segno - perché quando Qe è uscente e la potenza termica sta uscendo dalla superficie, per convenzione termodinamica la potenza e l’energia scambiata sottoforma di calore è negativa.

Per il teorema di Gauss in forma differenziale, possiamo scrivere questo integrale di superficie come un integrale di volume, dove appare il nostro ∇. Questo teorema mi permette di scrivere la potenza termica scambiata sulla superficie rispetto al volume.

A questo punto, se andiamo a sostituire, ∇ q è pari a, secondo il postulato di Fourier a ∇ (- λ ∇ T), quindi sarebbe - λ, che porto fuori perché lo consideriamo costante e non dipendente dalla direzione, laplaciano di T. Quindi ∂Qe è dt per l’integrale di volume di λ ∇² T dV, - con - si semplifica. 

∂QG lo possiamo scrivere come dt, integrale di volume di q’’’G dV, che è uguale a dt per l‘integrale di volume di qG punto dV. Quindi q’’’G o qG punto è la potenza generata per unità di volume.

Iniziamo già a capire come risolvere questa equazione; ho riscritto ∂Qe come dt integrale di volume, ho riscritto ∂QG come dt integrale di volume. dU lo scrivo come dt integrale di volume di ρ per c per dT su dt in dV.

Questo deriva dalla definizione del calore specifico, che è du su dT, quindi possiamo scrivere m per du uguale a ρ V c dt = dU.

Se andiamo ad unire tutto, dt ce l’ho per tutti i termini, quindi lo porto fuori, poi avrò l’integrale in volume di λ ∇² T in dV + qG punto dV poi dU sarebbe al secondo membro, lo porto al primo e ci metto il segno -, uguale a 0. Quindi semplificando ottengo che λ ∇² T + qG punto è uguale a ρ c per ∂T su ∂t. La temperatura dipende anche dallo spazio e non solo dal tempo. Questa è l’equazione del calore, è un’equazione differenziale con derivate parziali, di secondo grado. L’incognita di questa equazione è il campo di temperatura T. Risolvendo questa equazione com opportune condizioni al contorno, riusciamo a trovare T = f(x, y, z, t).

Le condizioni al contorno che possiamo applicare sono di due tipi:

• Condizioni iniziali, quando abbiamo il secondo termine, quindi siamo in regime variabile perché la temperatura dipende dal tempo, dobbiamo conoscere all’istante zero le temperature di tutti i punti del nostro sistema, quindi T₀ = f(x, y, z, 0), quindi all’instante iniziale della nostra analisi occorre conoscere la temperatura.

• Oppure se non abbiamo condizioni iniziali di questo tipo, significa che la seconda parte dell’equazione non c’è, perché siamo in condizioni stazionarie, quindi in questo caso, per risolvere il problema ci bastano solamente le condizioni al contorno, che possono essere di tre tipi:

  1. Possiamo avere una T(x = 0) costante, quindi la temperatura superficiale costante che possiamo avere quando imponiamo una certa coordinata, ad esempio T(x = 0).

  2. Oppure possiamo avere un flusso monodimensionale costante, quindi un flusso specifico costante per un certo contorno, per esempio il contorno x = 0.

  3. L’ultima condizione al contorno possibile è quella con condizione convettiva costante. Quindi h per A  per Ts - T∞, Ts che si ha per x = 0 è costante. Quindi una certa porzione del nostro sistema si trova in condizioni convettive. Qui conosciamo il coefficiente convettivo h.

Nel caso più generale, occorre avere una condizione iniziale e due condizioni al contorno per risolvere queste equazioni. Andiamo a vedere dei casi più semplici.

Dal caso generale possiamo arrivare a dei casi semplificati. Il caso più semplice è il caso monodimensionale. Nel caso monodimensionale con generazione di energia distribuita sul volume, abbiamo λ per ∇² T + qG punto = ρ c ∂T su ∂t. Nel caso monodimensionale, il flusso termico è monodimensionale. Se abbiamo generazione, mantiene questo termine qG punto, in più, se non siamo in regime stazionario, abbiamo anche il termine a secondo membro.

Se non abbiamo generazione di calore, qG punto va a zero.

In più, se non abbiamo variabilità nel tempo, quindi siamo in condizioni stazionarie, possiamo scrivere λ per ∂²T su ∂x² = 0, cioè il secondo termine va a zero. Questo è il caso del regime stazionario senza generazione. In questo caso, possiamo scriverlo anche portando il λ all’interno della prima derivata, come anche negli altri casi. Questo perché λ è costante.

A volte possiamo riscrivere quest’equazione raggruppando λ a c, quindi possiamo scrivere α ∇² T + qG punto fratto ρ c, uguale alla derivata parziale della T rispetto al tempo, dove α è λ su ρ per c ed è una proprietà che si chiama diffusività termica.

In questo modo, otteniamo un’altra definizione, che è la proprietà di diffusitività termica, che dipende dalla  conduttività, dalla densità e dal calore specifico, quindi è una proprietà termofisica che quantifica il trasporto di energia sottoforma di calore all’interno del nostro corpo. Maggiore è α, maggiore è il trasporto di calore nel corpo, più veloce è il trasporto di calore nel corpo.

In funzione di quello che è poi il nostro problema reale, andiamo a semplificare l’equazione del calore, quindi otteniamo un’equazione semplificata per trovare l’andamento di temperatura all’interno del nostro corpo.

Facciamo il caso più semplice che è la parete piana, mi aspetto di ottenere un andamento lineare della temperatura. Prendiamo la parete piana, senza generazione, in regime stazionario. Imponiamo una temperatura superficiale 1, maggiore rispetto alla temperatura superficiale 2. La nostra parete ha spessore L. Ipotizziamo una conduttività λ costante e immaginiamo la parete piana con un’area frontale A = B • H. 

Al posto di ∇ abbiamo la derivata totale, se Ts₁ > Ts₂, abbiamo un flusso monodimensionale q’’x che va dalla faccia 1 alla faccia 2. La nostra equazione non ha il termine qG punto, perché siamo in regime stazionario e quindi questo termine si elide, perché la temperatura non dipende dal tempo, quindi rimane λ ∇² = 0. λ per definizione è maggiore di 0 e quindi la possiamo semplificare. Rimane ∇² = 0, semplifichiamo ulteriormente perché è un flusso monodimensionale, quindi abbiamo d²T rispetto a x due volte dx = 0, quindi vogliamo arrivare ad una funzione T(x) = …

Quindi andiamo ad integrare e se integriamo otteniamo integrale indefinito con A₁ a sinistra e a destra A₂. Poi integriamo un’altra volta. La nostra funzione generale è C₁x + C₂. Per trovare le costanti dell’integrale C₁ e C₂, applichiamo le condizioni al contorno che conosciamo.

Essendo un regime stazionario, non abbiamo delle condizioni iniziali di temperatura, però abbiamo bisogno di due condizioni al contorno. La prima è T per x = 0 che è pari a Ts₁, la seconda è T per x = L che è pari a Ts₂. Andando a sostituire, ho che T per x = 0 ho C₁ 0 + C₂ , quindi ottengo che C₂ = Ts₁. Nella seconda ottengo che  Ts₂  è uguale a C₁ L + C₂ che è Ts₁. Quindi ottengo che C₁ è Ts₂ - Ts₁/L.

Questo è un valore negativo perché Ts₂ - Ts₁ nel nostro caso specifico è negativo, quindi l’andamento per forza è lineare, quindi abbiamo dimostrato che questo andamento è lineare e va da Ts₁ a Ts₂. Si parte con Ts₁ e poi si scende con coefficiente negativo all’aumentare della x da 0 ad L.

La potenza termica scambiata la otteniamo da Fourier, quindi - λ dT/dx = - λ Ts₂ - Ts₁/L.

La potenza termica totale invece è q’’x per A e quindi λ A per Ts₁ - Ts₂/L.

Ora parliamo di circuiti elettrotermici. Partiamo sempre dal nostro caso parete piana. Se al posto di temperature costanti superficiali, abbiamo condizioni convettive, avremo un andamento di questo tipo, per cui abbiamo T∞₂, coefficiente convettivo h₂ e poi abbiamo T∞₁, coefficiente convettivo h₁.

Quindi la potenza termica scambiata per convezione nello strato limite termico interno sarà q’’conv₁, uguale a h₁ che moltiplica T∞₁ - Ts₁. In termini di potenza sarà da moltiplicare per l’area h₁ per A per T∞₁ - Ts₁.

Poi abbiamo la parte centrale dove abbiamo una potenza scambiata per conduzione, e la chiamo qcond, che sarà Ts₁ - Ts₂/L che moltiplica λ per A e l’ultima potenza in gioco è la convettiva 2, che sarà h₂ per A per Ts₂ - T∞₂. Queste tre potenze sono uguali, perché prima si scambia calore per convezione tra l’area interna e la parete, poi si ha conduzione e poi si ha convezione con l’area esterna.

Quindi abbiamo visto come si trasporta il calore attraverso una parete piana, attraverso due meccanismi, il meccanismo della conduzione e della convezione, in più possiamo utilizzare l’analogia elettrotermica che ci dice che la resistenza elettrica di un conduttore è pari alla differenza di potenziale misurata ai capi del conduttore, diviso la corrente.

Allo stesso modo possiamo definire una resistenza termica come un ΔT/q.

Per cui, adottando questa analogia, se identifico come ΔT = Ts₁ - Ts₂, posso scrivere che q’’conv₁ è uguale a  ΔT/RT. Quindi la resistenza termica è L/λ per A in K/W . La resistenza termica in questo caso è conduttiva.

Per la parte convettiva è h₁ A per T∞₁ - Ts₁, che la possiamo scrivere come ΔT diviso R termica convettiva. In questo caso ΔT è T∞₁ - Ts₁ e R termica convettiva è 1/h₁ per A in K/W.

Abbiamo definito due tipi di resistenze termiche, una che si calcola partendo dal coefficiente convettivo h e dall’area frontale, l’altro invece che dipende dalla conduttività λ e dallo spessore del materiale e dalla sua area frontale, che è quella conduttiva. Queste due sono definizioni da ricordare e permettono di affrontare quasi tutti i problemi di geometria piana.

Se noi consideriamo la parete, possiamo definire una resistenza totale di parete, come la somma delle tre resistenze. Dobbiamo calcolare la potenza totale dalla temperatura T∞₁ alla temperatura T∞₂ come T∞₁ - T∞₂, diviso la resistenza totale, cioè la somma di R connettivo 1 + R conduttivo e R convettivo 2.

Si definisce anche un’altra resistenza convettiva radiativa, se consideriamo una superficie piana calda, che scambia calore con una cavità che si trova ad una temperatura Tcav.

Il calore scambiato per irraggiamento tra Ts e Tcav, quindi nostro Q radiativo possiamo scriverlo come Ts - Tcav, diviso R radiativo, dove la resistenza termica radiativa è 1/h radiativo per l’area della superficie A.

Possiamo avere dei casi in cui la nostra parete piana è composta da più strati, quindi si parla di parete composite o stratificate. Quindi consideriamo una parete piana con due strati, uno strato A e uno strato B, uno a contatto con l’altro. Individuiamo tre temperature, Ts₁, Ts₂ e Ts₃, le temperature riguardanti le pareti e due temperature riguardanti l’area interna T∞₁ e l’area esterna T∞₃, con il suo coefficiente convettivo h₃.

Si può notare che il materiale A e il materiale B abbiano due conduttività differenti, perché nel primo caso si ha un rapido calo di temperatura, mentre tra Ts₂ e Ts₃ il calo non è così marcato.

Il materiale A è un materiale isolante, perché a parità di potenza teorica trasmessa, Q punto è lo stesso nello strato A e nello strato B.

Possiamo scrivere che Ts₁ - Ts₂ diviso resistenza termica dello strato A è uguale a Ts₂ - Ts₁ diviso resistenza termica dello strato B.

Quando Q punto è costante e ΔT è grande, significa che la resistenza RT è maggiore della resistenza RTB, quindi visto che la resistenza conduttiva è L diviso λ per A, il valore maggiore di resistenza si ha quando λ è basso, quindi quando λ è caratteristico di un isolante.

Infatti l’obbiettivo dell’isolante è tenere l’ambiente interno molto caldo rispetto l’ambiente esterno, ci deve essere una grande differenza di temperatura tra interno ed esterno, mentre il materiale conduttivo ha una differenza di temperatura più bassa, quindi un conduttore. Questa potenza termica la possiamo scrivere anche come T∞₁ - T∞₃, diviso RTOT, che sarà pari a R convettivo 1 + R conduttivo A + R conduttivo B + R convettivo 3. A lo posso raccogliere.

Ho raccolto l’area A, quindi scriverò RTOT per A e posso definire un coefficiente globale di scambio termico come 1 su RTOT per A, questa al posto della resistenza è conduttanza o detta anche trasmittanza termica U per una parete composita.

Quindi la potenza termica Q punto per una parete, la possiamo calcolare come U per A per T∞₁ - T∞₃. Il valore U di trasmittanza termica è normato per le pareti di costruzione, quindi qualsiasi nuova costruzione deve avere dei valori di U ben definiti, sotto un certo livello massimo. Questi dipendono dai coefficienti convettivi ma anche dagli interni, tipo le finestre.

Abbiamo visto ieri la formula per il calcolo della resistenza totale. Possiamo aiutarci nel comprendere il fenomeni di trasporto di calore, utilizzando la rete di resistenze termiche equivalenti.

Per ogni punto della rete possiamo mettere una temperatura; partiamo con T∞₁, poi ogni resistenza della rete rappresenta la resistenza termica. La prima sarà 1/h₁ per A, poi abbiamo Ts₁, abbiamo la resistenza conduttiva LA diviso λA per A, poi abbiamo Ts₂ con un’altra resistenza conduttiva, LB diviso λB per A, poi Ts₃ e infine abbiamo l’ultima resistenza convettiva, per arrivare a T∞₃, che è 1/h₃ per A. A è B • H.

In più possiamo indicare con Q punto la potenza termica che attraversa questa rete, quindi entra a sinistra, attraversa tutta la rete ed esce a destra, come se fosse una corrente. 

Possiamo anche semplificare problemi bidimensionali con diversi strati di parete piana, utilizzando il concetto di reti di resistenze termiche equivalenti.

Facciamo un altro esempio con una parete piana multistrato. Abbiamo 4 materiali, il materiale A con la sua conduttività λA, il materiale B con la sua conduttività λB, il materiale C con la sua conduttività λC  e il materiale D con la sua conduttività λD. Questi materiali hanno lo spessore LA, LB = LC e lo spessore LD.

Possiamo immaginare il problema simile ad una porta con finestra. Per esempio il materiale B è una finestra e il materiale C invece è il materiale che forma la parte plastica o murale.

In funzione delle caratteristiche del materiale, in particolare in funzione di λB e λC, possiamo avere due casi:

1. Il primo caso quando λB è simile a λC e la rete equivalente sarà formata da una resistenza convettiva 1, una resistenza conduttiva A, poi, siccome λB = λC, all’interfaccia tra il materiale A con il materiale B, ci sarà la stessa temperatura tra il materiale A e il materiale C, perché hanno le stesso spessore e la stessa conduttività, per cui posso considerare una resistenza conduttiva e un parallelo di due resistenze conduttive R conduttivo B ed R conduttivo C. Poi alla fine abbiamo un R conduttivo D e un R convettivo 4, quindi T∞₄. Il calore si trasporta per convezione dall’area al materiale A, attraverso il materiale A si divide nel materiale B e C, si riunisce nel D e poi torna ad uscire, formando una rete di resistenze. Questo quando le due conduttività sono simili.

2. Se le due conduttività non sono simili, λB ≠ λC, quindi magari il materiale B è un isolante e il materiale C è un conduttore. In questo caso, la rete di resistenze è diversa, perché parte sempre dalla resistenza convettiva esterna, poi parallelo, perché se i due materiali sono molto diversi, le temperature sono altrettanto diverse. Abbiamo R convettiva 4 in fondo, questa è R conduttiva del materiale A/2, quesa è R conduttiva del materiale A/2, perché si divide in due l’area, poi abbiamo la R conduttiva del materiale B, la R conduttiva del materiale C, poi abbiamo la R conduttiva del materiale D/2 e la R conduttiva del materiale D/2. Perché questo? Perché le temperature all’interfaccia non sono costanti, quindi se abbiamo una divisione abbastanza equa delle varie potenze permesse, quindi abbiamo q/2 e q/2, qui abbiamo q. Siccome R conduttivo B è molto diverso da R conduttivo C, c’è uno squilibrio che è maggiore all’aumentare della differenza tra le due conduttività, quindi la maggior parte della potenza attraverserà la rete con la resistenza minore. Se per esempio λB è molto inferiore rispetto a λC, vorrà dire che la maggior parte della potenza passerà dal ramo C che ha una resistenza minore. Di solito queste ipotesi sono valide nel caso in cui hanno una grande differenza, ad esempio isolante o conduttore o sono molto simili. Nei casi intermedi, quando λA è pari a 1 e λB è 1.5, questo modo di procedere non dà risultati fisicamente coerenti, perché si instaura un flusso termico bidimensionale, quindi non possiamo ottenere dei risultati corretti in questo modo.

Per risolvere questa rete, quindi per trovare la resistenza totale di questa rete, vado a fare R convettivo 1 + R conduttivo + R connettivo 4, vado a sommare il parallelo di questi due. Quindi quest’ala la trasformo in una resistenza in serie e poi faccio la sommatoria di tutte le resistenze.

Per risolvere quelle reti di resistenza, sappiamo che quando siamo in serie, la resistenza è data dalla sommatoria delle resistenze i-esime. Quindi se abbiamo resistenze in serie, ad esempio se ne abbiamo tre in serie, la somma di queste tre resistenze dà la resistenza totale di questo ramo.

Quando invece siamo in parallelo, la resistenza si calcola come 1/ sommatoria di 1/ Ri per i che va da 1 ad n.

Per calcolare R conduttivo su A/2 lo possiamo calcolare prendendo metà dell’area. 

Se abbiamo due resistenze in parallelo, possiamo fare il prodotto tra le due, diviso la somma.

Finora abbiamo fatto l’ipotesi di contatto perfetto, cioè tra queste due pareti non c’è nessuno strato d’aria tra una parete e l’altra. Quando non abbiamo un contatto perfetto, quindi una parete e la parete di fianco, in mezzo ci sono dei punti di contatto e dei punti in cui abbiamo un materiale diverso, possiamo avere ad esempio dell’aria oppure in alcuni casi, per migliorare il contatto, viene posto uno strato di olio o di grasso o di materiale siliconico che va a riempire i buchi che ci sono.

Essendo il materiale differente rispetto a quello di partenza, quando consideriamo dei contatti non perfetti, quindi solamente quando ipotizziamo dei contatti non perfetti, introduciamo il concetto di resistenza di contatto fra superfici due superfici solide e la nostra resistenza di contatto. Nei problemi di isolamento possiamo evitare di considerare la resistenza di contatto, nei problemi di dissipazione (microprocessori o superfici che devono essere raffreddate con delle superfici alettate), la resistenza di contatto è la resistenza che limita la potenza dissipata.

Quindi q’’ è TA - TB diviso R’’c, questa è la nostra resistenza di contatto che possiamo scrivere come TA - TB, diviso q’’. È una potenza specifica e la sua unità di misura è m² K/W.

Di solito, negli accoppiamenti quando si compra un dissipatore per microprocessori, viene fornito dal produttore il dato di resistenza di contatto specifica tra questo microprocessore e i sistemi di raffreddamento. Poi se vogliamo la resistenza di contatto non specifica, quindi Rc, dobbiamo dividere per l’aria di contatto. Di solito la resistenza di contatto viene data in termini specifici e viene valutata sperimentalmente con delle prove empiriche, si va a misurare in funzione di alcuni parametri, tipo la temperatura di questo pacco di raffreddamento e poi si ricava la potenza termica scambiata e da quella si ricava la potenza termica di contatto.

L’aria ha una resistenza molto più elevata, piuttosto che grassi siliconici che vengono utilizzati negli accoppiamenti tra oggetti che devono dissipare calore.

Anche la pressione di contatto è fondamentale. Immaginiamo che due oggetti siano tenuti uno di fianco all’altro da dei bulloni. Più i bulloni spingono e mettono a contatto i due oggetti, la superficie si deforma, diminuisce l’intercapedine d’aria e quindi diminuisce la resistenza di contatto fino ad un certo punto, oltre ad un certo valore la rugosità superficiale fa da padrona e quindi non si riesce ad abbassare la resistenza di contatto. Quindi la resistenza di contatto dipende anche dalla pressione di contatto. Quando si vanno a montare i dissipatori per i microprocessori, vengono montati con delle viti, nelle quali viene indicata la coppia di serraggio, che genera una certa pressione di contatto che deve essere rispettata per avere poi la resistenza di contatto nominale.

Finora abbiamo visto esempi con condizioni al contorno ben delineate e assenza di generazione di calore. Ora guardiamo un caso di parete piana con generazione di calore.

All’interno della nostra parete si ha un fenomeno, che può essere una resistenza elettrica, una relazione chimica o nucleare, che fa sì che si generi un’energia dissipata sottoforma di calore. Consideriamo la parete piana, in questo caso consideriamo un suo asse di simmetria e una coordinata x che parte dall’asse di simmetria. Quindi non prendo la superficie interna come punto di partenza.

Il primo caso che vediamo è generazione di energia in condizioni asimmetriche, quindi abbiamo una temperatura Ts₁ lungo questa parete e una temperatura Ts₂ più bassa lungo quest’altra parete e in più qui dentro si genera una certa potenza volumetrica ben distribuita lungo tutto il volume della parete, quindi ogni punto della parete genererà una certa potenza volumetrica. Quello che io voglio valutare è l’andamento di temperatura. Per la parete interna parto da Ts₁ e devo arrivare a Ts₂. Quello che mi chiedo è il tipo di andamento. Per andarlo a scoprire, devo risolvere l’equazione de calore. 

In questo caso siamo in condizioni stazionarie e abbiamo condizioni al contorno Ts₁ e Ts₂ che sono sufficienti a risolvere il problema. In questo caso abbiamo d²T su dx² per λ + qG punto, uguale a ρ c V per dT su dt. Siamo in condizioni stazionarie, quindi il secondo membro lo possiamo elidere, come possiamo anche riscrivere questa formula in questo modo.

Divido tutto per λ, poi vado ad integrare, posso portare qG punto dall’altra parte, quindi uguale a - qG punto su λ. Integro due volte. La prima volta, integrando tutti e due i membri, ottengo dT/dx + A₁ = - qG punto diviso λ per x + A₂. Integro un’altra volta ambo i membri e ottengo T + A₁ x + B₁ = - qG punto x² diviso 2 λ + A₂ x + B₂. Poi faccio un cambio di variabile e chiamo B₂ - B₁, C₂ e A₂ - A₁, C₁.

Ottengo la formula generale T che è funzione di x, che è - qG punto x² diviso 2 λ + C₁ x + C₂.

Ora vado ad applicare le condizioni al contorno. Mi aspetto qualcosa di quadratico, quindi una parabola. T per x = - L è pari a Ts₁, perché ho messo l’asse in mezzeria della parete, mentre T per x = L è uguale a Ts₂. Quindi con queste due condizioni al contorno dovrei riuscire a risolvere il problema.

Adesso l’obbiettivo è andare a calcolare C₁ e C₂. Quindi posso fare Ts₁ - Ts₂, quindi andando a sostituire avremo - qG punto per (-L)² diviso 2 λ + C₁ per - L + C₂ - qG punto per L² diviso 2 λ + C₁ L + C₂. Se andiamo a sostituire, abbiamo che i C₂ si elidono, - L² diventa L², quindi questi due si elidono.

Possiamo risolvere per C₁ e salta fuori Ts₁ - Ts₂ diviso - 2L, altrimenti sarebbe Ts₂ - Ts₁ con L positivo.

Per calcolare la costante C₂, andiamo a fare la somma Ts₁ + Ts₂, quindi abbiamo - qG punto per -L² diviso 2 λ + C₁ L + C₂ - qG punto per L² diviso 2 λ + C₁ L + C₂. Quindi C₂ sarà Ts₁ + Ts₂ diviso 2 + qG punto per L² diviso 2 λ.

Andando a sostituire nell’equazione generale, ottengo che T in funzione di x è uguale alla formula scritta.

Posso fare delle semplificazioni, raccogliendo dei termini. L’andamento è di tipo parabolico.

Se, invece di avere condizioni asimmetriche, quindi Ts₂ è diverso da Ts₁, abbiamo che Ts₁ = Ts₂, quindi abbiamo condizioni simmetriche. Basta guardare questa formula, questo termine Ts₂ - Ts₁ diviso 2L si elide e rimane Ts₁ in fondo. Generalmente lo possiamo chiamare Ts.

L’andamento sarà simmetrico. In mezzeria abbiamo che T per x = 0 sarà qG punto L² diviso 2λ + Ts. In questo specifico punto, se andiamo a fare la derivata della funzione, abbiamo che la derivata è nulla, quindi in mezzeria si hanno condizioni adiabatiche, quindi non si ha scambio termico. 

Il flusso termico è nullo e appena ci spostiamo, si ha un po’ di flusso termico. Però esattamente in mezzeria le condizioni sono adiabatiche, per cui posso anche semplificare il problema, considerando solo metà parete.

Che cosa succede all’interfaccia, se invece di avere una temperatura Ts costante, abbiamo un coefficiente convettivo? Quindi se io cambio la mia condizione al contorno, nello scambio termico convettivo, caratterizzato dal coefficiente h alla temperatura T∞, posso dire che la potenza termica scambiata per convezione è h per Ts - T∞.

Per il bilancio termico superficiale che abbiamo visto, se prendiamo solamente la superficie esterna, avremo che il flusso termico specifico conduttivo deve essere uguale al flusso termico specifico convettivo, se facciamo un bilancio energetico superficiale e lo possiamo calcolare come - λ per dT su dx per x = L. Se la deriviamo rispetto a x, salta fuori - qG punto per L x, diviso λ. x lo poniamo uguale ad L, quindi è - qG punto per L, diviso λ. Questo sarebbe - λ per - qG punto per L, diviso λ, i λ si semplificano, come i meno e rimane qG punto per L.

Quindi se io vado ad eguagliare qG punto per L ad h per Ts - T∞, da qui posso calcolare Ts, che è qG punto per L, diviso h + T∞. Conoscendo h e T∞, posso andare a ricavare Ts, che metto qui dentro e quindi ricavo l’andamento di temperatura, imponendo il flusso termico convettivo.

Passiamo ora alla geometria cilindrica. Consideriamo un cilindro senza generazione di energia in regime stazionario. E imponiamo che questo cilindro sia cavo, quindi è una tubazione con sezione a forma circolare, raggio interno r₁, raggio esterno r₂ e imponiamo le condizioni al contorno di temperatura. Quindi sulla superficie esterna della tubazione abbiamo una temperatura uniforme costante Ts₁ e sulla superficie esterna abbiamo una temperatura uniforme costante Ts₂.  

E’ sempre un problema monodimensionale, ma in geometria cilindrica, quindi mettiamo una coordinata radiale r. La forma del calore è il laplaciano della temperatura = 0, però per risolvere il problema, dobbiamo passare da coordinate cartesiane a coordinate cilindriche. Questo passaggio fa sì che per la simmetria del problema, dobbiamo passare da x, y, z, ad un sistema di riferimento dove abbiamo r, ϑ e z, dove r è la coordinata radiale, ϑ è l’angolo e z è la profondità del nostro tubo. Per passare da un sistema di riferimento ad un altro c’è una trattazione che non è da sapere.

Dobbiamo ricordare solamente che in questo caso, per condizioni simmetriche, abbiamo che la derivata parziale della temperatura rispetto a ϑ è uguale a 0, quindi ogni punto del cilindro interno e esterno sono alla stessa temperatura, cambiando la coordinata ϑ, si cambia anche la coordinata z. Anche ∂T/∂z = 0, quindi abbiamo uno scambio termico monodimensionale, che segue solamente la coordinata radiale r, quindi ogni punto del nostro tubo, avrà un andamento di temperatura dall’interno verso l’esterno uguale, è di tipo logaritmico fra Ts₁ e Ts₂.

Andiamo a risolvere l’equazione del calore. Otteniamo una forma simile a quella che si otteneva nella geometria piana; al posto della x ci vuole la r, al posto del λ la r.

Dobbiamo andare ad integrare due volte. Se integriamo una volta, abbiamo r dT/dr. Questa volta faccio la derivata totale, perché dipende solamente da r, poi avrò + A₁ = A₂. 

Facciamo un passaggio intermedio e otteniamo dT/dr = A₂ - A₁/r. Integriamo un’altra volta e abbiamo che T + B₁ = A₂ - A₁ per ln r + B₂. Sostituiamo C₁ come A₂ - A₁ e C₂ come B₂ - B₁ e otteniamo la formula generale, T che è funzione di r = C₁ ln r + C₂.

Andiamo ad imporre le condizioni al contorno, quindi T per r = r₁ che è Ts₁ e T per r = r₂ che è Ts₂. Per risolvere il problema facciamo Ts₂ - Ts₁, perché ci viene più comodo per la risoluzione. Quindi dobbiamo sostituire.

I C₂ si elidono. ln A - ln B è uguale a ln di A su B, quindi questo risulta essere pari a C₁ ln r₂/r₁, quindi C₁ è uguale a Ts₂ - Ts₁ diviso ln r₂/r₁. Andiamo a sostituire direttamente in T(r = r₁), quindi ci metto direttamente il valore di C₁ che abbiamo appena trovato. 

C₂ è Ts₁ - Ts₂ - Ts₁ diviso ln r₂/r₁ per ln r₂. Andiamo poi a sostituire nella formula generale T = f(r). Posso andare a raccogliere Ts₁ - Ts₂ - Ts₁ diviso ln r₂/r₁. Questa che abbiamo ottenuto è la funzione per il calcolo della temperatura.

Per calcolare la potenza, dobbiamo sempre applicare il postulato di Fourier, quindi facciamo la derivata di T rispetto ad r. L’unica cosa da derivare lì è ln r, che è 1/r, gli altri termini non dipendono da r. Il flusso termico specifico è - λ per dT/dr. Sarebbe - λ per Ts₂ - Ts₁, diviso ln r₂/r₁ e poi cambio segno e avrei λ su r che moltiplica Ts₁ - Ts₂.

Quindi la potenza qr o Qr punto, sarà pari a questa formula per l’area, che è 2 π r • L, che moltiplica questo, quindi l’r si semplifica, raccolgo λ mettendo Ts₁ - Ts₂, diviso ln r₂/r₁. Quindi questa parte cerchiata la posso definire come resistenza termica per la geometria cilindrica, ed è pari a ln r₂/r₁ diviso 2 π λ L in K/W. Questa è un’altra formula da sapere.

Se noi prendiamo la nostra tubazione, possiamo studiarla con la rete elettrotermica equivalente, quindi abbiamo T∞₁, abbiamo Ts₁, Ts₂ e T∞₂, con i coefficienti convettivi h₁ e h₂.

Quindi se abbiamo la tubazione in cui scorre del fluido, caratterizzato da una certa temperatura T∞₁ e assumiamo di conoscere il coefficiente convettivo h₁. Abbiamo lo scambio termico convettivo tra fluido e parete conduttiva nella geometria cilindrica della parete e invettiva nella geometria cilindrica nell’area esterna. 

Le formule che si usano sono simili a quelle della geometria piana, abbiamo che Qr punto è pari a T∞₁ - T∞₂, diviso RTOT. Nella rete abbiamo la resistenza convettiva interna 1, che 1 su h₁ 2 π r₁ L quando si passa da T∞₁ a Ts₁. Poi abbiamo la resistenza conduttiva in geometria cilindrica, che sarà ln di r₂/r₁, diviso 2 π λ L. Fino ad arrivare a Ts₂, poi abbiamo l’ultima resistenza convettiva fino ad arrivare a T∞₂, che sarà R convettiva 2 tra 1 su h₂ per 2 π r₂ L.

La RTOT sarà la somma di queste tre resistenze, quindi sarà R convettiva 1 + R conduttiva in geometria cilindrica + R convettiva 2. Possiamo raccogliere l’area e definire la trasmittanza in geometria cilindrica, infatti RTOT la possiamo scrivere come 1/ 2 π L per 1/ h₁ r₁ + ln r₂/r₁ diviso λ + 1/h₂ r₂. Perché ho raccolto L e 2 π.

A questo punto, dobbiamo decidere se scegliere il raggio interno o il raggio esterno. È del tutto ininfluente, perché il problema della geometria cilindrica è che l’area di scambio termico non è costante, l’area di scambio termico del cilindro interno è più piccola rispetto a quella del cilindro esterno. Se scegliamo di prendere l’area interna, quindi r₁, sarà A₁ cioè 2 π r₁ L. Dobbiamo estrapolare r₁ dalla formula, quindi RTOT è 1/A₁, quindi 1/h₁ + ln r₂/r₁, diviso λ/r₁ + 1/ h₂ r₂, diviso r₁. RTOT è 1 su A₁ U₁, dove U₁ è il coefficiente globale di scambio termico. Se facciamo lo stesso, considerando l’area esterna, otterremo lo stesso valore, però con l’area esterna 2, quindi A₂. Per cui il nostro coefficiente globale di scambio termico U₁ è diverso da U₂, perché insiste su due aree diverse. Più il tubo è sottile, più A₁ si può confondere con A₂. 

La potenza termica la possiamo scrivere considerando il coefficiente globale di scambio termico, quindi Qr punto lo possiamo scriver come U₁ A₁ per T∞₁ - T∞₂, oppure come U₂ A₂ per T∞₁ - T∞₂.

Ripartiamo dalla conduzione in geometria cilindrica. Eravamo arrivati all’esempio della tubazione con diametro noto. Abbiamo un tubo con raggio interno r₁ e raggio esterno r₂. All’interno di questo tubo abbiamo un fluido che scorre a temperatura T∞₁ indisturbata e si ha un coefficiente convettivo interno h₁. Abbiamo visto la rete di resistenze equivalenti. Quello che aggiungiamo oggi è un ulteriore strato di materiale con sezione circolare e diametro d₃ e raggio r₃. Quindi aggiungiamo un ulteriore spessore di materiale esterno, che è quello che di solito si fa nelle tubazioni, si aggiunge sempre o un materiale isolante o un materiale che aiuta a dissipare il calore.

In questo caso abbiamo la conduttività del materiale λ₁, caratterizzato da raggio interno r₁ e esterno r₂ e λ₂ la conduttività del materiale esterno. La potenza trasmessa dall’interno verso l’esterno; immaginiamo di avere aria alla temperatura T∞₃ con coefficiente convettivo h₃, questa potenza trasmessa dal fluido interno verso il fluido esterno, immaginiamo di avere la tubazione a lunghezza L nota.

La potenza termica è sempre ΔT diviso RTOT, quindi sarà T∞₁ - T∞₃, diviso RTOT. Faccio lo schema di resistenze, abbiamo T∞₁ che va a T₁, T₂. È un andamento logaritmico fino a T₂, poi abbiamo un altro andamento logaritmico fino a T₃, fino ad arrivare a T∞₃. Il flusso termico è Q punto, che attraversa tutta la rete ed esce, quindi siamo in serie. RTOT sarà la somma di queste 4 resistenze, quindi la prima è la resistenza R convettiva interna, che sarà 1/h₁ 2π L r₁, quindi area interna della tubazione, 2 π L, quindi circonferenza per lunghezza. Poi abbiamo logaritmo di r₂/r₁, diviso 2 π L λ₁, che è questa resistenza conduttiva 1, poi abbiamo la resistenza conduttiva 2 che sarà simile, avremo logaritmo di r₃/r₂ diviso 2 π L λ₂, poi abbiamo l’ultima resistenza, che è quella convettiva esterna, quindi in questo caso non consideriamo l’irraggiamento. Per ora lo trascuriamo, perché con basse differenze di temperature è un po’ più influente. Quindi resistenza convettiva 3 sarà 1/h₃ per A₃ che è 2 π r₃ L.

Possiamo raccogliere 2 π L, portarlo fuori, perché ogni termine al denominatore contiene 2 π L, quindi lo porto fuori e lo metto al numeratore. Quindi avrò al denominatore 1/h₁ + ln r₂/r₁, diviso λ₁ + ln r₃/r₂, diviso λ₂ + 1/h₃. Ho scritto un’equazione che identifica la potenza termica trasmessa dall’interno verso l’esterno.

Quello che vogliamo ottenere è individuare il raggio critico, cioè quel raggio esterno rCR, che è quel raggio esterno r₃ tale per cui Q punto è uguale a QMAX punto. Quindi faccio variare il raggio esterno r₃ da r₂ fino a +∞ per trovare la potenza massima scambiata dall’interno all’esterno.

Andiamo a rappresentare la funzione, quindi in y c’è la potenza, mente in x ci mettiamo r₂, poi il raggio critico uguale a r₃. Abbiamo la potenza massima scambiata QMAX punto in corrispondenza di r₃. Questo perché a causa del logaritmo, prendiamo solamente questi due termini, che sono quelli dipendenti da r₃. Questi due termini che sono dipendenti da r₃, uno aumenta secondo il logaritmo e l’altro diminuisce a causa di 1/R. Quindi si ha una diminuzione subito di resistenza termica, il che fa aumentare QMAX punto fino a QMAX punto, poi all’aumentare di r₃ si ha un calo ulteriore di resistenza termica. Quindi nella prima fase la resistenza totale diminuisce e aumenta la potenza termica, poi oltre QMAX punto la RTOT aumenta e quindi diminuisce la potenza teorica. Quello che voglio trovare è QMAX punto che si ha quando la derivata rispetto a r₃ è uguale a 0. Questa funzione pone costanti tutti i parametri eccetto r₃.

Se voglio fare questa derivata, posso isolare 2 π L per T∞₁ - T∞₃ per la derivata di quello che rimane, che è 1, diviso il denominatore precedente. Quindi derivo soltanto la parte del denominatore.

Devo derivare tutto questo secondo r₃.

Posso usare la derivazione della funzione composta. Se ho una funzione h(x) tutta quella funzione è una funzione g di f(x). f(x) sono le nostre due componenti che contengono r₃, g(x) è la funzione denominatore e h(x) è tutta la funzione, per cui avrò che h’(x) = g’ di f(x) per f’(x). x lo poniamo pari ad r₃, quindi h’(x) lo poniamo uguale a 0, quindi quello che otteniamo è che prima facciamo la derivata della funzione g(x), quindi della frazione, che sarà - 1/ tutto il denominatore. Questa è g’(x), poi scriviamo la f’(x), la mettiamo al numeratore ed è 1/r₃ λ₂ - 1/h₃ r₃. Quindi 1 su il denominatore è g’(x) e f’(x) è quello scritto al numeratore. Questo dev’essere uguale a 0, quindi guardo il denominatore, che non è mai nullo e non va mai a + ∞.

Se noi consideriamo r₃ nel dominio r₂, ∞ con ∞ escluso. Quindi questa parte non è mai nulla, possiamo semplificarla e arriviamo a scrivere che 1 su r₃ λ₂ - 1 su h₃ r₃² = 0, quindi per r₃ positivo in quell’intervallo possiamo semplificare r₃ e arriviamo a scrivere che r₃ è λ₂ diviso h₃, che è il raggio critico. Quindi il raggio critico è la conduttività del materiale isolante λ₂, diviso il coefficiente convettivo esterno.

Se abbiamo delle conduttività basse, quindi λ₂ intorno a 0.05 W/m K che è la conduttività del poliuretano, che è il tipico materiale isolante, comunque il raggio critico che ha le dimensioni in m è molto piccolo, perché h₃ è intorno ai valori che vanno da 10 a 100, quindi se dividiamo anche solo per 10, abbiamo un raggio critico di 5 mm. Nella pratica è molto facile avere un raggio esterno maggiore del raggio critico, perché le tubazioni partono già con un raggio iniziale, spesso maggiore del raggio critico. Ma quando dobbiamo studiare problemi di dissipazione termica, quindi cavi che devono dissipare calore, i cavi possono avere anche dimensioni molto piccole. Il materiale di cui è fatto l’isolante dei cavi è di solito materiale plastico e può avere dei valori anche di 5-10 W/m K. Quindi sono i cavi che trasportano energia elettrica con isolante plastico esterno, vengono dimensionati con un raggio esterno uguale a quello critico. In questo modo si ha la massima dissipazione di calore, quindi si riesce a diminuire il più possibile la temperatura interna del cavo, perché si scambia la quantità massima di calore verso l’esterno.

Bisogna individuare due problemi:

• Il problema dell’isolamento quando abbiamo un tubo percorso da acqua calda o acqua fredda, in quel caso il raggio esterno del tubo dev’essere maggiore del raggio critico.

• Invece problemi di dissipazione termica in cui si punta ad avere un raggio esterno dell’oggetto (oggetti cilindrici) uguale a quello del raggio critico per avere la massima dissipazione di calore verso l’esterno.

Prendiamo una calotta sferica di un materiale con conduttività λ. Il raggio interno della sfera vuota, che ipotizziamo a temperatura superficiale Ts₁ e all’esterno abbiamo un’altra sfera di raggio r₂ a temperatura superficiale Ts₂. Voglio ottenere l’andamento di temperatura e la potenza termica scambiata dalla superficie interna verso la superficie esterna, poi dopo vediamo anche il caso convettivo, come abbiamo visto per la parte piana.

Ipotizziamo Ts₁ > Ts₂. Partendo da queste condizioni al contorno, temperatura interna della calotta sferica Ts₁, temperatura esterna della calotta sferica Ts₂, vogliamo calcolare la potenza termica.

Il problema è calcolare Q punto, cioè Ts₁ - Ts₂, diviso RT, in geometria sferica. Ipotizzo una conduzione monodimensionale, parto dall’equazione del calore.

Il laplaciano della temperatura uguale a zero, per risolvere il problema conviene passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate sferiche, quindi da x, y, z si deve passare a r, ϑ e γ. r è il raggio, ϑ e γ sono due angoli, ad esempio l’angolo ϑ è questo, invece l’angolo γ è ortogonale, immaginiamo  che ogni punto della circonferenza è identificato da un angolo γ, dato r, ϑ e γ, possiamo identificare ogni punto della nostra calotta.

Andiamo direttamente alla scrittura dell’equazione del calore, dove abbiamo che ∂T/∂ϑ è uguale a ∂T/∂γ = 0 per la simmetria del problema. Impongo un flusso monodimensionale dall’interno verso l’esterno, quindi la temperatura dipende solamente da r, per cui l’equazione del calore senza generazione diventa ∂/∂r r² per ∂T/∂r = 0. Andiamo ad integrare due volte, quindi ottengo ∂T/∂r = A₂ - A₁ diviso r², integro un’altra volta e diventa T + B₁ = - 1/r per (A₂ - A₁) + B₂.

Vado a sostituire C₁ = A₂ - A₁ e C₂ = B₂ - B₁. T = f(r) sarà - C₁/r + C₂.

Se applico le condizioni al contorno. Ts₁ è T per r = r₁, quindi è  - C₁/r₁ + C₂. Ts₂ è T quando r = r₂, quindi - C₁/r₂ + C₂. Se faccio Ts₂ - Ts₁ = al caso in geometria cilindrica, quindi ottengo che C₁ è Ts₁ - Ts₂, diviso 1 su r₂ - 1 su r₁.

Per trovare C₂ scrivo T(r₁) = Ts₁ = - C₁ + C₂, quindi C₂ sarà Ts₁ + Ts₁ - Ts₂, diviso 1/r₁ - 1/r₂ per r₁.

Si può semplificare e ottengo Ts₁ + Ts₁ - Ts₂ diviso r₁/r₂ - 1.

Se andiamo a sostituire, partiamo con - C₁/r + C₂, quindi C₁ è - Ts₁ - Ts₂, diviso 1/r₂ - 1/r₁, che moltiplica r, poi abbiamo C₂ che è + Ts₁ + Ts₁ - Ts₂ diviso r₁/r₂ - 1. Ho Ts₁ - Ts₁ - Ts₂ diviso 1 - r₁/r₂, che moltiplica 1 - r₁/r.

Questa è la nostra funzione T(r).

Calcoliamo poi la potenza scambiata, che sarà solamente funzione della derivata rispetto ad r, quindi q punto sarà - λ ∂T/∂r, - λ che moltiplica Ts₁ - Ts₂. Quindi Q punto è - λ per 4 π r², che è l’area della sfera per ∂T/∂r = λ 4 π r² per Ts₁ - Ts₂, diviso 1 - r₁/r₂ per r₁ su r². r² si semplifica, quindi ottengo 4 π λ per Ts₁ - Ts₂, diviso 1/r₁ - 1/r₂.

Ts₁ - Ts₂ è ΔT e il resto è la resistenza termica in geometria sferica RT,S, che è 1/ 4 π λ per 1/r₁ - 1/r₂.

Il nostro andamento sarà iperbolico da Ts₁ a Ts₂.

Facciamo l’ultimo caso di conduzione in geometria cilindrica con generazione.

Abbiamo un tubo pieno, un conduttore elettrico di raggio r₀ e imponiamo una temperatura Ts esterna e per simmetria del problema possiamo anche scrivere che T per r = r₀ è Ts e che la derivata della temperatura rispetto al raggio per r = r₀ è uguale a 0, quindi si ha un punto di massimo di temperatura in corrispondenza del centro.

Si ha poi una potenza qG punto, quindi se andiamo a prendere l’equazione di Fourier sempre nel caso monodimensionale e scambio termico radiale, abbiamo 1/r che moltiplicata d/dr per r  per dT/dr + qG punto/λ = 0. Arriviamo a scrivere la formula della temperatura, possiamo portare al secondo membro qG punto/λ e anche r, quindi scriviamo come d/dr per r per dT/dr = - qG punto r/λ.

Possiamo integrare una volta, quindi scriviamo r dT/dr + A₁ = - qG punto r²/2 λ + A₂, poi possiamo fare una semplificazione, quindi r per dT/dr, portiamo A₁ a secondo membro, quindi è - qG punto r²/2 λ + (A₂ - A₁) e questo fra parentesi lo chiamo C₁. Vado ad integrare un’altra volta e ottengo T = f(r) = - qG punto r²/4 λ + C₁ ln r + C₂.

Applico la prima condizione al contorno, prendo la derivata di ∂T/∂r per r = 0 e ottengo - qG punto 2 r²/4 λ + C₁/r = 0. Posso semplificare r e ottengo - qG punto 2 r²/4 λ + C₁.

C₁ sarà qG punto 2 r²/4 λ. Impongo r = 0, quindi C₁ = 0.

Per trovare C₂ impongo la seconda condizione al contorno, che è T per r = r₀ = Ts = - qG punto r₀²/4 λ + C₂. Quindi C₂ è qG punto r₀²/4 λ + Ts.

Adesso devo sostituire solo C₂, quindi T(r) sarà pari a qG punto r₀²/4 λ per 1 - r²/r₀² + Ts.

La temperatura massima è quella che si ha per T per r = 0, è qG punto r₀²/4 λ + Ts. Questa è l’equazione generale e da questa posso trovare la potenza, andando ad integrare secondo r.

La mia potenza Q punto sarà - λ (2 π r L), cioè l’area per dT/dr, quindi -λ 2 π r L per qG punto 2r/4 λ.

Se invece di una conduzione a temperatura Ts costante, ho una conduzione con un coefficiente convettivo costante, quindi ho T∞ e h, per trovare la condizione al contorno Ts, quindi Ts è funzione del coefficiente convettivo h e della temperatura T∞, devo imporre il bilancio termico superficiale come abbiamo fatto per la parete piana.

Posso dire che la mia potenza totale generata QG punto, che proviene dall’interno del nostro cilindro, è il volume del cilindro, π r₀² L qG punto. QG punto è la potenza termica generata sul volume. Questa potenza termica viene scambiata per convezione con le pareti laterali del nostro cilindro, quindi è π r₀² L qG punto = h 2π r L per Ts - T∞.

Quindi Ts = T∞ + qG punto r₀/ 2 h. Se abbiamo un coefficiente convettivo h ad una temperatura T∞, possiamo riportarci al problema della temperatura superficiale, quindi risolvere l’equazione conoscendo qG punto, r₀ lo conosco già, così come T∞, quindi calcolo Ts, metto dentro l’equazione generale per il calcolo dell’andamento della temperatura.

Si usa per la risoluzione di problemi complessi 2D e 3D complessi riconducibili a schematizzazioni monodimensionali. Se negli esami viene dato un esercizio con il fattore di forma, è riportato il disegno con la formula, non bisogna saperlo a memoria. 

Ad esempio, per la formula S = 2 π L/(ln di 4z/D) è stata risolta l’equazione alla conduzione del calore ed è stata trovata la formula generale per il fattore di forma. Questa è valida quando L è molto maggiore di D, quindi è almeno 10 volte D e z > 1.5 D. In questo problema possiamo calcolarci S e poi calcolare tramite λ, che è λ non del materiale del tubo, ma del terreno, perché lo scambio termico avviene da T₁ a T₂.

Ci sono esempi anche di tubazione in verticale, sfere ecc.

Se io per esempio ho una sfera di diametro D, T₁ è la temperatura superficiale della sfera, T₂ è la temperatura del terreno, S in questo caso si calcola come 2π D/(1 - 0.25 D/z).

Perché nei problemi di dissipazione termica si mettono delle alette di raffreddamento?

Consideriamo i motori raffreddati ad aria, che hanno delle lamelle di raffreddamento, delle superfici alettate che aiutano il raffreddamento.

Se noi abbiamo una parete piana ad una certa temperatura superficiale Ts, la potenza termica scambiata con l’ambiente esterno per convezione, sarà Q punto = h A per Ts - T∞, dove A è l’area frontale della parete piana, che sarà B • H.

Come posso aumentare la potenza scambiata? Posso agire sulla temperatura, aumentando la temperatura Ts, posso diminuire la temperatura T∞, di solito è la temperatura dell’aria esterna, che è un parametro che non riusciamo tanto a gestire.

Posso aumentare il coefficiente convettivo h, però anche queso dipende dalle condizioni ambientali esterne. È vero che se ci metto un ventilatore, che aumenta la velocità fra la parete e l’area di raffreddamento, aumento A, però questo si porta dietro una serie di complicazioni.

Un altro modo che ho per aumentare la potenza termica è aumentare l’area, mettendoci delle alette di raffreddamento. Queste possono avere tante forme e dimensioni, possono avere sezione quadrata, cilindrica, rettangolare, …

Vengono fissate o incollate alla parete o all’oggetto da raffreddare e aumentano l’area di scambio A e quindi a parità delle altre conduzioni, dovrebbero aumentare Q punto. In realtà, poiché il materiale di cui sono fatte le alette non ha conduttività infinita, la temperatura che si ha alla base, in condizioni stazionarie, è maggiore rispetto alla temperatura che si ha alla punta, per cui bisogna risolvere un’equazione monodimensionale del calore, per capire qual’è la potenza termica scambiata. 

Facciamo il caso di parete piana e aletta di sezione circolare. Poi si può fare lo stesso anche con aletta a sezione rettangolare.

All’esterno abbiamo temperatura indisturbata dell’aria T∞ e coefficiente convettivo h, eventualmente possiamo avere convezione forzata o naturale, dipende se viene imposta da oggetti esterni oppure no. La nostra aletta ha una temperatura di base uniforme Tb che è la stessa temperatura a cui si trova la piastra, maggiore rispetto alla temperatura T∞.

La nostra aletta è caratterizzata poi da una certa lunghezza L e un certo diametro D e sarà fatta di un certo materiale, con una certa conduttività λ.

Immaginiamo di prendere una fettina di questa aletta, quindi in vista laterale. Nell’aletta entra la potenza termica Q punto per conduzione, che dev’essere dissipata dal mantello esterno dell’aletta tramite convezione. A livello della base entra una potenza termica conduttiva e poi dall’esterno dell’aletta si dissipa per convezione con la parete esterna.

Quindi se prendo una sezione infinitesima dell’aletta di spessore dx, ho una potenza termica infinitesima scambiata per convezione che sarà dQ punto convettivo, che nel caso specifico di aletta a sezione circolare sarà h per π D, dove D è il diametro della nostra aletta per il perimetro dx, cioè io devo calcolare l’area laterale di scambio termico, che è il perimetro, π D per dx che è la profondità per T - T∞.

T∞ è la temperatura dell’aria esterna, dT è la temperatura di questa fettina di aletta. Tuttavia lateralmente l’aletta scambia calore per convezione; la potenza termica scambiata è h π D per T - T∞ per dx.

Poi frontalmente entra una potenza termica qx punto, per identificare che entra con una coordinata x ed esce una potenza termica per conduzione, quindi all’interno dell’aletta, qx+dx punto. Quindi faccio un bilancio di primo principio dell’aletta in condizioni stazionarie, entra qx punto, esce qx+dx punto ed esce dq punto convettivo.

Se andiamo a svolgere queste equazioni, qx+dx punto lo possiamo ottenere, se sviluppiamo secondo la serie di Taylor, come qx punto + la derivata rispetto a x totale perché abbiamo un flusso monodimensionale di qx punto per dx. Possiamo scrivere - λ per l’area frontale dell’aletta, quindi π D²/4 per dT su dx, quindi ho riscritto questo primo termine secondo il postulato di Fourier - λ π D²/4, che moltiplica d/dx per dT su dx dx.

Possiamo riscrivere questa equazione come -λ π D²/4 dT/dx e questo sarebbe qx punto, poi abbiamo -(-λ π D²/4 dT/dx -λ D²/4 d/dx per dT/dx per dx) - l’altro termine dq punto connettivo, quindi - h π D per T - T∞ dx = 0. I primi due termini si elidono, quindi alla fine rimane λ π D²/4 d/dx dT/dx in dx - h π D per T - T∞ dx = 0.

Se vogliamo semplificare un po’, diventa λ per π D²/4 per d²T/dx² - h π D T - T∞ dx = 0. Possiamo semplificare un po’ di cose, π D²/4 la possiamo chiamare Ac che è l’area della superficie cilindrica e π D è P, cioè il perimetro.

Alla fine ottengo d²T/dx² - hP diviso λ Ac per T - T∞ = 0. Ho sostituito π D²/4 con Ac, π D l’ho sostituto con P, poi ho integrato lungo x. Ho ottenuto questa formula e possiamo chiamare m la radice quadrata di hP/λ Ac, inoltre  T - T∞  lo chiamo ϑ. Ho che dT su dx = dϑ/dx e anche la derivata seconda è uguale.

Alla fine ottengo la formula generale d²ϑ/dx² - m²ϑ = 0. E questa è un’equazione differenziale con soluzione nota ed è ϑ(x) = C₁ emx + C₂ e-mx.

Applico le condizioni al contorno, siamo in condizioni stazionarie, quindi facciamo l’ipotesi di aletta di lunghezza infinita. Quando abbiamo un’aletta di lunghezza infinita, possiamo scrivere che ϑ per x = 0 è uguale a ϑb, che è Tb - T∞. E per x = ∞ abbiamo che ϑ è uguale a 0, perché all’infinito si presume che la temperatura dell’aletta sia uguale alla temperatura del fluido indisturbato. Applichiamo queste due condizioni al contorno.

Applichiamo la prima, quindi possiamo scrivere che ϑ(∞) = 0 presuppone che C₁ em +∞ + C₂ em -∞ = 0.

La seconda condizione al contorno è che ϑ(0) = C₁ e-m 0 + C₂ e-m 0 e questo è uguale a ϑb. Quindi questo termine è nullo, questo è uguale a 1, quindi C₂ = ϑb.

Altre condizioni al contorno danno risultati più realistici. Nella pratica si utilizzano i seguenti parametri per caratterizzare le prestazioni delle alette dissipative:

• L’efficacia di un’aletta, εf è q punto scambiata rispetto alla q punto scambiata come se ci fosse solamente la base, quindi senza l’aletta. Quindi avrei qf punto diviso h per Ac per Tb - T∞. Si considera solo la base come area di scambio termico; questa efficacia deve essere maggiore di 1, di solito è intorno al 2, quindi nelle alette si ha un buon scambio termico quando l’efficacia è intorno al 2 e questo ci permette di raddoppiare lo scambio termico.

• Possiamo legarci al concetto di resistenza termica equivalente e dire che la esistenza termica della nostra aletta è Tb - T∞, diviso qf punto. Quindi rispetto al caso senza alette, qf punto è Tb - T∞, diviso R. Se abbiamo le alette, questo valore di R è minore rispetto alla convezione naturale. Se invece abbiamo una convezione naturale, questo valore è più alto, la resistenza termica della sola superficie calda è più alta, a parità di temperatura scambiamo meno potenza termica, circa la metà.

• Poi abbiamo l’efficienza che è qf punto diviso, questa volta consideriamo l’aletta perfetta che ha tutta la temperatura Tb, che è impossibile perché significa che avrebbe conduttività infinita, quindi q punto massimo ideale, avrò qf punto diviso h per l’area frontale, cioè π D L per Tb - T∞. Si considera l’aletta tutta alla stessa temperatura. L’aletta ideale è quella che ha una temperatura superficiale sempre costante, fino all’infinito. Di solito, il rendimento delle alette in questo caso è intorno al 30%, quindi 0.3.

Vediamo l’esempio di una soluzione di un problema complesso, utilizzando il metodo delle capacità concentrate. Quando non siamo in regime stazionario, ma la temperatura del nostro corpo di cui vogliamo studiare lo scambio termico varia nel tempo, o risolviamo l’equazione del calore in transitorio, quindi aggiungendo il secondo membro, oppure possiamo affidarci a questo metodo che non è applicabile in tutti i casi ed è il metodo più semplice per la risoluzione di questi problemi.

L’esempio più semplice di applicazione di questo metodo è un enorme recipiente che contiene un fluido a temperatura T∞, capacità termica di questo fluido infinita.

All’instante t = 0 immergiamo un corpo molto piccolo rispetto al volume di fluido considerato, che si trova ad una temperatura Ts, facciamo il caso Ts > T∞ per t = 0.

All’istante iniziale il nostro corpo è molto caldo, immaginiamo di buttare un pezzo di metallo rovente in un bagno di tempra, quindi vogliamo raffreddare velocemente il corpo, ipotizziamo il nostro corpo con una densità ρ e un calore specifico c, che è uguale a pressione costante o volume costante, perché si tratta di un corpo solido.

Studiamo che cosa succede alla superficie di contatto tra il corpo e il fluido. Scambierà calore per convezione tra la superficie del corpo e quella del fluido circostante. La potenza continua a scambiarsi fintanto che la temperatura del solido non raggiunge T∞ del fluido. Ipotizziamo il fluido come un pozzo termico che mantiene la sua temperatura costante nel tempo, nonostante lo scambio termico con il corpo.

Questo è quello che avviene anche con l’aria ambiente; possiamo ipotizzare l’aria ambiente ad una temperatura costante, corpo caldo che si raffredda in aria ambiente, ad esempio una marmitta di una vettura, questa si riscalda e poi si raffredda per convezione con l’ambiente. 

Se scriviamo il bilancio di primo principio per questo corpo solido, quindi il nostro sistema nel corpo e l’ambiente e il fluido circostante, possiamo scrivere q convettivo.

Non abbiamo una potenza termica generata all’interno del corpo, quindi ipotizziamo una qG punto = 0. Questo sarà uguale a - variazione di energia interna del corpo nel tempo, quindi u.

La possiamo scrivere come ρ per V per du/dT = ρ per V per c per dT/dt, dove u è l’energia interna specifica e T è la temperatura del corpo. c, il calore specifico a volume costante, essendo il corpo solido, possiamo indicarlo con c, è uguale a du/dt.

Quindi avrei m du/dt, quindi la massa la sostituiamo con ρ • V. du/dt lo sostituiamo con c e otteniamo questa equazione, quindi ρ c V per dT/dt.

Bisogna stare attenti ai segni, perché se noi definiamo qconv come h per l’area di scambio termico, che chiamiamo As per T - T∞. Se definiamo potenza termica convettiva in questo modo, questa è positiva quando il corpo è più caldo del fluido, però è uscente, quindi esce dal nostro sistema. Per mantenere la convenzione termodinamica, serve un - e quindi mettendoci un -, rispettiamo la convezione che dice che la potenza termica entrante è positiva e uscente è negativa.

Andiamo ad eguagliare le due espressioni, quindi - h per As per T - T∞ è uguale a ρ V c. Possiamo dire che dT/dt, quindi derivata della temperatura rispetto al tempo è anche uguale a derivata di T - T∞ su dt. Questa sarebbe, la scompongo e sarebbe derivata di T rispetto al tempo + derivata di T∞ rispetto al tempo, questo è zero, perché abbiamo detto che non varia la temperatura del fluido nel tempo, quindi possiamo andare a sostituire qui dentro T - T∞.

Quindi posso scrivere d(T - T∞) diviso (T - T∞) = - h per As diviso ρ V c per dt.

Un’altra sostituzione che si fa di solito è questa differenza di temperatura T - T∞, che la scriviamo come ϑ, quindi diventa dϑ su ϑ = - h per As diviso ρ V c per dt.

Integriamo dall’instante t₀ all’instante finale, quindi a sinistra mettiamo ϑ iniziale e ϑ, integriamo dϑ/ϑ uguale a - h per As diviso ρ V c per l’integrale da 0 a t in dt.

Risolviamo l’integrale e quindi avrò ln di ϑ su ϑ iniziale = - h per As diviso ρ V c per t. Sostituisco ulteriormente e chiamo 𝛕 costante di tempo ρ V c diviso h per As.

Questa 𝛕 me la posso ricordare facilmente perché è la resistenza convettiva superficiale per la capacità termica del corpo. Sarebbe 1/ h per As per ρ c V. Possiamo anche scriverlo definendo il rapporto V su As come lunghezza caratteristica del problema, quindi 𝛕 lo posso scrivere come ρ c Ls/h.

Ritornando a prima, il ln di ϑ su ϑi è uguale a - t su 𝛕, facciamo l’esponenziale del logaritmo, quindi diventa ϑ fratto ϑi = e alla - t su 𝛕. Questa formula ci dice, se vogliamo esplicare 𝛕, sarebbe T - T∞ diviso Ti - T∞. Questa è la formula generale da ricordarsi, poi la possiamo sviluppare in tanti modi.

Possiamo scrivere che la temperatura T del nostro corpo per un dato istante di tempo t è T∞ + Ti - T∞, che moltiplica e alla - t/ 𝛕. Questa formula ci dice la temperatura superficiale, ma anche di tutto il solido, è uniforme all’istante di tempo t e si calcola in questo modo. 

Grafichiamo il rapporto ϑ su ϑi. Parte da 1, all’istante iniziale abbiamo ϑi = 1, poi mano a mano che aumenta il tempo, abbiamo delle curve che asintoticamente vanno verso il basso e variano in questo modo all’aumentare di 𝛕. Cioè all’aumentare della costante di tempo, il rapporto ϑ su ϑi ha un andamento che tende sempre a 0 con una pendenza meno accentuata.

In particolare, possiamo individuare per ognuna di queste curve il valore di 𝛕 direttamente sul grafico. 𝛕 ha unità di misura in secondi e rappresenta il periodo che ci vuole per raggiungere il 37% rispetto all’unità del rapporto ϑ su ϑi. Visto in altri termini, è il tempo necessario per fare raffreddare il corpo caldo di circa il 70% rispetto alla differenza iniziale, quindi se la differenza iniziale è di 100°C, 𝛕 sono i secondi che ci vogliono per raffreddare il corpo da una differenza iniziale di 100°C, fino ad una differenza finale di 37°C.

Questo tempo aumenta con l’aumentare di 𝛕. Quindi maggiore è questa costante di tempo, più è lento il transitorio termico.

Le ipotesi di applicabilità di questo metodo sono validate, cioè possiamo applicare questo metodo quando il numero di Biot, che si calcola come h per L diviso λ, dove L è la lunghezza caratteristica, è inferiore a 0.1. λ è del materiale, non del fluido. h è il coefficiente convettivo e L è la lunghezza caratteristica del solido. Quando questo numero adimensionale è inferiore a 0.1, significa che il corpo ha una temperatura al suo interno abbastanza uniforme in ogni suo punto.

Vediamo di dare un significato fisico a questo numero di Biot.

Prendiamo una parete piana, abbiamo una temperatura Ts₁, una temperatura Ts₂ e una temperatura T∞₂ con coefficiente convettivo h in geometria piana.

Se faccio il bilancio energetico superficiale sulla parete esterna, q conduzione, che è Ts₁ - Ts₂ diviso R conduttivo, deve essere uguale a q convettivo, che è Ts₂ - T∞₂ diviso R convettivo. Uguagliando questi due, posso scrivere Ts₁ - Ts₂ diviso Ts₂ - T∞₂ = R conduttivo diviso R convettivo. Quindi è L su λ per A, diviso L fratto A per h. Si semplifica e ottengo h per L diviso λ, che è il numero di Biot. È il rapporto tra la differenza Ts₁ - Ts₂ e la parte convettiva Ts₂ - T∞₂.

Se la prima la chiamo ΔT₁ e la seconda è ΔT₂, sarebbe ΔT₁ su ΔT₂. Per bassi valori di Biot inferiori a 0.1, la variazione di temperatura dentro al corpo è inferiore al 10% della variazione di temperatura tra superficie del corpo e il fluido. In questi casi possiamo dire che la temperatura del corpo è pressoché uniforme e quindi possiamo applicare il metodo delle capacità concentrate.

A volte, nella soluzione dei problemi sarà richiesto di conoscere la quantità di calore scambiato in tutto il transitorio termico, che sarà la massa del corpo, per il suo calore specifico, per Ti - T∞, che è uguale a Δu, quindi possiamo scrivere come ρ c V, T - T∞ è ϑ. ϑ dipende dal tempo in cui andiamo a valutare. Se lo valutiamo per un tempo infinito, andiamo a calcolare qual’è il calore scambiato a regime.

Questo è T - T∞, diviso Ti - T∞. Questo è ϑ iniziale, che moltiplica 1 - e di - t su 𝛕. 

Poi un altro dato che si può trovare è il numero di Fourier, definito come α per t, diviso Lc², che serve per l’analisi dimensionale quando vogliamo risolvere l’equazione del calore in condizioni non stazionarie.

Definendo questo, troviamo che ϑ su ϑi possiamo scriverlo anche come e alla - numero di Biot per numero di Fourier.

La diffusiva termica è α = λ su ρ per c. Il numero di Fourier è una sorta di tempo adimensionalizzato e serve per la risoluzione dei problemi non stazionari. 

Sulla conduzione c’è da sapere questo, sul libro vengono analizzati dei metodi per i sistemi e i problemi non stazionari, che però non facciamo. Quindi la conduzione finisce con il metodo delle capacità concentrate.