(==> Erinnerung: das Dach kennzeichnet einen Schätzwert)

-Die Parameter werden geschätzt, weil

o   lediglich eine Stichprobe aus der Population vorliegt

o   weitere (zufällige – aber nicht immer zufällige) Einflüsse nicht berücksichtigt werden, diese werden im Fehlerterm 𝜀 abgebildet

§  beobachtbare Faktoren (Ausbildungsberuf/Studienfach, Geschlecht) könnten später bei der multiplen Regression einbezogen werden

§  weitere unbeobachtete, zufällige Faktoren verbleiben im Fehlerterm

-Die (geschätzten) Parameter der Regressionsgleichung schätzen die Regressionsgerade der Population

Die Kleinst-Quadrate-Schätzung (Ordinary Least Squares, OLS)

-Prinzipiell lassen sich beliebig viele Geraden durch die Punkte legen

-Die (mathematisch) „beste“ Gerade ist die, bei der die Summe der quadrierten Abweichungen von den Punkten des Streudiagramms am geringsten ist

-Das Verfahren, das diese „beste“ Gerade liefert, nennt sich Kleinste (Abweichungs-) Quadrate-Schätzung (auch: OLS = ordinary least squares)

-Mathematisch wird dazu das Minimum der Summe der Abweichungsquadrate abhängig von 𝛽0 und 𝛽1 bestimmt

==> Gesucht werden die zwei Werte 𝛽!0 und 𝛽!1, für die die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird

o   Die beiden geschätzten Minimierungsparameter werden mit 𝛽!0 und 𝛽!1 bezeichnet ("Dach")

==> kennen wir bereits

==> Interpretation der Regressionskoeffizienten und Vorhersagewert

o   Interpretation Konstante: Wert von Y für X = 0

§  Hier: Bei 0 Bildungsjahren wird ein Berufsprestige von 19.7 Punkten erwartet

o   Interpretation Steigung: Veränderung von Y, wenn sich X um eine Einheit verändert

§  Hier: Pro Bildungsjahr steigt das Berufsprestige um 1.92 Punkte

-Beachte: Linearitätsannahme bedeutet, dass der Effekt immer gleich ist

-Beispiel: Veränderung des Berufsprestiges ist bei einer Erhöhung von 12 auf 13 Bildungsjahre ist die gleiche wie bei einer Veränderung von 24 auf 25 Bildungsjahre, also jedes Mal 1.92 Punkte mehr

==> Bedingter Erwartungswert

o   Regression legt fest, wie wir die bedingten Erwartungswerte ermitteln

o   Die lineare Regression ermöglicht die Beschreibung der bedingten Verteilung metrischer Variablen mit nur zwei Zahlen: dem Achsenabschnitt 𝛽!0 und der Regressionssteigung 𝛽!1

o   Durch die Annahme, dass bedingte Mittelwerte auf einer geraden Linie liegen (Linearitätsannahme), können auch bedingte Mittelwerte für Werte/Gruppen vorhergesagt werden, die nicht in den Daten repräsentiert sind.

o   Beispiel: Wie hoch wäre der Berufsprestigewert für 16,35 Bildungsjahre? Antwort: 51,1 (= 19.7 + 16,35 *1.92)

o   Wenn die Linearität allerdings nicht zutrifft, können diese Vorhersagen sehr weit von den "wahren" bedingten Mittelwerten entfernt sein.

-Wieviel "besser" ist die geschätzte Gerade im Vergleich zum Durchschnitt? = "Vergleiche die Streuung von Y mit der Streuung von Y|X"

-Gesamtstreuung = Erklärte Streuung + nicht-erklärte Streuung

-Die Streuungszerlegung wird dazu genutzt um zu bestimmen, welcher Anteil der Streuung von Y durch X erklärt wird

o   R2 (erklärt soundsoviel Prozent der Gesamtvarianz) bezieht sich auf das gesamte Modell

==> Hohes R2 sagt nichts über die Erklärungskraft oder Richtigkeit eines einzelnen Koeffizienten aus

o   Je mehr unabhängige Variablen, desto höher R2

o   später: korrigiertes R2

In den Sozialwissenschaften ist R2 eher gering (soziale Prozesse sind nicht deterministisch