Lösung A die Summe ergibt 93%.
Die Angabe in Antwort B quantifiziert die Wahrscheinlichkeit, daß genau 8 Therapien erfolgreich sind.
Lösung D
Da die Reihenfolge bei den Lottokugeln unerheblich ist, wird nochmal durch 6! dividiert und man erhält den Binomialkoeffizienten unter D.
Aufgabe 7.3:
Binomialverteilung – Erbleiden
Beide Partner eines Elternpaares haben die Anlage für ein rezessives Erbleiden im heterozygoten Zustand. Sie haben n Kinder; X sei die Anzahl der Kinder mit heterozygoten Erbanlagen. Welche Aussage trifft nicht zu?
X folgt einer Binomialverteilung.
Der Erwartungswert von X beträgt n / 2 .
Die Varianz von X beträgt n / 4 .
Die Verteilung von X ist symmetrisch.
X hat denselben Erwartungswert wie die Zufallsvariable, die die Anzahl der homozygot erkrankten Kinder beschreibt.
Lösung 5 (trifft nicht zu)
Falsch ist E. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Kind homozygot erkrankt (oder auch homozygot gesund) ist, beträgt 1/4; der Erwartungswert ist dann n/4
Aufgabe 7.4: Poissonverteilung – Kinder mit Down–Syndrom
Die Anzahl der am Klinikum Mannheim geborenen Kinder beträgt etwa n = 2000 pro Jahr. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Neugeborenes mit einem Down-Syndrom zur Welt kommt, betrage p=1/1000. Wir nehmen an, daß die Ereignisse unabhängig
voneinander sind. Die Anzahl der Kinder mit Down-Syndrom sei X. Welche Aussage trifft nicht zu?
X kann durch eine Poissonverteilung approximiert werden.
Der Erwartungswert von X beträgt 2.
Die Standardabweichung von X beträgt 2.
Die Varianz von X beträgt 2.
X ist eine diskrete Zufallsvariable, die theoretisch alle Werte zwischen 0 und 2000 annehmen kann.
Lösung 3 (Standardabweichung ist nicht 2)
Aufgabe 7.6 Verteilung von Wochentagen
Wir nehmen an, daß der Wochentag keinen Einfluß auf das Eintreten einer Spontange- burt hat. Dann folgt die Verteilung der Geburtszeiten auf die Wochentage
einer Poissonverteilung
einer diskreten Gleichverteilung
einer Binomialverteilung
einer Normalverteilung
einer Polynomialverteilung
Lösung: 2
Es gibt hier 7 Ausprägungen (nämlich die Wochentage Montag bis Sonntag) mit jeweils
der Wahrscheinlichkeit 1/7. Dies ist eine diskrete Gleichverteilung.
Aufgabe 7.7 Spezielle Normalverteilungen
Welche der folgenden Merkmale bzw. Zufallsvariablen können als normalverteilt an- gesehen werden?
die Körpergröße erwachsener Frauen
die Körpergröße der gesamten erwachsenen Bevölkerung
das Körpergewicht erwachsener Frauen
Meßfehler
Lebensdauern
die Mittelwerte, die aus zahlreichen Stichproben des Umfangs n = 30 aus einer
bestimmten Grundgesamtheit berechnet werden
eine binomialverteilte Zufallsvariable X : B(100;0,2)
A ) nur 1, 4, 6 und 7
B ) nur 6 und 7
C ) nur 1–5
D ) keines
E ) alle
Lösung A (Körpergröße, Messfehler, Mittelwerte und X:B(100;0,2))Beim Körpergewicht gibt es insbesondere im obe- ren Bereich Ausreißer; dieses Merkmal ist (ebenso wie Lebensdauern) rechtsschief verteilt. Wenn man die Größe aller Erwachsenen (heterogene Population) betrachtet, wird man eine 2-gipfelige Verteilung erhalten mit einem „weiblichen“ und einem „männlichen“ Gipfel – also keine Normalverteilung. Meßfehler sind ein klassisches Beispiel für eine Normalverteilung – das wußte schon Carl Friedrich Gauss. Nach dem zentralen Grenzwertsatz sind auch Mittelwerte normalverteilt
Aufgabe 7.8 Normalverteilung – allgemeine Eigenschaften
Welche Aussage ist richtig?
Bei einer Normalverteilung liegen alle Werte zwischen μ − 3σ und μ + 3σ.
Je größer die Varianz, desto flacher verläuft die Glockenkurve.
In der Regel stimmen der Erwartungswert und der Median nicht überein.
Der Erwartungswert ist immer gleich 0.
Der Erwartungswert kann keine negativen Werte annehmen.
Lösung 2 (große Varianz, flache Kurve)
Aufgabe 7.9 Normalverteilung – Dichtefunktion
Welche Aussage ist falsch?
Die spezielle Form der Glockenkurve ist unabhängig von der Varianz σ2 .
Die Dichtefunktion wird durch eine Glockenkurve graphisch dargestellt.
Die Dichtefunktion ist symmetrisch bzgl. des Erwartungswerts μ .
Das Integral unter der gesamten Kurve hat den Wert 1.
Die Dichtefunktion hat für alle x-Werte zwischen − ∞ und + ∞ einen Funkti-
onswert, der größer als 0 ist.
Lösung: A (Aussage ist falsch)
Die spezielle Form der Glockenkurve ist keineswegs unabhängig von der Varianz; je größer die Varianz, desto flacher die Kurve. Alle anderen Aussagen sind richtig
Aufgabe 7.10 Standardnormalverteilung
Sei X : N (μ, σ2 ) und Z standardnormalverteilt. Welche Aussagen sind richtig?
Z : N (0,1)
Z : N (1,0)
Durch ( X − μ) / σ2 wird X in Z transformiert.
Eine Rücktransformation von Z in X ist nicht immer möglich.
A ) Nur 1 und 3 sind richtig.
B ) Nur 2 und 3 sind richtig.
C ) Nur 1, 3 und 4 ist richtig.
D ) Nur 2, 3 und 4 ist richtig.
E ) Nur 1 ist richtig.
Lösung: E (nur 1 ist richtig) Die Standardnormalverteilung hat den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 (Aussage
1), nicht umgekehrt (Aussage 2 ist deshalb falsch). Die Transformation ist (X − μ)/σ; es wird also nicht durch σ2 dividiert (deshalb ist 3 falsch). Jede transformierte Variable kann über X = μ + σZ zurücktransformiert werden; Aussage 4 ist also auch falsch.
Aufgabe 7.11: Normalverteilung – Transformationen von X Sei X : N (μ, σ2 ) normalverteilt. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
Y = X − a ist normalverteilt mit Y : N(μ− a,σ2)
Y = ( X − μ) / σ ist standardnormalverteilt.
C. Y = X / σ ist normalverteilt mit Y : N (μ / σ, 1) 224
Y = X ist normalverteilt mit Y : N(μ ,σ )
Y = aX + b ist normalverteilt mit Y : N (aμ + b,a2σ2 )
Lösung 4 (X2 ist nicht normalverteilt)
Bei nichtlinearen Transformationen wie z. B. X 2 gehen die Eigenschaften der Normalverteilung verloren.
Aufgabe 7.12: Normalverteilung – Referenzbereiche
Die Körpergröße männlicher Studenten sei normalverteilt mit einem Erwartungswert von μ=180cm und einer Standardabweichung von σ=6cm. Wieviel Prozent der
Studenten sind dann größer als 186 cm oder kleiner als 168 cm?
etwa 32 %
etwa 5 %
etwa 18,5 %
etwa 34,5 %
etwa 95 %
Lösung 3 (etwa 18,5%)
Aufgabe 7.13: Symmetrische Verteilungen
Welche der folgenden Verteilungen sind symmetrisch?
Standardnormalverteilung
Normalverteilung allgemein
Binomialverteilung B(n, p) mit p = 0,5
Poissonverteilung P(λ)
diskrete Gleichverteilung
Verteilung zur Beschreibung von Lebensdauern von Personen
t-Verteilung
Chi2-Verteilung
A ) nur 1 ist symmetrisch
B ) nur 1 und 2 sind symmetrisch
C ) nur 1, 2, 3, 5 und 7 sind symmetrisch
D ) alle außer 4 und 6 sind symmetrisch
E ) alle außer 6 sind symmetrisch
Lösung C (1,2,3,5 und 7 sind symmetrisch)
Aufgabe 7.14: Verteilung von Mittelwerten
Der systolische Blutdruck bei gesunden Männern zwischen 20 und 30 Jahren ist sym- metrisch verteilt mit μ = 120 mmHg und σ = 10 mmHg. Wie sind dann die Mittelwerte
verteilt, die aus den Blutdruckwerten von 25 zufällig ausgewählten Studenten berechnet werden?
genauso verteilt wie die Blutdruckwerte der Studenten
normalverteilt mit μ = 120 mmHg und unbekannter Varianz
normalverteilt mit μ = 120 mmHg und σx = 0,4 mmHg
normalverteilt mit μ = 120 mmHg und σx = 2 mmHg
Über die Verteilung der Mittelwerte kann nichts ausgesagt werden.
Lösung: 4 (μ = 120 mmHg, σx = 2 mmHg)
Nach dem zentralen Grenzwertsatz sind Mittelwerte normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Varianz σ2 / n Demnach ist der Erwartungswert mmHg und die Standardabweichung , also 10 mmHg / 5 = 2 mmHg.
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