Was sind Axiome?
sind Aussagen, die weder begründet noch bewiesen werden müssen, da sie einfach festgelegt werden
ist eine unabgeleitete Aussage und die Wahl ist Willkür
die Mathematik baut auf Axiome auf -> werden so gewählt, dass innerhalb des Axiomensystems logische Schlüsse widerspruchsfrei gezogen werden können
Was ist ein Lemma (oder Hilfssatz)?
ist eine mathematische oder logische Aussage, die im Beweis eines Satzes verwendet wird
besitzt jedoch nicht den gleichen Rang eines Satzes
hat nur im Beweis eines Satzes eine Bedeutung und nicht unabhängig davon
die Unterscheidung von Satz und Lemma ist nicht objektiv
Was versteht man unter einem Satz?
eine widerspruchsfrei logische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt ist
das heißt, der Satz wird aus Axiomen, Definitionen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet
wird je nach seiner Rolle (seinem Kontext) auch anders bezeichnet
Was fasst der Begriff Korollar zusammen?
bezeichnet eine Aussage, die sich aus einem schon bewiesenen Satz, dem Beweis eines Satzes oder einer Definition ohne großen Beweisaufwand ergibt
oft handelt es sich dabei um triviale Schlussfolgerungen
ist wie die Unterscheidung von Satz und Lemma subjektiv
Was versteht man unter einer Definition?
ist eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht
ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch, sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll
sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten
Inverses Element
umgangssprachlich könnte man das inverse Element auch das “umgekehrte” oder “entgegengesetzte” Element nennen
wenn man ein beliebiges Element der Menge und sein Inverses mit einer Rechenoperation verknüpft, erhält man immer das sogenannte neutrale Element als Ergebnis
es gibt: additiv Inverses, multiplikativ Inverses, …
Neutrales Element
ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur
ist dadurch gekennzeichnet, dass jedes Element durch die Verknüpfung mit dem neutralen Element auf sich selbst abgebildet wird
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