Mathe - Geometrie

• Unendlich kleini

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in:

• allen drei Seitenlängen (s-s-s),

• in zwei Winkeln und der zwischen diesen Winkeln liegenden Seite (w-s-w),

• in zwei Seiten und dem zwischen diesen Seiten liegenden Winkel (s-w-s),

• in zwei Winkeln und einer nicht zwischen diesen Winkeln liegenden Seite (w-w-s und s-w-w),

• in zwei Seiten und demjenigen Winkel, der der größeren der beiden Seiten gegenüber liegt (s-s-w und w-s-s).

Sind zwei Dreiecke ähnlich, so sind die sich entsprechenden Seitenlängen der Dreiecke um jeweils den gleichen Faktor verändert (verdoppelt, halbiert, verdreifacht, …)

• Zunächst hilft Ihnen eine Formulierung, die Sie in Kapitel 1.6 kennen gelernt haben: Das Fällen eines Lots.

• Weiterhin müssen Sie darauf achten, dass eine Strecke oder eine Gerade niemals an sich senkrecht verläuft, sondern immer nur senkrecht zu einer anderen geraden Linie steht.

• Die Höhen in einem Dreieck sind die Lote von den Eckpunkten des Dreiecks auf die gegenüberliegenden Dreiecksseiten oder ihre Verlängerung.

• Die Höhen werden mit dem kleinen Buchstaben h bezeichnet und tragen die Bezeichnung der Seite, auf der sie senkrecht stehen, als Index.

• In einem spitzwinkligen Dreieck verlaufen alle Höhen innerhalb des Dreiecks, in einem stumpfwinkligen Dreieck liegt eine Höhe innerhalb und zwei Höhen außerhalb des Dreiecks.

• Alle Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

• Im rechtwinkligen Dreieck fallen zwei der Höhen mit den am rechten Winkel angrenzenden Seiten zusammen.

Es gilt im Übrigen immer, dass in einem stumpfwinkligen Dreieck nur eine der Höhen innerhalb des Dreiecks verläuft und zwei der Höhen außerhalb.

Der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt desjenigen Kreises, auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen. Diesen Kreis nennt man den Umkreis des Dreiecks. Man erhält ihn, indem man um M einen Kreis zeichnet, dessen Radius gleich dem Abstand zu den Eckpunkten des Dreiecks ist.

Der Schnittpunkt W der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Inkreises dieses Dreiecks. Um diesen Kreis zu zeichnen, fällt man die Lote von W auf die drei Dreiecksseiten. Durch Zeichnen eines Kreises um W mit der Länge dieser Lote als Radius entsteht der Inkreis, der alle Dreiecksseiten berührt.

Der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden eines Dreiecks teilt jede der drei Seitenhalbierenden so, dass der zum Eckpunkt zeigende Teil dieser Seitenhalbierenden doppelt so lang ist wie der zur jeweiligen Dreiecksseite gerichtete Teil.

• Kurz: S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1.

• Höhe

• Seitenhalbierende

• Winkelhalbierende

• Mittelsenkrechten

Wann immer in einer Konstruktionsaufgabe eine (oder auch zwei) Höhen gegeben sind, sollte die Konstruktion mit dieser Größe beginnen!

1. Zeichnen Sie den Winkel Beta in seiner ungefähren Lage und beschriften Sie seinen Scheitelpunkt mit B.

2. Tragen Sie auf dem einen Schenkel die Seitenlänge a = 4 cm und auf dem anderen Schenkel die Seitenlänge c = 3 cm ab.

3. Benennen Sie die beiden so gewonnenen Punkte mit A und C.

4. Verbinden Sie A mit C. Damit ist die Konstruktion abgeschlossen.

1. Nach dem Zeichnen des gegebenen Winkels in seiner ungefähren Lage gemäß der Planfigur (Abb. 5.8) wird auf dem entsprechenden Schenkel von Alpha die Seite b angetragen, ihre Endpunkte mit A und C beschriftet18.

2. Über die Lage des noch unbekannten Punktes B weiß man nun zweierlei:

• Der Punkt B hat zum Punkt C eine Entfernung von a = 4 cm.

• Der Punkt B liegt auf dem freien Schenkel des Winkels Alpha.

3. Schlägt man nun einen Kreisbogen um C mit dem Radius a  4 cm, so haben alle Punkte auf diesem Kreisbogen zu C eine Entfernung von a = 4 cm und erfüllen damit die erste Bedingung. Alle Punkte auf dem freien Schenkel des Winkels Alpha erfüllen die zweite Bedingung.

1. Zeichnen Sie eine der Dreiecksseiten so, dass ihre Lage ungefähr der Lage der entsprechenden Strecke in Abb. 5.1 entspricht. Dies ist nur eine Empfehlung, grundsätzlich können Sie die Strecke auch beliebig orientieren. Bei komplizierteren Überlegungen kann es aber helfen, wenn das Dreieck in der „gewohnten“ Lage entsteht .

2. Benennen Sie die Eckpunkte dieser Strecke mit den entsprechenden großen Buchstaben. In Abb. 5.4 wurde die Strecke a für den Konstruktionsbeginn ausgewählt. Sie wird von den Punkten B und C begrenzt.

3. Schlagen Sie nun je einen Kreisbogen um B und C mit dem Radius c = 6 cm bzw. b = 3 cm. Diese Kreisbögen liegen auf derjenigen Seite der Strecke a, auf der auch der gesuchte Punkt A zu erwarten ist. Auch hier gibt Abb. 5.1 eine Orientierung! 4. Bezeichnen Sie den Schnittpunkt der beiden

Kreisbögen mit A und vervollständigen Sie das Dreieck!

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die dritte Seitenlänge.

1. Zeichnen Sie die gegebene Seite (hier ist das die Seite a) entsprechend ihrer ungefähren Lage in Abb. 5.1.

2. Benennen Sie die Endpunkte dieser Dreiecksseite a mit B und C.

3. Tragen Sie in beiden Endpunkten den jeweils gegebenen Winkel an. Orientieren Sie sich dabei wieder an der Vorgabe aus Abb. 5.1 und achten Sie darauf, dass der Winkel Gamma in diesem Beispiel größer als 90° ist. Verwenden Sie also die richtige Skala des Geo-Dreiecks!

4. Benennen Sie den Schnittpunkt der freien Schenkel dieser Winkel mit A. Damit ist die Konstruktion abgeschlossen.

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt immer genau 180°

Die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen Vieleck mit der Eckenzahl n beträgt (n - 2) · 180°

Zu beweisen ist, dass im Dreieck ABC Gamma 1 + Gamma 2 = 90° gilt.

Der Mittelpunktswinkel über einer beliebigen Sekante eines Kreises ist doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel, der auf dieser Seite der Sekante liegt.

Zu beweisen ist, dass gilt: 2 * Gamma = Epsilon

Wenn man den Durchmesser eines Kreises als die größtmögliche Sekante dieses Kreises betrachtet (die Definition der Sekante in Kapitel 1.1 lässt das zu), so gehört dazu der Mittelpunktswinkel 180°. Die zugehörigen Peripheriewinkel sind dann wieder halb so groß, also 90°. Dies ist die Aussage des Satz des Thales!

Zeichnet man einen Kreis so um das Sechseck, dass alle sechs Eckpunkte auf diesem Kreis liegen, dann schneiden sich die drei Diagonalen im Mittelpunkt dieses Kreises. Nun gilt:

• Zunächst sind die Winkel zwischen den Diagonalen bei M gleich groß und haben einen Betrag von 60° (360° : 6 = 60°)

• Die Seiten und sind Radien des Kreises. Hieraus lässt sich zunächst schließen, dass die an M angrenzenden Schenkel der Dreiecke jeweils gleich lang sind.

• Hieraus folgt, dass auch die Basiswinkel dieser Dreiecke gleich sind (in Abb. B.7 sind dies die Basiswinkel bei P1 und P2).

• Zusammen haben diese einen Betrag von 120°, denn der Winkel bei M misst ja schon 60°. Also sind auch die beiden Basiswinkel bei P1 bzw. P2 60° groß.

• Ein Dreieck mit drei gleich großen Winkel ist gleichseitig. Also ist jede Kante des Sechsecks genauso lang wie der Radius des Kreises. • Da das Sechseck sechs Kanten hat, sind diese zusammen auch sechsmal so groß wie der Radius des Kreises. Da der Durchmesser des Kreises doppelt so groß ist wie sein Radius, folgt:

Die Summe aller Kantenlängen eines regelmäßigen Sechseck ist dreimal so groß wie eine Diagonale.

Mit dem nun eingezeichneten Innenwinkel Gamma gilt für die Winkelsumme im Dreieck ABC: Alpha + Beta +Gamma = 180°<-> Gamma = 180° - (Alpha + Beta)

Da der Winkel Delta Nebenwinkel zu Gamma ist, gilt auch:

Delta = 180° - Gamma <-> Delta = 180° - (180° - (Alpha + Beta)) (Hier wurde der Term für Gamma aus der obigen Gleichung eingesetzt.)

Auflösen der Klammern liefert:

Delta = 180° - (180° - Alpha - Beta) <-> Delta = 180° - 180° + Alpha + Beta <-> Delta = Alpha + Beta

Damit ist die Aussage bewiesen.

Jedes Dreieck über dem Durchmesser eines Halbkreises ist rechtwinklig, wenn der dritte Eckpunkt des Dreiecks auf diesem Halbkreis liegt.

Der Drachen hat zwei gleich lange, aneinander grenzende Seitenpaare. Keines der Seitenpaare muss zueinander parallel sein.

Eine Figur ist achsensymmetrisch bezüglich einer Symmetrieachse g, wenn die Verbindungslinien aller sich entsprechender Punkte (in Abb. 2.3 sind das z.B. die Punkte P1/Q1, P2/Q2 und P3/Q3) senkrecht auf dieser Symmetrieachse g stehen (achten Sie bitte auf die Markierung des rechten Winkels!) und die zueinander gehörenden Punktepaare von dieser Geraden g den gleichen Abstand haben.

Eine Figur ist punktsymmetrisch bezüglich eines Symmetriezentrums Z, wenn die Verbindungslinien aller sich entsprechender Punkte (in Abb. 2.4 sind das die Punkte R1/S1, R2 /S2 und R3/S3) durch den Punkt Z verlaufen und die zueinander gehörenden Punktepaare von diesem Punkt den gleichen Abstand haben.

Legen Sie das Geo-Dreieck mit seiner Mittellinie auf die Spiegelgerade g und verschieben Sie es so weit, dass einer der Punkte (hier ist es B) an der Grundlinie des Geo-Dreiecks anliegt. Lesen Sie die Entfernung ab (die Null ist u.a. aus diesem Grund in der Mitte!) und markieren Sie einen Punkt B' in gleichem Abstand zu g auf der anderen Seite der Spiegelgeraden. Der Punkt B' ist nun der Bildpunkt von B.

Wiederholen Sie dies mit den beiden anderen Punkten. Gezeigt ist hier die Konstruktion des Bildpunktes von C.

Nach der noch verbliebenen Spiegelung von A werden die Punkte A', B' und C' entsprechend der Lage der Punkte A, B und C im Urbild miteinander verbunden:

Der Punkt A' liegt auf „der anderen Seite“ von Z als sein Urbild A. Legen Sie also das Geo-Dreieck so an, dass die Mitte der Grundlinie auf Z und der Punkt A ebenfalls an der Grundlinie anliegt:

Ermitteln Sie die Lage eines weiteren Bildpunktes des Dreiecks. Hier wird dies an B und B' gezeigt.

Nach der noch ausstehenden Spiegelung von C am Symmetriezentrum Z werden die Bildpunkte A', B' und C' entsprechend der Lage von A, B und C im Urbild miteinander verbunden:

Hier sind Bild und Urbild ohne weitere Maßnahme deckungsgleich.

Eine Kongruenzabbildung erzeugt ein kongruentes (deckungsgleiches) Bild eines geometrischen Objekts. Eine Punktspiegelung ist eine solche Kongruenzabbildung

Der Schnittwinkel Alpha der beiden Geraden g1 und g2 ist genau halb so groß wie der Winkel Beta, den z.B. die Strecken und bilden. • Entsprechende Aussagen gelten auch für die Punkte A und A'' sowie C und C'

Bei einer Geradenspiegelung ändert sich der Umlaufsinn einer Figur, bei einer Drehung nicht. Eine Punktspiegelung ist nichts anderes als eine Drehung um 180°. Eine Drehung um einen Punkt Z kann man durch eine doppelte Geradenspiegelung ersetzen. Dabei verlaufen die beiden Spiegelgeraden durch Z und schließen den halben Drehwinkel ein. Auch eine Verschiebung lässt sich durch eine doppelte Geradenspiegelung durchführen. Dabei ist der Verschiebungsbetrag dann das Doppelte des Abstands der beiden Geraden.

Gegen den Uhrzeigersinn

Scheitelwinkel sind gleich groß, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

Wird ein paralleles Geradenpaar von einer dritten Gerade geschnitten, so bezeichnet man die vier Winkelpaare, die sich in gleicher Lage an den beiden Schnittpunkten befinden, als Stufenwinkel. Zueinander gehörende Stufenwinkel sind gleich groß.

Wird ein paralleles Geradenpaar von einer dritten Gerade geschnitten, so bezeichnet man die vier Winkelpaare, die sich an den Schnittpunkten in zueinander entgegengesetzter Lage befinden, als Wechselwinkel. Es gilt auch: Tauscht man in einem Stufenwinkelpaar einen der beiden Winkel mit seinem Scheitelwinkel aus, entsteht ein Wechselwinkelpaar. Wechselwinkel sind gleich groß.

Durch diese Formulierung wird ausgedrückt, dass zu einer vorgegebenen Geraden4 eine senkrecht zu ihr verlaufende Gerade zu zeichnen ist. In manchen Fällen wird auch noch der Punkt genannt, durch den diese Senkrechte verlaufen soll.

Diese Konstruktion ist die Umkehrung zum Errichten einer Senkrechten und wird fast genauso durchgeführt: Wieder liegt die Mittellinie des Geo-Dreiecks auf der vorgegebenen Geraden und der gegebene Punkt an der Grundlinie. An ihr entlang kann dann das Lot gezeichnet werden. Auch hier gilt: Ein Lot verläuft nicht zwingend „von oben nach unten“, sondern ist immer senkrecht zu einer geraden Linie!

Vorgegeben ist hier eine Gerade und ein auf ihr liegender Punkt. Dieser bildet den Scheitelpunkt des zu zeichnenden Winkels, auf der vorgegebenen Geraden liegt dann der eine Schenkel des Winkels

In jedem Fall bezeichnet man den anderen Schenkel des anzutragenden Winkels dann als den freien Schenkel des Winkels

Oft ist der Abstand eines Punktes P von einem anderen Punkt Z bekannt, nicht aber die genaue Lage von P. In diesem Fall kommt mit dem Zirkel das zweite Grundwerkzeug der Geometrie zur Anwendung. Zeichnet man nämlich um den (bekannten) Punkt Z einen Kreis, dessen Radius gleich dem bekannten Abstand ist, so liegt der gesuchte Punkt P mit Sicherheit auf diesem Kreis. An dieser Stelle ist dann die Formulierung „Schlagen eines Kreisbogens um Z“ die fachsprachlich Richtige. Sie schließt ein, dass man meist nicht einen ganzen Kreis um Z zeichnet, sondern nur denjenigen Teil, auf dem der gesuchte Punkt vermutet wird. In aller Regel ist diese ungefähre Lage bekannt!

Dreiecke

Vierecke

Das gleichseitige Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Aufgrund dieser besonderen Form sind auch alle (Innen-)winkel dieses Dreiecks gleich groß und haben eine Größe von 60°.

Das gleichschenklige Dreieck hat nur zwei gleich lange Seiten. Diese nennt man in Anlehnung an die bei Winkeln verwendeten Bezeichnungen die Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks. Die gegenüber liegende Seite heißt dann Basis des Dreiecks. Die beiden an dieser Basis anliegenden Basiswinkel sind gleich groß. Ihnen gegenüber liegt der Spitzenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

Im rechtwinkligen Dreieck finden sich keine Besonderheiten bei den Seitenlängen, sondern bei den Winkeln: Einer der drei Dreieckswinkel ist hier ein rechter Winkel.

Alle Seiten sind gleich lang. Die Seiten stehen senkrecht zueinander.

Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Die Seiten stehen senkrecht zueinander.

Es existieren zwei parallele Seitenpaare. Die Seiten müssen nicht senkrecht aufeinander stehen, aber es ist zulässig.

Alle Seiten sind gleich lang. Die Seiten müssen nicht senkrecht zueinander stehen

Ein Viereck mit mindestens einem parallelen Seitenpaar.

G1 II G2

g1 T v g3

Ein einzelner Winkel wird durch zwei von einem gemeinsamen Ausgangspunkt S ausgehende Strahlen dargestellt.

griechische Buchstaben

Winkelmaß

Winkelmesser

Grad

0 Grad

360 Grad

Kann ohne weitere Angabe nicht erkannt werden

• Meistens durch einen großen Buchtaben

• kleines Kreuz

• Gekrümmt

• Gradlinig

Strecke

Strahlen

Gerade

• hat einen Anfang und ein Ende

• man kann eine Länge zu der Strecke angeben

• Der Anfang und das Ende werden duch kleine Linien dargestellt

• Bezeichnung: Entweder ein kleiner Buchstabe oder Großbuchstaben am Anfang- und am Endpunkt

• hat keinen Anfang und kein Ende

• keine Länge angebbar

• man lässt beide Seiten offen um die Unendlichkeit der Gerade darzustellen

• wird mit einem kleinen g benannt

• haben einen Anfang und kein Ende

• es lässt sich keine Länge angeben

• werden am Anfang mit einem Strich und einem Großbuchstaben benannt und das Ende wird offen gelassen

• kleiner Buchstabe zur Benennung

Kreislinie

• Alle Punkte auf der Kreislinie haben den gleichen Abstand zu einem Punkt M

  • Diese Entfernung nennt man Radius

• Eine geschlossene Kreislinie bezeichnet man als Kreis

• Durchmesser = 2 * Radius

• Eine Gerade, die Kreispunkte eines Kreises berührt nennt sich Sekante

Eine Gerade, die einen Kreis an zwei Kreispunkten schneidet

Liegt ein Punkt auf einer Linie?

Schneiden sich zwei Geraden?

Verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? Stehen sie senkrecht zueinander?

ist Element von ….

ist kein Element von

Geraden, die nicht parallel sind, besitzen einen Schnittpunkt

Ein solcher Schnittpunkt wird ebenfalls mit einem großen Buchstaben bezeichnet. Dieser wird ohne weitere Zusätze direkt an diesen Punkt geschrieben, denn das kleine Kreuz bezeichnet ja nur einzelne Punkte.

Schnittmenge von Gerade 1 und Gerade 2

Muss in Mengenklammern gesetzt werden.

Wenn zwei Geraden parallel verlaufen, besitzen sie keinen Schnittpunkt. Auch dies lässt sich mit einem Symbol aus der Mengenlehre beschreiben