Theoriefragen Strukturberechnung 1

Grundlagen und die praktische Anwendung von linearen FEM-Berechnungen

• Die Verschiebungen einer Struktur müssen klein sein

• Der Werkstoff verhält sich linear-elastisch

Typischerweise bei Stabilitätsproblemen von Stäben, Balken und Platten (Knicken, Beulen) -> Nichtlineare Berechnung

• Durch Diskretisierung

• An ausgewählten Punkten (Knoten) wird die reale Struktur repräsentativ abgebildet

• Idealisierung

• Es entsteht ein Modell

• Nicht alle Details können und müssen abgebildet werden

• Sie bilden die Steifigkeit einer Struktur ab

• Sie sind durch Knoten miteinander verbunden

• Von den Materialeigenschaften

• Der Geometrie (Bildung der Steifigkeitsmatrix)

Durch die Verbindung der Elemente in den Knoten wird das FE-Modell gebildet

• Eindimensional

• Zweidimensional

• Dreidimensional

• Balkenelemente

• Stabelemente

• Scheibenelemente

• Plattenelemente

• Volumenelemente

• Knotenverschiebungen

• Knotenverdrehungen

• Mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems nummerisch gelöst (Verschiebungsgrößen-Methode)

• Das Gleichungssystem hat m * x Unbekannte

• m = Anzahl der Knoten

• n = Anzahl der Freiheitsgrade je Knoten

An den Knoten

Sie werden in äquivalente Knotenkräfte umgerechnet

• Die Randbedingungen sind an den Knoten festzulegen

• Ein Knoten hat maximal 6 Freiheitsgrade

• Durch Auflager oder Lagerungen werden die Freiheitsgrade reduziert

• Zweidimensional mit Scheibenelementen

• Eindimensional mit Balkenelementen

• Die Wahl hängt von den geometrischen Abmessungen ab (Anhaltswert: l/h bzw. l/b >10)

• Verzerrungen

• Beanspruchungen

• Von der Anzahl der gewählten Elemente

• Je größer die Anzahl der gewählten Elemente desto genauer ist das Ergebnis und desto länger wird die Rechenzeit

• Es ist zu prüfen ob Symmetrien vorhanden sind

• Wenn ja -> “Schneiden des Bauteils” und setzen der richtigen Symmetrie-Randbedingungen

• An Stellen, wo genauere Ergebnisse erzielt werden sollen

• In der Regel dot, wo die höchsten Spannungen bzw. größten Verschiebungen auftreten

• Knotenverschiebungen

• -> Beschreibung des Verschiebungszustandes

• -> Verzerrungsberechnung

• -> Spannungsberechnung

• -> Ermittlung statisch äquivalenter Knotenkräfte

• Knotenkräfte

• Ergebnis: Linearer Zusammenhang zwischen Knotenkräften und Knotenverschiebungen

• Dehnungen

• Gleitungen

𝐺=𝐸/(2∗(1+𝜈))

• Der ebene Spannungszustand tritt in dünnen Scheiben auf

• Die Spannungen sind über die Scheibendicke konstant

• Folgende Bedingungen gelten: sxx, syy szz = τxz = τyz = 0, εzz ≠ 0 (Querkontraktion!

• In langen dickwandigen Bauteilen mit Dehnungsbehinderung

• Er ist wie folgt definiert: εzz = ϒxz = ϒyz = 0, szz ≠ 0

• Gegebene äüßere Kräfte

• Gesuchte Spannungen

• Mit Hilfe des Stoffgesetzes

• für komplexe Systeme

• Für statisch unbestimmte Systeme

Die virtuelle äußere Arbeit, die ein Kontinuum aufgrund der äußeren Belastung leistet und die virtuelle innere Formänderungsarbeit werden gleichgesetzt

• Auseinanderklaffen des Netzes

• Loch oder Lücken in der Modellierung

• Doppelt vernetzte Stellen

• Schubmodul falsch

• Querkontraktion falsch

• E-Modul falsch

• Blechdicke falsch

• Normalenrichtung (Druck) falsche Richtung

• Kraft/Druck/Temperatur falscher Wert

• Es können Gleichgewichtsbeziehungen formuliert werden

• Ein Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Belastungen (äußere Kräfte) dem Spannungszustand im Inneren entsprechen

• ε = D * u

• mit D: Differentialoperatorenmatrix

u = G * d

• d: Die Verschiebungen u werden an Stützstellen (Knoten!) diskretisiert

• G: ist die Zeilenmatrix mit der Ansatzfunktion

• p = k * d

• k: Steifigkeitsmatrix

• d: Knotenverschiebungen

• p: äußere Kräfte

Sie enthält Materialeigenschaften wie z.B. den E-Modul

• Über die Steifigkeit

• c = (A ∗ E) / l

• F = A * E * ε = ((A ∗E) / l ) ∗ 𝛥l

Alle Kräfte und Verschiebungen müssen in einem globalen Koordinatensystem dargestellt werden

• Globales KS: x, y

• Lokales KS: 𝑥̅ ,𝑦̅

• 𝐹𝑥1 = 𝐹𝑥1 ∗ cos𝛼 + 𝐹𝑦1 ∗ sin𝛼

• 𝐹̅𝑥1 = 𝑐1 ∗ 𝑢̅1 − 𝑐1 ∗ 𝑢̅2

• 𝐹̅𝑥2 = −𝑐1 ∗ 𝑢̅1 + 𝑐1 ∗ 𝑢̅2

• (Strich über Fx1 = & Fx2 = aber geht im Programm nicht)(Zahlen sind alle Indexe)

• Verformungen der Elementkanten sind nur über die Eckknoten definiert

• Das deformierte Element besteht aus geraden Elementkanten

• Die Verformung der Elementkanten wird durch einen zusätzlichen Mittelknoten definiert

• Nach der Verformung ergeben sich krummlinige Elementkanten

• Stab- und Balkenelemente werden durch eine analytische Lösung berechnet

• Mehrdimensionale Elemente müssen in den meisten Fällen durch Näherungsverfahren, wie z.B. das RITZ7sche Verfahren, gelöst werden

Die Elementränder dürfen unter Belastung nicht auseinanderklaffen oder sich überlappen

• Numerische Modelle als Ersatz für mechanische Körper

• Deformationsgrößen und Kräfte werden nur in den Knoten ermittelt

• Sie werden in äquivalente Knotenlasten umgerechnet

• Die Äquivalenz der Formänderungsenergie muss erhalten bleiben

• Das Stabelement als eindimensionales Element kann Kräfte nur in Stabrichtung übertragen

• Es hat 3 kinematische Freiheitsgrade je Knoten

• Es treten nur Normalspannungen in Stabachse auf

• (𝑄 ∗ 𝑙^3) / (3∗𝐸∗𝐼) , (𝑀 ∗ 𝑙^2) / (2 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼)

• Q: Kraft

• m: Moment

• E*I: Biegesteifigkeit des Balkens

• (𝑄 ∗ 𝑙^2) / (2 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼) , (𝑀 ∗ 𝑙) / (𝐸 ∗ 𝐼)

• Q: Kraft

• M: Moment

• E*I : Biegesteifigkeit des Balkens

• Nimmt Schubspannungen in der Ebene auf

• Verschiebungen können nur in der Elementebene auftreten

• Kräfte müssen in Richtung der Elementebene wirken

• Es können keine Kräfte senkrecht zur Ebene aufgenommen werden

• Beispiel: dünne Schrankrückwand

• Zweidimensionales Element

• Dickenabmessung kleiner als die beiden anderen Längenausdehnungen -> ebener Spannungszustand

• Es können keine Schubspannungen sowie Kräfte in der Ebene aufgenommen werden

• Nimmt Belastungen senkrecht zur Ebene auf

• Beispiel: Decke oder Boden

• Entspricht der Vereinigung von Scheibe und Platte

• Es können sowohl Schubspannungen als auch Belastungen senkrecht zur Ebene aufgenommen werden

• Sind über das gesamte Element konstant

• An jedem Punkt innerhalb und auf dem Rand des Elementes herrscht dieselbe Spannung

• Der Spannungsverlauf ergibt sich aus den unterschiedlichen Spannungen der Elemente

• An jedem Knoten entstehen 2 Spannungswerte

• Aus diesen Werten wird ein Mittelwert berechnet

• Sie werden im FEM-Programm automatisch errechnet und angetragen

• Die Vernetzung muss fein genug sein, um Fehler zu vermeiden

• Bei höheren Anforderungen an die Genauigkeit

• Besser als Elementanzahl zu erhöhen

• Quadratische Elemente mit 6 Knoten

• Kubische Elemente mit 10 Knoten

• Die Verschiebungsfunktion an einer Dreiecksseite folg einer Parabel (quadratisch, kubisch)

• Die Ränder sind nach der Belastung keine Geraden mehr, sondern entsprechen der Ansatzfunktion (Kurven)

• Vorteil: besseres Konvergenzverhalten, genauere Lösung

• Nachteil: schlechtere Vernetzung bei Randkonstruktionen (schlechte Erfassung von Rändern)

• Dreieckelemente

• Rechteckelemente

• Es existieren jeweils lineare, quadratische und kubische

• Die Freiheitsgrade von Scheibe und Platte werden an einem Schalenknoten zusammengeführt

• Durch die Elementverknüpfung entstehen pro Knoten 5 Freiheitsgrade

• Es sind verschiedene Ansatzfunktionen notwendig

• Für den Scheibenanteil lineare Verschiebung

• Für den Plattenanteil kubische Durchbiegungen

• Bei dünnwandigen Strukturen

• Faustregel: mind. 10-mal länger als dick

• Bei einfach Blechkonstruktionen immer Schale, weil dadurch wesentlich weniger Elemente gebraucht werden

• Mindestens 3 Elemente in der Dicke vernetzen, wenn als Volumen modelliert wird

• Bei allen dickwandigen und massiven Bauteilen

• Bei der Anwendung von Volumenelementen ist es vorteilhaft möglichst wenige dafür aber höhergradige Elemente zu verwenden

• Tetraederelement

• Quaderelement

• Prismaelement

• Für komplizierte Strukturen mit vielen Radien

• Schnelle und unkomplizierte „Wunderwaffe“ (mal eben eine Berechnung machen)

Allgemein bessere und genauere Berechnung

• FE-Analysen laufen iterativ ab

• Es sind mehrere Schritte erforderlich

• Häufig muss eine Modelländerung erfolgen, um die Untersuchungsziele zu erreichen

• Reales Bauteil -> FE-Modell -> FE-Berechnung -> Bewertung (Kreisprozess mit eventueller Abänderung des Modells in den Zwischenschritten

• Systemgrenzen festlegen

• Elementtypen auswählen

• Vernetzung bestimmen

• Werkstoffdaten zuweisen

• Lagerbedingungen definieren

• Lastfälle festlegen

• Problem erkennen und formulieren

• Aufgabe und gewünschtes Ergebnis definieren

• Vereinfachtes Berechnungsmodell bilden

• Modell mit bekannten Methoden berechnen

• Ergebnisse darstellen

• Ergebnisse bewerten

• Geometrien mit entsprechenden „Defeature-Funktionen“ bearbeiten (vereinfachen)

• Z.B. Fasen, Gießschrägen, kleine Bohrungen entfernen

• Bei Vernetzung mit Schalenelementen -> Mittelflächenmodell

• Freie Kanten

• Gemeinsame Kanten

• Unterdrückte Kante

• Anzahl und Verteilung der Elemente

• Elementformen (z.B. möglichst gleichseitige Dreiecke)

• Lokale Netzverfeinerung an Stellen hoher Spannung

• Elementgeometrie (Dreieck schlechtere Ergebnisse als Viereck)

• Elementordnung (höhere Ordnung bessere Ergebnisse)

• Anzahl der Knoten auf Linienabschnitten erhöhen

• Im übrigen Bereich gilt eine globale Elementgröße

• Übergang vom feinen zum groben Netzt muss kontinuierlich sein

Prüfung von aufeinander liegenden Knoten -> die Elemente sind nicht korrekt miteinander verbunden

• Dreieckelemente (2D)

• Viereckelemente (2D)

• Tetraederelemente (3D)

• Pentaederelemente (3D)

• Hexaederelemente (3D)

• Sie verwendet Polynom-Elemente, welche keine feste Ansatzfunktion hat

• Erreicht die Genauigkeit durch grobes Netz mit Elementen höherem Polynomgrad, welcher während des Rechenlaufs iterativ erhöht wird

• Vorteile: weniger Aufwand bei der Netzerstellung, guter Ergebnisse bei schlechten Elementformen, gute Kontrolle des Konvergenzverhaltens

• Nachteile: längere Rechenzeiten, kritische Bereiche müssen manuell vernetzt werden, ungünstig für nichtlineare Berechnungen

In den Knoten

• Freiheitsgrade sperren (FG zu Null setzten)

• 1 Knoten hat 6 Freiheitsgrade

• Zwangsverschiebungen und Zwangsverdrehungen (FG auf festen Wert setzten)

• Statisch unterbestimmte Modelle können nicht gerechnet werden -> Festkörperverschiebungen -> Gesamtsteifigkeitsmatrix ist singulär

• Einzelkräfte

• Momente

• Streckenlasten

• Flächenlasten (Drücke)

• Volumenkräfte (Gewichts- und Trägheitskräfte)

• Strecken und Flächenlasten werden in Einzellasten umgerechnet

• Druck: MPa (1 MPa = 10 bar)

• Länge: mm

• Masse: Tonnen

• Temperatur: °C (bei Temperaturausdehnungskoef.

• Kraft: N

• Gesamtverformung des Bauteils

• Globale Spannungen und Dehnungen

• Lokale Spannungen und Dehnungen

• Zahlendarstellung

• Farbdarstellung

• Isoklinendarstellung

• Vektordarstellung

• Verformungsbild

• Animation der Ergebnisse

• Kombinierte Darstellung (Spannung und Verformung)

1. Kontrolle durch das FE-Programm (fehlende Materialdaten, statische Unbestimmtheit, schlechte Elementformen)

2. Plausibilitätskontrolle (mit der Ingenieurerfahrung prüfen, ob das sein kann)

3. Kontrollrechnung (Einfache Bereiche überschlägig mit der Hand nachrechnen)

4. Vergleich von unterschiedlich aufgebauten Modellen (zunächst vereinfachtest Stab- Balkenmodell)

5. Experimentelle Überprüfung (beste Methode aber teuer) bspw. mit Dehnungsmessstreifen

• Statischer Festigkeitsnachweis (Extremfälle) Einfachste

• Betriebsfestigkeitsnachweis (Lebensdauerberechnung durch Lastkollektiv) Schwingfestigkeit; Zeitliche Verteilung der Lasten; Aufwendiger

• Ermüdungstest (Prototypentest)

• Ist ein Versagenskriterium, das auf der Festigkeitshypothese nach der maximalen Gestaltänderungsenergie basiert

• Eignet sich insbesondere für zähe, isotrope Werkstoffe wie Alu und Stahl

• Ist die von Mises´sche Vergleichsspannung kleiner als die Streckgrenze des Werkstoffes liegt eine Beanspruchung im elastischen Bereich vor

• 𝑅 = 𝑠𝑀𝑖𝑛 / 𝑠𝑀𝑎𝑥 = 𝑈𝑛𝑡𝑒𝑟𝑙𝑎𝑠𝑡 / 𝑂𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑠𝑡 = 𝑈𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 / 𝑂𝑏𝑒𝑟𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔

• 𝑅 = 0,5 (𝐹𝐴𝑇,𝐼𝐼𝑊)

• 𝑅 = 0 (𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑑) !!!

• 𝑅 = −1 (𝑊𝑒𝑐ℎ𝑠𝑒𝑙𝑛𝑑) !!!

• 𝑅 = −∞ (𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘𝑠𝑐ℎ𝑤𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑑)

• 𝑅 = 2

• Amplitude ist nicht gleich Schwingbreite

• Amplitude von Mittellast bis Peak

• Schwingbreite von unterem Peak zum oberen Peak

Betriebsfestigkeit

• Dauerfestigkeit/Zeitfestigkeit nach höchster Last (konservativ)

• Fließgrenze bei höchster Last (keine Aussage zur dynamischen Festigkeit)

• Statischer Wert mit Stoßfaktor und Dauerfest (pauschale Aussage zur dyn. Festigkeit)

• Betriebsfestigkeit (Berücksichtigung der Gesamtheit der Belastungen (Kollektiv))

• Werkstoffwiderstand (Wöhlerlinien)

• Äußere Belastung (Lastkollektiv)

• Schädigungsrechnung

• Ziel: Lebensdauerberechnung

• (𝑁1 / 𝑁2) = (𝜎1 / 𝜎2)^−𝑚 , m = Steigungsexponent der Wöhlerlinie (ca. 5 f. Stahl und 7-8 f. Alu)

• -> kein linearer Zusammenhang zwischen Belastung und Lebensdauer (doppelte Belastung wesentlich weniger als halbe Lebensdauer)

• Miner-Original (keine Berücksichtigung von Spannungen unterhalb der Dauerfestigkeit)

• Miner-Haibach (teilweise Berücksichtigung: m´ = 2*m - 1 unterhalb der Dauerfestigkeit)

• Miner-Elementar (vollständige Berücksichtigung auch kleiner Spannungen -> sehr konservativ)

• Je flacher die Kurve der Wöhlerlinie, desto höher der Steigungsexponent

• Geben die Beanspruchung eines Bauteils wieder

• Werden durch Klassierverfahren ermittelt (z.B. Klassengrenzenüberschreitung oder Rainflow-Methode)

• Berechnung für jede Klasse aus dem Verhältnis der Lastspiele zur Lebensdauer

• T_i = N_i / N_Wi ; T_i = Teilschädigung, N_i = Lastspiele, N_Wi = zulässige Lastspiele gemäß Wöhlerlinie

• Aus der Summe der Einzelschädigungen ∑𝑇_𝑖=𝐷 (Schadensakkumulationshypothese)

• D: Gesamtschädigung (bei D = 1 -> KAPUTT!)

• Vernetzung der Bleche als Schale

• Elementlänge ca. 2 * Blechdicke

• Als Vollanschluss modelliert

• Topologie-Optimierung oder Designfindung (Entfernung des überschüssigen Materials)

• Gestaltungsoptimierung oder Designverbesserung (Kerbspannungen reduzieren)

• Parametrische Optimierung (Variation der Blechdicke)

• Bionische Optimierung (Evolutionäre Algorithmen -> Veränderungen werden an die nächste Generation weitergegeben)

• Schwingungsdauer T

• Frequenz f

• Kreisfrequenz w

Die äußere virtuelle Arbeit muss um die Trägheits- und Dämpfungskraft erweitert werden

• Struktur und Hysteresedämpfung

• Coulomb´sche Reibung

• Viskose Dämpfung (wird i.d.R. verwendet)

• Modalanalyse

• Transiente Analyse (Random Analyse)

• Frequenzganganalyse (Harmonische Analyse)

• Zur Ermittlung von Eigenfrequenzen und der Eigenschwingungsformen

• Dämpfung wird i.d.R. vernachlässigt

• Eigenfrequenzen werden aus der freien Schwingung ermittelt

m * u´´ + k * u = 0

Es werden Knotenverschiebungen und Beschleunigungen zeitabhängig für einen bestimmten Lastfall berechnet

• Direkte Integration

• Modemüberlagerung

Die Bewegungsgleichung wird ohne Transformation mit expliziten oder impliziten Verfahren für diskrete Zeitschrotte gelöst

• Zentrale Differenzverfahren

• Newmark-Verfahren

• Erfolgt über eine Modalanalyse

• Bewegungsgleichungen werden entkoppelt und nach der Integration überlagert

• Aufgebrachte Sinusbelastung wird mit der Kreisfrequenz Ω variiert

• Berechnung der stationären Antwort der Struktur als Funktion der Anregungsfrequenz

• Nur für lineares System

• Dämpfung wird berücksichtigt

• Für größere Zeitbereiche schneller als die transiente Analyse

Reduktion der freiheitsgrade, da bei Eigenwertanalysen nicht notwendig (Rechenersparnis)

• Gesamtsystem mit 4*3 Freiheitsgraden = 12 FG

• Reduktion mit 2 Freiheitsgraden für die Längsschwingung

• Reduktion mit 2 Freiheitsgraden für die Biegeschwingung

• ->ergeben die ersten beiden Eigenfrequenzen der jeweiligen Schwingungsrichtungen (i.d.R. die einzigen Wichtigen)

• Wurzelriss

• Schweißnahtübergang

• R1MS-Ansatz (1mm Radius)

• An der Wurzelkerbe das größte Problem

• Schweißnaht weglassen

• Als Schale modellieren