2.11 Irraggiamento

Ora passiamo all’ultima modalità di scambio termico, l’irraggiamento termico, che prevede il trasferimento di calore da un corpo a temperatura maggiore a un corpo a temperatura inferiore, attraverso il trasferimento di una radiazione elettromagnetica che rappresenta l’irraggiamento. L’esempio più semplice è quello di un corpo all’interno di una cavità. La cavità rappresenta l’ambiente circostante alla temperatura Tamb. 

Il piccolo oggetto si trova ad una temperatura Ts. Se Ts è diverso da Tamb, si ha scambio termico radiativo, sia se qui dentro c’è il vuoto, sia se ci fosse aria ‘trasparente’ alla radiazione, tra la superficie dell’oggetto e l’ambiente circostante.

In particolare, se Ts > Tamb si ha uno scambio termico radiativo netto che chiamo q’’ radiativo netto, in W/m², quindi è un flusso termico specifico. E’ maggiore di zero quando Ts > Tamb.

Quando invece Tamb > Ts, q’’ radiativo netto è minore di zero. Quindi quando la temperatura ambiente si trova ad una temperatura maggiore rispetto al corpo, si ha uno scambio termico radiativo entrante dall’ambiente verso il corpo. Se si considera la superficie del corpo, questo è negativo perché sta entrando  dentro la superficie.

L’irraggiamento è uno scambio termico superficiale, quindi quando esce dalla superficie è positivo, quando entra nella superficie è negativo, è diverso dalla termodinamica classica. Generalmente ogni corpo, prendiamo il corpo Ts ad esempio da solo. A causa del moto delle particelle superficiali del corpo, emette un potere emissivo specifico. Questo dipende dalla temperatura, è funzione della temperatura Ts e di un parametro caratteristico del corpo che si chiama emissività. Quindi qualsiasi corpo alla temperatura Ts > 0 emette, ha un potere emissivo.

Allo stesso modo, qualsiasi corpo circostante irradia, quindi posso essere io, può essere una cavità, può essere qualsiasi oggetto circostante a Ts. Questo irradia una certa irradianza G, anche questa è funzione della temperatura dell’ambiente o del corpo che sta irradiando. L’irradianza classica è quella del Sole. Il Sole ci irradia, perché i raggi del sole attraversano l’atmosfera terrestre e giungono fino a noi, quindi veniamo irradiati.

Sia il potere emissivo, sia l’irradianza sono due potenze specifiche che si possono rappresentare come delle onde elettromagnetiche aventi una propria lunghezza d’onda. Si possono rappresentare come un insieme di tante radiazioni elettromagnetiche, ognuna avente lunghezza d’onda λ che si misura in micrometri (μm) ed è la velocità della luce c, diviso la frequenza v. La frequenza si misura in Herz o 1/s e la velocità della luce in m/s.

Poi dipende dal mezzo; la velocità della luce nel vuoto vale circa 3 • 10⁸ m/s, ma dipende dal mezzo. Se invece del vuoto abbiamo dell’aria, la velocità della luce sarà diversa.

Quindi sia il potere emissivo, sia l’irradianza, li possiamo vedere come un insieme di radiazione elettromagnetica a lunghezze d’onda differenti, ognuna caratterizzata da una propria velocità e da una propria frequenza.

Generalmente, tutte queste onde elettromagnetiche si possono rappresentare nello spettro dell’irradiazione in funzione della lunghezza d’onda.

Consideriamo un asse in micrometri logaritmico in base 10.

Tutte le radiazioni elettromagnetiche con lunghezze d’onda che vanno da 10⁻¹ micrometri, quindi da 0.1 a 10², cioè 100, compongono la radiazione termica, mentre le radiazioni elettromagnetiche aventi lunghezze d’onda che vanno da 0.4 a 0.7 sono all’interno del campo del visibile dell’uomo, della luce visibile. Poi esistono alcuni rettili e animali che hanno uno spettro del visibile più ampio.

Se ci spostiamo verso valori inferiori, fino a 10⁻², ricadiamo nel campo degli ultravioletti, quindi radiazioni elettromagnetiche a bassa lunghezza d’onda, ad alta frequenza, quindi molto energetiche perché hanno altissima frequenza, dannosa per la pelle umana.

Se andiamo ancora più in basso, fino a 10⁻⁴, da 10⁻² a 10⁻⁴ abbiamo i raggi x, mentre i raggi γ sono oltre 10⁻⁴ fino a 10⁻⁵.

Se andiamo verso lunghezze d’onda fino a 10² siamo nel campo dell’infrarosso, poi da 10² in poi, entriamo nel campo delle microonde.

Quello che ci interessa nello studio degli scambi termici per radiazione elettromagnetica è la parte della radiazione termica, che va da 10⁻¹ a 10² μm. Quindi tutto quello che scambia calore per irraggiamento, lo scambia attraverso delle radiazioni elettromagnetiche all’interno di questo campo. Il campo del visibile, è un campo ancora più ristretto all’interno del campo della radiazione termica.

Se prendiamo sempre il nostro corpo e consideriamo la sua radiazione emessa, questa sarà un insieme di tante radiazioni elettromagnetiche che possono essere rappresentate in un grafico di questo tipo generico, dove in ascissa abbiamo la lunghezza d’onda in micrometri e in ordinata abbiamo il potere emissivo monocromatico E in W/m². Per un corpo generico abbiamo una distribuzione di potere emissivo generico di questo tipo, che è detta anche distribuzione spettrale.

Se prendiamo una superficie diffusa, se la radiazione elettromagnetica viene distribuita uniformemente in tutte le direzioni, quindi ogni direzione è caratterizzata da una certa distribuzione spettrale costante. Questo si dice emettitore diffuso, perché emette in maniera diffusa, non in una direzione preferenziale, quindi E non è funzione dell’angolo γ. Di solito, nella pratica, possiamo considerare quasi tutti i corpi come degli emettitori diffusi.

Caso invece più particolare sono gli specchi o superfici speculari, che hanno delle distribuzioni spettrali monodirezionali, cioè verso alcune direzioni emettono di più rispetto ad altre, quindi emettono in alcuni porzioni, caratterizzati da degli angoli ϑ specifici. Sono chiamati emettitori speculari.

Nella pratica, utilizziamo l’ipotesi di emettitore diffuso. Quindi non abbiamo direzionalità dell’emissione, quindi possiamo andare a definire un potere emissivo.

Data una superficie che emette in maniera diffusa e ha una distribuzione spettrale di questo tipo, quindi λ e Eλ (W/m² • μm), cioè il potere emissivo spettrale in funzione della coordinata λ (μm), l’area sottesa dalla curva della distribuzione spettrale è il potere emissivo E, che si misura il W/m².

Se conosciamo la funzione che caratterizza quella curva specifica, possiamo dire che il potere emissivo E è l’integrale che va da 0 a ∞ del potere emissivo monocromatico Eλ, che è funzione del parametro λ in dλ. Quindi questa è la funzione Eλ, se vado ad integrare la funzione su λ, ottengo il potere emissivo totale E. Mentre Eλ è il potere emissivo monocromatico.

Definizione analoga è l’irradianza. L’irradianza è una relazione termica che proviene da superfici esterne. Se prendiamo una superficie qualunque, questa verrà investita da un’irradianza diffusa. Questa irradianza avrà una forma di questo tipo, in x abbiamo la lunghezza d’onda λ e in y l’irradianza spettrale Gλ o irradianza monocromatica. L’unità di misura è W/m² • μm.

L’area sottesa sarà G, che è l’integrale che va da 0 a ∞ di Gλ in funzione di λ in dλ, quindi è l’integrale dell’irradianza monocromatica. Questa è l’irradianza totale G in W/m². Proviene da oggetti esterni che possono essere cavità, ambiente, altri oggetti a temperatura differente, è tutta la radiazione che proviene dall’esterno.

Anche l’irradianza ha carattere diffuso. Se noi abbiamo la nostra superficie, disegno l’irradianza totale G. Parte di questa irradianza che colpisce la superficie viene riflessa, in funzione delle caratteristiche della superficie.  Questa parte la chiamo Grif. Ma la nostra superficie emette anche, quindi avrà un potere emissivo totale E. Facciamo la somma del potere emissivo totale + l’irradianza riflessa, cioè quella che viene specchiata. Questa quantità J si chiama radiosità totale in W/m². 

Però l’irradianza può essere riflessa, ma dove va a finire? Se la superficie è opaca, quindi non riesce a passare l’irradianza, questa può essere riflessa oppure assorbita. Quindi G per le superfici opache sarà la somma di una parte riflessa + una parte assorbita.

J invece la si può definire anche in termini monocromatici, quindi Jλ sarà pari a Gλ, rif + Eλ e quindi la radiosità totale si calcola con un integrale da 0 a ∞ di Jλ, funzione di λ, dλ. Ed è sempre pari a potere emissivo totale E + Grif.

Ora consideriamo una superficie e andiamo a fare il bilancio radiativo netto.

Prendiamo un corpo generico e la sua superficie piana. Se voglio fare il bilancio radiativo netto di questa superficie, prendo il volume di controllo in corrispondenza di una porzione di questa superficie. Io so che questa superficie avrà una certa irradianza G, parte di questa viene assorbita. Quindi G irradianza che colpisce la superficie, J è la radiosità della superficie.

J per forza è maggiore di G, perché J è pari a E + Grif, quindi la potenza radiativa netta uscente dalla superficie  q’’rad, net è pari alla radiosità - G. Questo perché la radiosità è E + Grif, Grif - G è Gass.

La potenza radiativa netta uscente dalla nostra superficie in W/m² è pari alla radiosità J - la radiazione incidente G. Andando a sostituire la definizione di radiosità e radiazione incidete, è il potere emissivo E - l’irradianza assorbita. Al posto di J posso scrivere E, E è uscente dalla superficie e quindi è positivo, - Gass che è entrante, oppure, in termini totali è J, la radiosità emessa - G totale. In generale, quando questi due termini sono diversi tra di loro, il bilancio superficiale termico, per essere soddisfatto, deve tenere conto di una potenza specifica uscente, perché se J è maggiore di G, vuol dire che da qualche parte deve essere fornita energia per rispettare il bilancio energetico superficiale, quindi esce ulteriormente una certa potenza specifica radiante netta ed è fondamentale, perché ci permette di capire una superficie qualunque che scambia calore per irraggiamento con l’ambiente circostante, qual’è quello che lascia alla superficie, quindi in funzione del potere emissivo e della quantità di irradianza assorbita, possiamo andare a stimare quello che in condizioni stazionarie esce dalla superficie.

Bisogna quantificare questi valori, cioè come facciamo a calcolare il potere emissivo e l’irradianza? Siccome stiamo parlando di trasmissione del calore, che avviene attraverso le differenza di temperatura, dobbiamo riuscire a correlare potere emissivo e irradianza con la temperatura del corpo, quindi con T generica. Per fare questo, ci serve un corpo di riferimento, ci serve un corpo perfetto, che si chiama corpo nero. È un corpo ideale che è caratterizzato da 3 proprietà principali:

1. Il corpo nero è un perfetto assorbitore, quindi tutta l’irradianza G che colpisce il corpo nero viene assorbita.

2. Inoltre il corpo nero è anche un perfetto emettitore per una data temperatura. Il potere emissivo E del corpo nero è massimo per tutti i corpi alla stessa temperatura, cioè non esiste nessun corpo che ha un potere emissivo maggiore del corpo nero, alla data temperatura. Quindi il potere emissivo sia monocromatico, sia totale, ha il corpo alla temperatura T massimo, rappresentato dal potere emissivo di corpo nero, che di solito viene indicato con la n, En.

3. Infine, è un emettitore diffuso, quindi la distribuzione spettrale del potere emissivo monocromatico ha una forma perfettamente distribuita, emisferica. Non c’è una direzione preferenziale di potere emissivo.

Quindi qualsiasi superficie reale può essere confrontata con un corpo nero. Se prendiamo una superficie qualunque, possiamo sempre confrontarla rispetto ad un corpo nero.

Nella pratica, un oggetto che si avvicina molto ad un corpo nero, è un oggetto di questo tipo; abbiamo una cavità molto grande con un buco, isoterma a temperatura T superficiale costante con un buco.

• Questo foro è un corpo nero; non è la cavità, ma il foro, perché tutta l’irradianza che entra, viene fatta rimbalzare e viene tutta assorbita se la cavità è abbastanza grande, tutta l’irradianza che proviene dall’esterno e che entra dal foro rimbalza, a forza di rimbalzare viene in parte assorbita e quindi non esce niente. G che entra è totalmente assorbita.

• Inoltre è un perfetto emettitore, perché tutte le superfici interne che si trovano a temperatura T, la superficie interna della cavità emette un certo potere emissivo, funzione di quella temperatura, che è massimo e che esce in modalità diffusa dal foro. È il potere emissivo totale.

• Inoltre, tutte le pareti della cavità si trovano alla stessa temperatura, quindi per un bilancio termico, se prendo questa porzione di parete, Gλ è uguale a Eλ,n di corpo nero, perché siamo in condizioni di equilibrio termico, quindi la temperatura della superficie rimane costante, quindi non ci deve essere q’’rad,net, perché se così fosse, significa che con il passare del tempo, se esce potenza termica, si ha una diminuzione di temperatura. Abbiamo detto che questo è pari a E - Gass, sappiamo che Gass = G, perché questo è un perfetto assorbitore, quindi E - G è uguale a 0. Lo stesso lo possiamo scrivere in termini monocromatici, quindi significa che è un perfetto assorbitore. Questo si porta dietro anche il discorso dell’equilibrio termico, quindi tutta la superficie si trova a temperatura T.

Per un corpo nero, alla fine dell’800, Planck ne studiò il potere emissivo monocromatico e trovò la legge di distribuzione di Planck, che vale per il corpo nero.

Studiò le cavità e trovò che il potere emissivo di corpo nero monocromatico è uguale ad una costante C₁, diviso λ⁵ che moltiplica l’esponenziale di (C₂/λ • T) - 1.

C₁ e C₂ sono costanti, λ è la lunghezza d’onda. L’unità di misura di questo potere emissivo monocromatico è W/m² • μm.

C₁ non bisogna conoscerlo a memoria, è pari a 3.742 • 10⁸ W/μm⁴ • m², C₂ è pari a 1.439 • 10⁴ μm/K. Questa legge dipende da due costanti e dalla temperatura assoluta T in Kelvin.

Vediamo il grafico, dove abbiamo in x lunghezza d’onda λ in μm e il potere emissivo spettrale Eλ,n in W/m² • μm di corpo nero. Partiamo da 0.1 fino a 100, quindi nella regione della radiazione termica che ci interessa e l’andamento ha una forma di questo tipo.

Le curve più in alto sono per una temperatura maggiore, questa per esempio è per 5800 K, quelle più in basso sono a temperature minori, quindi 100 K.

I punti di massimo di queste curve si spostano verso valori crescenti di lunghezza d’onda. La linea tratteggiata rappresenta i punti di massimo di questa distribuzione. La regione del visibile è quella in grigio, poi abbiamo l’ultravioletto e a destra l’infrarosso.

Andando a rappresentare quella funzione su un grafico, questo è un grafico bi-logaritmico, perché abbiamo il logaritmo in base 10. Possiamo individuare una serie di punti di massimo per ogni curva. Questi punti di massimo sono stati calcolati facendo la derivata del potere emissivo monocromatico di corpo nero rispetto a λ e ponendo la derivata uguale a zero. Facendo questa operazione, si ottiene la legge dello spostamento di Wien, che dice che i punti di massima emissione spettrale si trovano su una retta che ha equazione λmax per T = una costante C₃, che vale 2897.8 μm • K.

Quindi da questa equazione possiamo calcolare λmax al variare della temperatura, quindi per ogni temperatura posso calcolare λ in quel punto di massimo del potere emissivo monocromatico, facendo la costante, dividendo per la temperatura assoluta. Quindi questa linea tratteggiata rappresenta la legge dello spostamento di Wien.

La curva a 5800 K rappresenta la temperatura del Sole, come se questo fosse considerato un corpo nero, quindi questa è la curva del potere emissivo monocromatico del Sole, che si può approssimare ad un corpo nero a 5800 K.

Se vogliamo il potere emissivo totale di corpo nero, En, dobbiamo fare l’integrale del potere emissivo spettrale. Questo dipenderà dalla lunghezza d’onda, ma anche dalla temperatura. Questo integrale risolto dà la quantificazione del potere emissivo totale e dice che il corpo nero è pari a σ per T⁴, dove σ è la costante di  Stefan-Boltzmann, che è 5.670 • 10⁻⁸ W/m² • K⁴. Questa legge è la legge di Stefan-Boltzmann, cioè En = σ • T⁴.

Finalmente siamo riusciti a calcolare il potere emissivo totale di un corpo nero, in funzione della della sola temperatura assoluta, perché σ è una costante.

Possiamo iniziare a fare dei confronti fra corpi neri a diverse temperature. σ • T⁴ rappresenta l’area sottesa da questa curva, che dipende dalla temperatura. Quindi il potere emissivo totale in un corpo per esempio a 100 K è molto inferiore rispetto ad un corpo nero che si trova a 5800 K. Con la legge di Stefan-Boltzmann siamo in grado di calcolare questo potere emissivo.

Non sempre ci interessa il potere emissivo totale, possiamo per esempio essere interessati al potere emissivo di una certa frazione di banda. Se abbiamo per esempio una distribuzione spettrale Eλ,n per un corpo ad una data temperatura T generica, possiamo calcolare il potere emissivo parziale che interessa solo una porzione di tutta la banda dell’irraggiamento quindi una porzione che va da 0 a λ₁, oppure una porzione che che va da λ₁ a λ₂. Se vogliamo valutare il potere emissivo di un corpo nero nella regione del visibile, avremo λ₁ = 0.4 e λ₂ = 0.7 μm, che è la banda del visibile.

Come facciamo a calcolare questi poteri emissivi di banda all’interno di una frazione? Possiamo definire la frazione di emissione nella banda, che è una funzione F, calcolata da 0 ad una lunghezza generica λ. Questa è l’integrale da 0 a λ di potere emissivo di corpo nero dλ, diviso integrale da 0 a ∞ del potere emissivo di corpo nero dλ. A denominatore abbiamo la legge di Stefan-Boltzmann, possiamo scrivere σ • T⁴ e al numeratore abbiamo sempre l’integrale.

Posso riscriverla con al numeratore con Eλ,n, che per la legge di distribuzione di Planck è C₁, diviso λ⁵ esponenziale di C₂/ λ • T - 1 dλ. Il denominatore di questo integrale ha al suo interno il prodotto λ per T, quindi se io vado a fare una sostituzione, ottengo Eλ,n, diviso σ • T⁵, il differenziale è d(λ • T), quindi tutto questo è funzione di λ per T.

Graficamente, questa frazione di banda la possiamo rappresentare come una funzione di questo tipo. Da tabelle si ottiene λ • T e F(0 —> λ). Oppure si trova in questi grafici, interpolando. Da questa funzione, posso andare a calcolare il potere emissivo nella banda che mi interessa. 

Per calcolare ad esempio il potere emissivo Eλ,n da 0 a λ₁, faccio Eλ,n, che moltiplica F che va da 0 a λ₁, oppure se voglio calcolare il potere Eλ,n di una banda che va da λ₁ a λ₂ nel visibile, posso fare Eλ,n per F che va da 0 a λ₂ - Eλ,n per F che va da 0 a λ₁, perché se io voglio ottenere quest’area, farò l’area da 0 a λ₂ - l’area che va da  0 a λ₁. L’area che va da 0 a λ₂ è Eλ,n per F da 0 a λ₂, l’area che va da 0 a λ₁ è Eλ,n per F che va da 0 a λ₁.

In questo modo riesco a calcolare il potere emissivo in alcuni range nella banda della radiazione termica, ed è importante quando si studia nel visibile il potere emissivo emesso dalle lampadine o dei corpi illuminanti. Maggiore è questo potere emissivo nel campo del visibile, maggiore è la performance della lampadina.

Ora parliamo di superfici reali e non più di corpi neri.

Le superfici reali sono caratterizzate da delle proprietà radiative specifiche, la prima fra tutte è l’emissività. L’emissività la possiamo definire in termini spettrali o monocromatici.

ε per una certa lunghezza d’onda λ è uguale al potere emissivo ελ per una data temperatura T e una certa lunghezza d’onda λ, diviso il potere emissivo di corpo nero alla lunghezza d’onda λ alla temperatura T. Questo è sempre minore di 1, perché solamente il corpo nero ha emissività pari a 1.

In termini totali ε è l’emissività totale definita come il potere emissivo totale in funzione della temperatura, diviso il potere emissivo del corpo nero, in funzione della temperatura ed è correlato al potere emissivo monocromatico con la legge integrale tra 0 a ∞ di ελ • Eλ,n dλ, al denominatore c’è σ • T⁴. Quindi abbiamo l’emissività monocromatica e l’emissività totale, correlate dal fatto che l’emissività totale dipende dall’emissività spettrale che va a moltiplicare a sua volta il potere emissivo di corpo nero spettrale, facendo l’integrale si ottiene il potere emissivo del corpo reale.

Se il corpo nero ad una certa temperatura avrà l’andamento del potere emissivo di questo tipo, il corpo reale avrà un potere emissivo diverso, quindi inferiore. L’area sottesa, che è il potere emissivo totale, è più basso. Da qui deriva il termine emissività, più è bassa l’emissività, più siamo lontani dalle condizioni di corpo nero.

Di solito, l’emissività è molto bassa, per ε che va da 0.05 a 0.2 per metalli lucidi.

L’emissività più elevata, fino ad arrivare a valori intorno allo 0.90 - 0.95 per pitture scure, che rappresentano e approssimano il comportamento emissivo di corpo nero. Quindi pitture molto scure si comportano dal punto di vista dell’emissività, quindi oggetti pitturati di nero, come un corpo nero.

Poi abbiamo valori intermedi, per il vetro abbiamo 0.8, le ceramiche variano da 0.4 a 0.8, i metalli ossidati vanno da 0.3 a 0.8.

Definiamo i coefficienti di assorbimento, di riflessione e di trasmissione.

Se abbiamo una certa irradianza G che colpisce una superficie, consideriamo l’irradianza spettrale Gλ, parte di questa viene riflessa quindi abbiamo Gλ, rif, parte di questa viene assorbita, quindi abbiamo Gλ, ass e se il solido è trasparente o la superficie piana è una lastra semi-trasparente, abbiamo anche una parte di irradianza monocromatica trasmessa, Gλ, tr.

Se il mezzo o il corpo è opaco, Gλ, tr è 0. Cioè se l’oggetto è opaco, non lascia passare irradianza e quindi questa parte non c’è.

Generalmente, se il mezzo non è opaco ma è semitrasparente, Gλ è data dalla somma di Gλ, rif + Gλ, ass +   Gλ, tr.

Possiamo definire 3 coefficienti, αλ, ρλ e 𝛕λ.

Significa che le frazioni riflesse, trasmesse e assorbite dell’irradianza possono essere definite in funzione di tre coefficienti, ρ, α e 𝛕:

• ρ è il coefficiente di riflessione della radiazione, se è ρλ, significa che siamo in condizioni monocromatiche e quindi è Gλ, rif, diviso Gλ. Se siamo in condizioni totali, è Grif, su G.

• αλ è il coefficiente di assorbimento o assorbanza, quindi è Gλ, ass, diviso Gλ. In termini totali α è Gass, diviso G.

• 𝛕λ è il coefficiente di trasmissione, che è Gλ, tr, diviso Gλ. 𝛕 in termini totali è Gtr, diviso G.

Di solito α, coefficiente di assorbimento, dipende poco dalla temperatura del mezzo, quindi non è funzione della temperatura della superficie e se consideriamo un’irradianza di corpo nero del Sole, quindi Gλ,s è una distribuzione spettrale di corpo nero che dipende da λ e Ts.

Possiamo definire il coefficiente di assorbimento solare come integrale da 0 a λ di αλ per il potere emissivo di corpo nero a 5800 K e λ per dλ, diviso integrale tra 0 e ∞ del potere emissivo del corpo nero a quella temperatura e λ in dλ. Quindi si calcola come σ per Ts⁴ e anche al denominatore.

È un coefficiente di assorbimento molto importante, perché viene studiato soprattuto in edilizia, ma anche per il raffreddamento degli abitacoli, perché buona parte dell’irradianza solare viene assorbita secondo quel coefficiente di assorbimento.

Concludendo, per un mezzo opaco 𝛕 è 0, quindi si deve avere che ρ + α = 1, ma anche che ρλ + αλ = 1. Mentre per un mezzo semitrasparente, deve valere la somma ρ + 𝛕 = 1, come anche i termini monocromatici, ρλ + 𝛕λ = 1.

Si possono definire grigie, quindi una sorta di intermedio tra corpo nero e reale. Le superfici grigie sono caratterizzate da avere coefficienti monocromatici ρ, α e 𝛕 indipendenti dalla lunghezza d’onda nella regione d’interesse di calcolo e pari ai coefficienti totali. Se così non è, le superfici si dicono selettive.

Questa legge considera una grande cavità isoterma, che si trova alla temperatura superficiale T e un corpo molto piccolo in equilibrio con questa cavità isoterma, avente un’area superficiale A, un’emissività ε e coefficiente di assorbimento α.

Se il corpo è molto piccolo rispetto alla cavità, possiamo fare l’ipotesi che il corpo veda la cavità come se fosse un corpo nero. Questa ipotesi ci permette di dire che se la cavità è un corpo nero, è un perfetto assorbitore, un perfetto emettitore e un emettitore diffuso. Questa ipotesi vale tanto più il corpo piccolino è di dimensioni ridotte rispetto alla cavità, perché non va ad influire sui fenomeni di assorbimento, quindi il potere emissivo di questo corpo andrà a colpire le pareti della cavità, verrà riflesso n volte, finché non viene totalmente assorbito. Quindi il corpo deve essere sufficientemente piccolo.

Possiamo dire che la cavità stessa emette a sua volta, verso il corpo, un’irradianza Gn di corpo nero. Gn è il potere emissivo della cavità che va verso il corpo piccolino, che possiamo indicare anche come En, che è σ per T⁴. La cavità è un grande corpo nero che ha un potere emissivo, che è uguale all’irradianza che colpisce il piccolo corpo. Questo vale per la cavità.

Mentre per il piccolo corpo, possiamo dire che questo assorbe una quantità totale di irradianza α per Gn. Quindi possiamo scrivere α • σ • T⁴.

Abbiamo detto che la temperatura della cavità T è uguale alla temperatura del corpo nero, quando siamo in perfetto equilibrio termico. Il piccolo corpo emetterà verso la cavità un certo potere emissivo E, pari ad ε per En, quindi pari a ε • σ • T⁴.

Siccome la cavità e il piccolo corpo sono in equilibrio termico tra di loro, non si avrà potenza radiativa netta che entra o esce dal piccolo corpo. Il potere emissivo del piccolo corpo deve essere uguale, quindi q radiativo netto = 0, che è E - Gass. Quindi E deve essere uguale a Gass, quindi ε per En = α per En. Quindi ε = α. Per il piccolo corpo, che per ora abbiamo definito con proprietà radiative ε e α e A, possiamo affermare che la sua emissività totale è uguale al coefficiente di assorbimento totale, quando il piccolo corpo è all’interno di una cavità e il piccolo corpo vede la cavità come un corpo nero. La validità di questa legge si ha anche quando Ts e Tcav, chiamiamo le due temperature del corpo e della cavità, il valore assoluto di Ts - Tcav < 100 gradi Kelvin o centigradi, quindi anche quando non siamo in perfetto equilibrio termico.

Se la differenza non è tanto elevata, continua a valere la legge di Kirchhoff.

Si può ripetere la dimostrazione e si arriva che ελ = αλ, quindi in termini monocromatici l’emissività è uguale all’assorbanza e vale sempre il discorso dei 100 gradi.

In termini monocromatici è diverso dai termini totali, quindi non è detto che un corpo rispetti questa e questa uguaglianza.

Abbiamo 3 condizioni, quindi una superficie diffusa può essere:

1. In equilibrio termico con la cavità. Possiamo scrivere che, sia in termini totali, sia in termini monocromatici, l’irradianza di corpo nero monocromatica è uguale al potere emissivo del corpo nero monocromatico, oppure in termini totali, l’irradianza di corpo nero è uguale al potere emissivo di corpo nero. Posso scrivere che ε è uguale, al denominatore il potere emissivo di corpo nero e al numeratore integrale tra 0 e ∞ di ελ, potere emissivo monocromatico di corpo nero in dλ. Questo è uguale ad α, perché α lo possiamo scrivere come Gn al denominatore e al numeratore l’integrale che va da 0 a ∞ di α per Gλ,n in dλ. Vale questa uguaglianza, quindi possiamo arrivare a scrivere che ε totale è uguale ad α, perché Gn è uguale ad En, Gλ,n è uguale ad En, poi abbiamo che la superficie diffusa ελ = αλ. Arriviamo a dimostrare che per un piccolo corpo con superficie diffusa in equilibrio termico con la cavità, oltre a valere la legge di Kirchhoff monocromatica, vale anche la legge di Kirchhoff totale.

2. Grigia. Abbiamo detto che per la superficie grigia ελ = αλ e questi valori sono delle costanti che non dipendono da λ. Quindi i coefficienti monocromatici non dipendono da λ, sono dei valori costanti. Questo lo possiamo scrivere in virtù della legge di Kirchhoff monocromatica, quindi posso mettere il pedice 0. Se la superficie è fatta in questo modo, ad esempio in funzione di λ plotto il valore di ελ, 0 = αλ, 0. Dato che questi sono dei valori costanti, ho quasi una retta e devo dimostrare che vale la legge di Kirchhoff anche in termini totali. Applico la solita formula, questa volta però la cavità e la superficie del corpo non sono in equilibrio termico, ma se disegno l’andamento di Gλ e del potere emissivo Eλ, vedo che sono diversi. I due corpi non sono in equilibrio termico, quindi sia in termini totali, sia in termini spettrali, non possiamo scrivere che G = E, così anche in termini totali. E sarebbe il potere emissivo visto dalla cavità come corpo nero, quindi sarebbe Eλ,n. ε è integrale da 0 a ∞ di Eλ,n per ελ, 0 in dλ, diviso En. Questo integrale lo pongo uguale ad α, che è uguale a integrale da 0 a ∞ di Gλ per αλ, 0 in dλ, diviso G. Siccome ελ, 0 e αλ, 0 sono costanti e non variano con la lunghezza d’onda, possiamo portarli fuori dall’integrale, quindi otteniamo, se facciamo l’integrale di Eλ,n in dλ su En, otteniamo che questa quantità è uguale a 1, come anche l’altra, per cui possiamo scrivere ε = ελ, 0 = α = αλ, 0. Quindi anche in condizioni di non equilibrio termico, vale la legge di Kirchhoff totale, se il piccolo corpo è caratterizzato da una superficie diffusa ed è questa grigia. Esempi di superfici grigie sono il carbonio inossidabile stainless steel, che presenta una sua emissività abbastanza costante, quindi per i materiali grigi ε = α. Il carbonio inossidabile a 1200 K è abbastanza costante come emissività e quindi anche come assorbanza in quasi tutto il campo della radiazione termica.

3. Selettiva. Selettiva significa che i coefficienti radiativi variano con la lunghezza d’onda. Se la superficie è diffusa abbiamo che ελ = αλ. Questo deriva dall’ipotesi di superficie diffusa, però ε totale non è uguale ad α nelle superfici selettive, perché se scriviamo sempre la nostra formula, nel caso di non equilibrio termico, questo non vale, perché non posso portare fuori dall’integrale αλ, quindi l’andamento del prodotto αλ per Gλ è diverso dall’altra funzione, perché se non siamo in condizioni di equilibrio termico, i due spettri sono diversi. Quindi anche se è diffusa, quindi i due coefficienti sono uguali nello spettro, però vanno a moltiplicare delle cose diverse, quindi le superfici selettive non rispettano la legge di Kirchhoff totale. Superfici selettive possono essere per esempio la neve o la pittura bianca. La neve è una superficie opaca, quindi ρλ + αλ = 1. La neve circa fino a 1.5 μm è abbastanza riflettente, poi quando si entra nel campo degli infrarossi è molto assorbente, perché diminuisce il coefficiente di ρ e aumenta α. Un esempio simile alla neve è la pittura bianca. 

Ora guardiamo lo scambio termico radiativo tra una superficie grigia e un grande ambiente, ipotizzabile come una cavità isoterma. Un esempio di grande ambiente è l’atmosfera.

La superficie piana si trova a temperatura Ts. Il grande ambiente invece si trova a Tcav, che può essere idealizzato come una cavità a temperatura costante.

Immaginiamo una superficie esposta all’ambiente esterno, questa riceve dall’ambiente esterno una certa irradianza G ed emette a sua volta verso l’esterno un certo potere emissivo E.

Consideriamo la superficie opaca grigia e diffusa e consideriamo la differenza di temperatura Ts - Tcav in valore assoluto < 100 K, consideriamo inoltre valori tipici per quanto riguarda temperatura ambiente, quindi Tcav per esempio può andare da 280 K fino a 320 K, quindi da circa qualche grado centigrado, fino a circa 40 - 70°C.

In queste condizioni, vogliamo andare a calcolare la potenza radiativa netta uscente dalla superficie, qrad,net, cioè la potenza specifica netta che esce per irraggiamento della superficie, che dipende da G e da E. Quando esce è positiva, quindi la superficie essendo grigia è caratterizzato dal coefficiente ε = α.

Quindi ε • E = - α • G. Metto l’emissività perché ho una superficie reale, quindi è lo stesso di scrivere E - Gass. ε • σ • Ts ⁴ - α. La cavità ha un potere emissivo di corpo nero σ • Tcav ⁴. La cavità può essere vista come un corpo nero e quindi il suo potere emissivo è σ • Tcav ⁴. σ è uguale ad ε, quindi possiamo raggruppare ε per σ • Ts ⁴ - Tcav ⁴. Quindi possiamo scrivere ε • σ • Ts ² - Tcav ², che moltiplica Ts ² + Tcav ². Ho scomposto il polinomio, poi posso fare un’altra scomposizione, ε • σ • (Ts - Tcav) • (Ts + Tcav ) • (Ts ² + Tcav ²). Ho scomposto nuovamente questo polinomio in due.

Ora posso lavorare su Ts e Tcav e posso dire che Ts + Tcav/2 è uguale a Tm, temperatura media, quindi Ts + Tcav è uguale a 2 volte la temperatura media.

Andiamo ad analizzare (Ts  + Tcav )². Abbiamo che (Ts  + Tcav )² è uguale Ts² + Tcav ² + 2 • (Ts • Tcav). Quindi Ts² + Tcav ² è (Ts  + Tcav )² - 2 • Ts • Tcav. Questo lo possiamo sostituire come 2 volte la temperatura media, quindi sarebbe 4 • Tm².

Nelle condizioni di temperatura, Ts per Tcav è circa uguale a Tm². Quindi possiamo andare a sostituire e diventa 2 • Tm². Questa vale solamente nelle condizioni specifiche che abbiamo imposto. Questo è ε • σ • 4 • Tm⁴.

Posso chiamare h l’irraggiamento, pari a ε • σ • 4 • Tm³. Così facendo, la potenza specifica radiativa netta risulta essere hirr • (T - Tcav), dove hirr, coefficiente di irraggiamento è ε • σ • 4 • Tm³. Se moltiplico per l’area, ottengo direttamente la potenza, quindi faccio l’area della superficie per hirr • (Ts - Tcav), ottengo la potenza e non più la potenza specifica.

Quando abbiamo solamente radiazione con una superficie con una cavità, la potenza netta scambiata tra la superficie e la cavità è qirr.

Se ci aggiungiamo anche la convezione, quindi aggiungiamo anche la presenza di aria alla temperatura T∞ e coefficiente convettivo hconv, in questo caso si parla di scambio termico combinato o adduttivo. Quindi abbiamo scambio termico radiativo + convettivo = scambio termico combinato.

In questo caso vado a sommare anche l’effetto della convezione tra la piastra piana e l’area che si trova nell’ambiente circostante, facciamo l’ipotesi che sia aria ferma quindi abbiamo una convezione naturale, Ts > T∞, quindi possiamo scrivere che la potenza termica scambiata per convezione è hconv • A • (Ts - T∞).

Posso calcolare la potenza termica totale come potenza termica scambiata per irraggiamento + potenza termica scambiata per convezione. E questa la posso calcolare come [hconv • A • (Ts - T∞)] + [hirr • A • (Ts - Tcav)].

Posso chiamare coefficiente di scambio termico combinato h la somma hconv + hirr. Posso anche scrivere questa equazione come h • A • (Ts - Top). T operativa è una temperatura calcolata come la media pesata delle temperature convettive e radianti di cavità sui loro rispettivi coefficienti, quindi è hirr + T∞ • hconv + Tcav • hirr. Se tiro fuori l’area, posso scrivere hconv • hirr • Top, che è esattamente T∞ • hconv + Tcav • hirr. Questa temperatura operativa la possiamo inserire al posto di T∞ e Tcav e calcolare lo scambio termico totale q con entrambi i contributi, quindi sia radiativo, sia convettivo.

Normalmente, si può prendere come temperatura operativa la T∞. Quindi una superficie che scambia calore con l’ambiente circostante, lo scambio termico combinato tra convezione e irraggiamento tiene conto di due coefficienti. Di solito questo irraggiamento è molto più basso rispetto a quello convettivo, quindi è spesso trascurabile, quindi possiamo dire che è uguale ad hconv. A parte situazioni in cui le temperature iniziano a crescere, quindi se Ts è vicina a + 100 gradi rispetto a T∞, inizia a farsi sentire di più l’irraggiamento, quindi maggiore è il ΔT e quindi bisogna considerare lo scambio termico radiativo, come per temperature molto molto elevate, quindi metalli a 1000 K, incandescenti, è preponderante l’irraggiamento rispetto alla convezione. Se faccio ε • σ • 4 • Tm⁴, troviamo che il coefficiente di irraggiamento è di qualche decina di W/m² • K. Anche hirr ha come unità di misura W/m² • K.

Finora abbiamo visto casi in cui tutta la superficie in esame scambia tutto il suo potere emissivo con l’ambiente che è una grande cavità, ma nella pratica non succede sempre così, perché abbiamo spesso un corpo con una sua superficie generica Ai, alla sua temperatura Ti che avrà il suo potere emissivo, individuiamo con ni il versore rispetto a quella superficie. Questo corpo specifico scambia calore per irraggiamento o con una cavità, oppure con un altro corpo con area Aj e temperatura Tj.

Quindi se voglio conoscere la potenza termica netta scambiata che va da i a j, devo utilizzare il fattore di vista Fij, definito come qij, diviso Ai • radiosità del corpo i, Ji. Quindi da questa definizione si calcola qij come Fij per Ai • Ji. Questo fattore di vista è una percentuale, una frazione di radiazione che va dal corpo i al corpo j.

Il calcolo del fattore di vista è geometrico, esistono delle relazioni specifiche tra vari fattori di vista.

Potrei calcolare la potenza termica da j verso i se la temperatura j è maggiore rispetto a quella del corpo i, come Fji = qj —> i/Aj • Jj.

Considerando un orientamento arbitrario delle due superfici, si utilizza per il calcolo del fattore di vista la relazione di reciprocità che dice che Ai • Fij è uguale a Aj per Fji.

Se invece di avere due superfici qualunque, abbiamo una cavità di N superfici, in questo caso abbiamo 4 superfici, quindi chiamiamo con N il numero di superfici, possiamo applicare la regola della somma. Ognuna di queste superfici emetterà e riceverà della radiazione. La regola della somma ci dice che la sommatoria che j che va da 1 a N di Fij è uguale ad 1.

In questo caso, la 1 e la 2 sono superfici piane e la 3 è una superficie convessa, mentre la 4 è concava. Il fattore di vista vale 0 per queste tre superfici, quindi se faccio F₁₁ questo è uguale a 0, F₂₂ = 0, F₃₃ = 0, perché sono piane o convesse. Mentre per le superfici concave come la 4, F₄₄ può essere diverso da 0, cioè la superficie si può re-irradiare a vicenda, ad esempio da questo punto partono le radiazioni, la radiazione viene radiata in un altro punto della superfici stessa.

Per una serie di applicazioni pratiche, si utilizzano dei manuali, ci sono una serie di indicazioni sul calcolo di questi fattori di vista, in funzione della geometria del problema.

Se abbiamo geometrie bidimensionali, quindi per esempio è la superficie i, questa è la j. Tutte queste relazioni non sono da imparare a memoria. La lunghezza della superficie i è w e quella della superficie j è indicata sempre con w. α è l’angolo tra le due superfici, Fij in questo caso è 1 - il seno di α/2.

Poi ci sono altre varie formule per il calcolo del fattore di vista, per esempio per una superficie ortogonale rispetto all’altra.

Se abbiamo geometrie tridimensionali, ad esempio due cerchi, abbiamo un altro fattore di vista che si calcola con altre formule.

Se siamo in condizioni tridimensionali generiche e abbiamo dei corpi neri, se abbiamo un corpo nero i, caratterizzato da area Ai e temperatura Ti e un corpo nero j, caratterizzato da area Aj e temperatura Tj, possiamo scrivere che il potere emissivo del corpo nero i-esimo è uguale alla sua radiosità. Questo perché J è pari a E + G riflessa, che per un corpo nero è 0, perché assorbe tutto.

Ugualmente, il corpo nero j avrà potere emissivo uguale alla sua radiosità Jj.

Posso scrivere che lo scambio termico netto da i a j è uguale ad (Ai • Ji) • Fij.

Ji in realtà è uguale al potere emissivo di corpo nero, quindi possiamo scrivere Eni. Mentre q di j che va verso i è (Aj • Jj) • Fji e anche in questo caso Jj lo possiamo sostituire con Enj.

Se voglio calcolare la potenza netta che va da un corpo all’altro, per esempio che va da i a j, devo fare la potenza che va da i a j, meno la potenza che va da j ad i. Quindi ottengo Ai • Fij • Eni - Aj • Fji • Enj. Per la regola della reciprocità Ai • Fij = Aj • Fji, per cui questo lo posso scrivere come Ai • Fij che moltiplica Eni - Enj.

Quindi posso identificare, per analogia elettrotermica, il potere emissivo al posto della temperatura del corpo i che va verso il potere emissivo del corpo j e qui ci metto una resistenza spaziale che dipende dal fattore di vista, che vale (Ai • Fij)⁻¹. Quindi posso scrivere che lo scambio netto qij è uguale a Eni - Enj, diviso questa resistenza spaziale. Come abbiamo visto per la conduzione e la convezione, quando ho calcolato le resistenze conduttive e convettive, qui posso calcolare la resistenza spaziale Rs o anche detta geometrica alla radiazione.

Al posto delle temperature in questo caso ci metto i poteri emissivi, quindi se io voglio dei Watt, ho dei W/m², quindi devo avere 1/m². Quindi Rs ha le dimensioni di 1/m².

Il fattore di vista è adimensionale. Eni - Enj lo possiamo chiamare potenziale.

Visto che abbiamo introdotto le reti di resistenze, possiamo vedere quando siamo in una cavità e abbiamo delle superfici nere, per esempio una cavità molto semplice. Posso disegnare una rete di resistenze di questo tipo. Chiamo potenza termica q₁ che si dirama nelle potenze termiche q₁₂ e q₁₃.

In questo caso, q₁ è pari a q₁₂ + q₁₃, quindi sarà pari a En₁ - En₂, diviso Rs₁₂ + En₁ - En₃, diviso Rs₁₃. La resistenza spaziale da 1 verso 2 sarà (A₁ • F₁₂)⁻¹, la resistenza spaziale da 1 verso 3 sarà (A₁ • F₁₃)⁻¹.

Se abbiamo cavità con N superfici, allora faremo che da q₁ uscirà una potenza termica q₁₂, q₁₃, …, q1N.

In questo caso, qi è pari a Ai • (Ji - Gi).

Ji è Ei + Grif,i = εi • Eni + ρi • Gi. Se è grigia, εi = αi, se è opaca abbiamo che ρi + αi = 1. Quindi ρi è uguale a 1 - αi, quindi 1 - εi. Questo lo posso scrivere come εi • Eni + 1 - εi che moltiplica Gi.

Quello che voglio fare adesso è andare a ricavare Gi in funzione della radiosità, quindi Gi è Ji - εi • Eni, diviso 1 - εi. Adesso posso andare a sostituire, quindi qi = Ai • (Ji - εi • Eni), diviso 1 - εi. Quindi è Ai • Ji - εi - Ji - εi • Eni. Semplificando si ottiene Eni - Ji, diviso 1 - εi, diviso Ai per εi. Il denominatore è la resistenza radiativa superficiale Rr.

Quindi quando abbiamo a che fare con corpi grigi, possiamo passare dal potere emissivo alla radiosità, applicando la resistenza radiativa superficiale. qi entra nella rete di resistenze, Rr è la resistenza radiativa superficiale e passiamo dal potere emissivo del corpo nero i-esimo, fino alla radiosità i-esima.

Se abbiamo più corpi reali che interagiscono, dobbiamo considerare non il loro potere emissivo, ma la loro radiosità, applicando la resistenza radiativa equivalente. In particolare, se applichiamo la resistenza radiativa spaziale dal corpo i verso il corpo j, abbiamo Rs che è (Ai • Fij)⁻¹. Qui si parte da Ji, quindi radiosità i-esima verso Jj, che è la radiosità che va verso il corpo j.

Facciamo un esempio, abbiamo invece di una cavità con 3 superfici nere, abbiamo una cavità con 3 superfici grigie. In questo caso, la potenza termica che esce dalla superficie 1, quindi q₁ e va verso la superficie 2 e 3, è fatta in questo modo. Abbiamo la resistenza radiativa superficiale Rr₁₂, poi abbiamo una resistenza spaziale Rs₁₂, poi un’altra resistenza spaziale Rs₁₃ e infine un’altra resistenza radiativa superficiale Rr₁₃.

La potenza termica che va dalla superficie 1 verso le superfici 2 e 3, la possiamo calcolare con una rete di resistenze equivalenti, sia radiative sia spaziali. Quelle radiative servono per passare dal potere emissivo di corpo nero alla radiosità, quelle spaziali servono per passare dalla radiosità di una superficie alla radiosità dell’altra, quindi avrei che q₁ = En₁ - J₁, diviso la resistenza radiativa superficiale. Mentre q₁₂ lo posso calcolare come J₁ - J₂, diviso (A₁ • F₁₂)⁻¹. q₁₃ lo posso calcolare come J₁ - J₃, diviso (A₁ • F₁₃)⁻¹. E quindi posso risolvere il problema, andando ad imporre che al nodo q₁ = q₁₂ + q₁₃.

Nel caso di due superfici reali, quindi solamente due superfici, la superficie 1 è caratterizzata da A₁, ε₁, T₁, la superficie 2 è caratterizzata da A₂, ε₂ e T₂. Avremo una certa potenza netta che va da 1 verso 2.

La rete di resistenze la possiamo calcolare partendo da En₁, arriviamo a J₁ e J₂ e En₂. Abbiamo una resistenza radiativa superficiale 1, una resistenza spaziale da 1 a 2 e resistenza radiativa superficiale 2.

Possiamo scrivere che, essendo due superfici, q₁ = - q₂ ed è pari alla potenza netta che va da 1 a 2. In questo caso, q₁ possiamo calcolarlo come En₁ - En₂, diviso la resistenza totale. La resistenza totale sarà la somma delle 3 resistenze, quindi ci sarà una prima resistenza radiativa superficiale, poi una resistenza spaziale + una terza resistenza radiativa superficiale. Quindi lo possiamo scrivere come σ • (T₁⁴ - T₂⁴) e al denominatore la resistenza totale.

Poi abbiamo due superfici piane molto larghe, oppure abbiamo delle superfici cilindriche concentriche, delle sfere concentriche. Per queste geometrie comuni abbiamo il calcolo della potenza termica che va dalla superficie 1 alla superficie 2.

In questo caso consideriamo delle superfici semitrasparenti grigie e diffuse.

Ci sono due superfici, immaginiamo delle vetrate di area A = b • h. Immaginiamo un doppio vetro, quindi un vetro che vede un altro vetro, all’interno delle due vetrate immaginiamo di avere il vuoto e di interporre lo schermo radiativo, che è un piccolo strato di materiale semitrasparente molto sottile.

Quindi chiamiamo T₁ la temperatura della superficie 1, T₃ la temperatura dello schermo radiativo e T₂ la temperatura della superficie 2. Consideriamo ε₁ il coefficiente di irraggiamento della vetrata 1, poi possiamo definire un ε₃₁ e un ε₃₂ e infine un ε₂. La superficie 1 è caratterizzata da un’emissività interna ε₁, poi questo piccolo strato ha un’emissività verso la superficie 1, ε₃₁ verso la superficie 3, ε₃₂ è l’ultima emissività della superficie 2. In questo caso, visto che le aree sono comuni, F₁₃ = F₃₂ = 1.

Se abbiamo una potenza radiativa esterna proveniente per esempio dall’energia solare, questa viene trasmessa dalla superficie 1 alla superficie 3, poi dalla superficie 3 alla superficie 2 e poi esce.

La potenza netta che va dalla superficie 1 alla superficie 2 la posso calcolare sapendo che A₁, A₂ e A₃ sono uguali, quindi A e nelle formule posso raccogliere un A e ottenere A₁ • σ • (T₁⁴ - T₂⁴). Immaginiamo T₁ molto maggiore di T₂. Al denominatore c’è la resistenza totale che si semplifica come 1 su ε₁ + 1 - ε₃₁/ε₃₁ + 1 - ε₃₂/ε₃₂ + 1/ε₂. La resistenza spaziale non c’è, rimane la resistenza superficiale e la presenza di questo schermo radiativo fornisce due termini non trascurabili che vanno a ridurre la potenza che va da 1 verso 2 e queste sono date dalla presenza dello schermo radiativo.