Mathe - Lineare Gleichungssysteme

Und

m ersten Reduktionsschritt muss aus beiden verwendeten Gleichungskombinationen die gleiche Variable eliminiert werden!

• Schreiben Sie zunächst das Gleichungssystem so, dass alle Brüche beseitigt sind und alle sich entsprechenden Summanden genau untereinander stehen. Nummerieren Sie die Gleichungen.

• Wählen Sie die Variable aus, die Sie im ersten Reduzierungsschritt beseitigen wollen. Dabei müssen Sie in beiden Gleichungskombinationen die gleiche Variable beseitigen. Machen Sie die Auswahl von den Koeffizienten der Variablen abhängig.

• Notieren Sie sich, wie Sie die beiden ausgesuchten Gleichungskombinationen verändern müssen, damit die ausgewählte Variable verschwindet. Beginnen Sie erst dann mit der Rechnung!

• Lösen Sie das dann verbliebene Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten nach den bekannten Regeln.

• Setzen Sie die erste erhaltene Teillösung in beide Gleichungen (Kontrolle!) des Gleichungssystems mit zwei Variablen ein und berechnen Sie so die zweite Teillösung.

• Setzen Sie die beiden Teillösungen in zwei (Kontrolle!) der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnen Sie die noch fehlende dritte Lösungskomponente.

1. Im ersten Schritt werden die Variablen festgelegt. Es wurde schon früher darauf hingewiesen, dass dieser Schritt die Grundlage für eine erfolgreiche Lösung ist. Bitte schreiben Sie sich daher auf, welche der gegebenen Größen Sie mit welcher Variablen bezeichnen und notieren Sie auch die jeweilige Maßeinheit! Durch diese Festlegung kann man dann in der Rechnung selbst die Maßeinheiten weglassen.

2. Danach werden die Terme gebildet bzw. die Gleichungen formuliert. Dies ist der Teil des Lösungsschemas, der in der Regel am schwierigsten ist. Hier geht es darum, die im Text gemachten Angaben in einen oder mehrere Terme umzuwandeln.

3. Im nächsten Schritt wird das zu lösende Gleichungssystem formuliert. In vielen Fällen lassen sich der zweite und dieser dritte Schritt zusammenfassen.

4. Liegt das Gleichungssystem vor, so können Sie mit der rechnerischen Lösung beginnen. Welches Verfahren Sie dabei verwenden, entscheidet letztlich nur über den entstehenden Rechenaufwand (siehe auch Kapitel2.2)!

5. Die Lösung muss entsprechend überprüft werden, denn ohne Probe ist eine Aufgabenlösung unvollständig. Auch wenn bei Anwendung des Gleichsetzungs- oder des Additions- bzw. Subtraktionsverfahrens das doppelte Einsetzen schon eine Kontrolle darstellt, sollten die Ergebnisse noch einmal am realen Fall getestet werden.

6. War die Überprüfung erfolgreich, muss bei jeder Sachaufgabe die Lösung in Worten formuliert werden. Bitte beziehen Sie sich dabei immer auf die Fragestellung.

• Das Einsetzungsverfahren eignet sich für die Fälle, in denen eine der Gleichungen eine Variable mit dem Koeffizienten 1 (der nicht geschrieben wird!) enthält. Diese Gleichung wird dann nach dieser Variablen aufgelöst und der entsprechende Term in die andere Gleichung eingesetzt.

• In der Regel muss dieser Term beim Einsetzen in eine Klammer gesetzt werden. Diese Klammer wird dann nach der Vorgabe des Distributivgesetzes aufgelöst. Danach wird der Wert der in der Gleichung verbliebenen Variablen berechnet.

• Die noch unbekannte Variable lässt sich aus der eingesetzten Gleichung nun leicht berechnen.

Nach Abschluss der Berechnung ist eine Probe in derjenigen Gleichung durchzuführen, in die zuvor eingesetzt wurde. Hierbei muss die ursprünglich gegebene Form der Gleichung verwendet werden.

• Die aus dem Gleichsetzungsverfahren bekannten Rechentechniken lassen sich auch bei diesem Verfahren anwenden. Dies betrifft das der eigentlichen Lösung vorgeschaltete Beseitigen aller Brüche durch Multiplizieren der Gleichung(en) mit dem jeweiligen kgV der Nenner und das Zusammenfassen gleichartiger Summanden.

• Hat eine Variable betragsgleiche Koeffizienten, so ist die Rechenart zu verwenden, bei der diese Variable aus der neuen Gleichung herausfällt. Dies bezeichnet man auch als das Eliminieren dieser Variablen.

• Es gilt: Bei gleichem Rechen- bzw. Vorzeichen ist zu subtrahieren, bei entgegengesetztem Rechen- bzw. Vorzeichen ist zu addieren. Beim Subtrahieren muss eine Klammer um den Subtrahendena) gesetzt werden!

Das Produkt aus ggT und kgV ist immer gleich dem Produkt der beiden Ausgangszahlen. Es gilt also:

ggT(a; b) · kgV(a; b) = a · b

Teilerfremd (in der Mathematik): Zwei ganze Zahlen aaa und bbb heißen teilerfremd, wenn sie keine anderen gemeinsamen Teiler haben außer 111 und −1-1−1. Das bedeutet, ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) ist 111.

• Beim Additions- bzw. Subtraktionsverfahren werden die sich entsprechenden Seiten zweier Gleichungen zueinander addiert bzw. voneinander subtrahiert. Das Ziel dieser Operation ist die Veränderung der Struktur „Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten“ zu „Einer Gleichung mit einer Unbekannten“.

• Dieses Ziel lässt sich nur erreichen, wenn in beiden Gleichungen eine der Variablen mit einem betragsgleichen Koeffizienten auftaucht. Schreiben Sie Gleichungsteile (und das Gleichheitszeichen), die sich entsprechen, direkt untereinander.

• Enthält ein Gleichungssystem nicht von vornherein ein betragsgleiches Koeffizientenpaar, sind drei Fälle zu unterscheiden:

– Einer der Koeffizienten ist ein Vielfaches des anderen. In diesem Fall lassen sich betragsgleiche Koeffizienten durch entsprechende Multiplikation nur einer Gleichung schaffen.

– Mindestens eines der Koeffizientenpaare ist nicht teilerfremd. Durch entsprechendes Multiplizieren beider Gleichungen lassen sich diese so verändern, dass der neue Koeffizient dieser Variablen dann kleiner als das Produkt der entsprechenden Koeffizienten ist.

– Beide Koeffizientenpaare sind teilerfremd. In diesem Fall multipliziert man die eine Gleichung mit dem zugehörigen Koeffizienten der anderen Gleichung und umgekehrt. Dies ist die Methode, bei der die größten Zahlenwerte entstehen. Sie sollte nur als letztes Mittel verwendet werden.

Aus dieser einen Gleichung wird der Wert für die erste Variable berechnet. Danach wird der Wert in eine der beiden gleichgesetzten Gleichungen eingesetzt und berechnet. Zur Kontrolle empfiehlt es sich, diese Berechnung auch mit der anderen Gleichung durchzuführen.

• Sind in einem Gleichungssystem Brüche enthalten, so sollten diese vor Beginn der eigentlichen Rechnung durch Multiplizieren der jeweiligen Gleichung mit dem kgV der in ihr vorkommenden Nenner beseitigt werden.

Ein lineares Gleichungssystem ist eine mathematische Struktur aus zwei Gleichungen, in der jeweils zwei Variablen vorkommen.

• Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist dasjenige Zahlen- oder Wertepaar, das bei Einsetzen in die Gleichungen beide Gleichungen erfüllt.

• Bei der Angabe der Lösung wird zwischen die beiden Werte für die jeweiligen Variablen das Zeichen ^ gesetzt. Die beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems werden so untereinander geschrieben, dass die beiden Gleichheitszeichen übereinander stehen.

• Trägt man einige Wertepaare, die eine der Gleichungen erfüllen, in ein Koordinatensystem ein, so liegen diese Punkte auf einer Geraden. Sind diese Geraden nicht parallel und besitzen somit einen Schnittpunkt, so geben die Koordinaten dieses Schnittpunktes die Lösung des linearen Gleichungssystems an. Dies ist die einzige Lösung des Gleichungssystems.

Lässt sich ein lineares Gleichungssystem durch Verändern einera) der beiden Gleichungen so umformen, dass das gleiche Vielfache einer Variablen entsteht, so kann dies sowohl durch Dividieren der einen als auch durch Multiplizieren der anderen Gleichung erfolgen. Wenn sich durch das Multiplizieren das Entstehen neuer Brüche vermeiden lässt, ist diese Möglichkeit sinnvoller.

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten besteht aus zwei Werten. Setzt man diese an den entsprechenden Stellen des Gleichungssystems ein, so werden beide Gleichungen zu einer wahren Aussage. Damit ist die Lösung immer ein Zahlen- bzw. Wertepaar.