Bedeutung Buchstaben IR
Reele Zahlen
Wichtiger Faktor für eine schnelle Abschätzung Anzahl Lösungen quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn bei einer nach oben offenen Parabel der Scheitelpunkt auch oberhalb der x-Achse liegt oder, bei einer nach unten offenen Parabel, unterhalb der x-Achse. Die beiden folgenden Bilder zeigen solche Situationen:
Wie lautet die allgemein formulierte Normalform einer quadratischen Gleichung
Die allgemein formulierte Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: x2 + px + q = 0 mit p, q ∈ IR
p-q-Formel
x1,2 = - p/2 +/- Wurzel aus (p/2)^2 - q
Art wie man die eine Diskriminante
D = (p/2)^2 - q
Form der Diskrimante für 2 Ergebnisse
Ergibt sich durch das Einsetzen eine positive Diskriminante (D > 0), so hat die zugehörige Gleichung zwei Lösungen.
Form der Diskriminante bei keinem Ergebnis
Ergibt sich durch das Einsetzen eine negative Diskriminante (D < 0), so hat die zugehörige Gleichung keine Lösung
Form der Diskrimante bei einem Ergebnis
Ergibt sich durch das Einsetzen unter der Wurzel der Wert Null, also D = 0, so hat die zugehörige Gleichung genau eine Lösung
Art wie man eine allgmeine Form in eine Scheitelpunktform umwandeln können
Durch quadratisches Ergänzen lässt sich die allgemeine Form einer quadratischen Form in ihre Scheitelpunktsform verwandeln!
Schritt wenn der Koeffizient von x^2 nicht 1 ists
Man teilt die gesamte Gleichung vor Beginn des quadratischen Ergänzens durch den Koeffizienten von x2 und holt sich diesen Faktor nach Ende der Rechnung wieder zurück.
Mögliche Anzahl der Lösungen von quadratischen GLeichungen
Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder auch gar keine Lösung besitzen
Bedingung damit eine quadratische Gleichung zwei Lösungen hat
wei Lösungen hat eine quadratische Gleichung, wenn der Graph des zugehörigen quadratischen Terms auch zwei Nullstellen aufweist. Dies ist immer dann der Fall, wenn der Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der xAchse liegt und die Parabel nach oben offen ist oder wenn der Scheitelpunkt der Parabel oberhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach unten offen ist. Diese beiden Fälle werden z. B. in Abb. 4 bis Abb. 7 in Kapitel 2.3 dargestellt.
Bedigung damit eine quadratische Gleichung nur eine Lösung hat
Eine Lösung hat eine quadratische Gleichung dann, wenn der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegt. Dies ist immer dann der Fall, wenn die Scheitelpunktsform durch die Gleichung y = (x – xS) 2 beschrieben wird – in dieser Gleichung fehlt die Verschiebung in Richtung der y-Achse (dies zeigt z. B. Abb. 10 in Kapitel 2.4).
BEdingung damit eine quadratische Gleichung keine Lösung hat
Definition gestreckte Parabel
Parabel ist enger
Formel einer gestreckten Parabel
Eine in Bezug auf die Form der Normalparabel gestauchte Parabel ergibt sich, wenn der Faktor k vor dem quadratischen Term (x2 oder (x – xS) 2) kleiner ist als 1, für einen Faktor größer als 1 wird die Parabel gestreckt.
Formel nach unten geöffnete Parabel
Eine nach unten geöffnete Parabel erhält man, indem man einen negativen Formfaktor k wählt.
Allgemeine Formel einer quadtratischengleichung
y = k (x – xS) ^2 + yS
Durch welche Veränderung in der Funktionsgleichung f(x) = x^2 wird die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0 | 0): um 3 Einheiten nach oben verschoben?
y = x^2 + 3
Durch welche Veränderung in der Funktionsgleichung f(x) = x^2 wird die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0 | 0): b) nach oben geöffnet und gestaucht, d. h. weiter geöffnet als die Normalparabel?
y = kx^2 mit 0 < k < 1
Durch welche Veränderung in der Funktionsgleichung f(x) = x2 wird die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0 | 0):um 4 Einheiten nach links verschoben, die Form der Normalparabel beibehaltend?
y = (x + 4)^2
Durch welche Veränderung in der Funktionsgleichung f(x) = x2 wird die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0 | 0): nach unten geöffnet und gestreckt, d. h. enger verlaufend als die Normalparabel?
y = kx^2 mit k < – 1
Durch welche Veränderung in der Funktionsgleichung f(x) = x2 wird die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0 | 0):
unter Beibehaltung der Form um 2 Einheiten nach unten verschoben?
y = x^2 – 2
um 1 Einheit nach links und zwei Einheiten nach oben verschoben, außerdem weiter geöffnet als die Normalparabel, aber weiterhin nach oben offen?
y = k (x + 1)^2 + 2 mit 0 < k < 1
nach unten geöffnet und gestreckt, mit dem Scheitelpunkt in (2|– 3)?
y = k (x – 2)^2 – 3 mit k < – 1
Durch welche Veränderung in der Funktionsgleichung f(x) = x2 wird die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0 | 0):nach unten geöffnet und gestaucht, d. h. weiter geöffnet als die Normalparabel?
y = kx^2 mit – 1 < k < 0
Vorgang zeichnen einer Parabel ohne Wertetabelle
• Das Punktepaar P1 / Q1 wird durch die Anweisung: „Eine Einheit nach rechts oder links, eine Einheit zum Quadrat (also eine Einheit!) nach oben“ erreicht.
• Das Punktepaar P2 / Q2 wird durch die Anweisung: „Zwei Einheiten nach rechts oder links, zwei Einheiten zum Quadrat (also vier Einheiten!) nach oben“ erreicht.
• Das Punktepaar P3 / Q3 wird durch die Anweisung: „Drei Einheiten nach rechts oder links, drei Einheiten zum Quadrat (also neun Einheiten!) nach oben“ erreicht.
wichtiger Faktor Auflösen einer quadrierten Klammer
Beim Auflösen einer quadrierten Klammer muss eine der binomischen Formeln verwendet werden!
Vorgang Umformung einer quadratischen Funkton in allgemeiner Form in eine Scheitelpunktsfunktion
Gelingt es, diesen Rechengang so umzudrehen, dass sich aus der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion die zugehörige Scheitelpunktsform ergibt, so lässt sich der Graph dieser Funktion leicht zeichnen. Dies führt zunächst zu einer graphischen Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung, denn es gilt:
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in der Form
ax^2 + bx + c = 0
sind die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion
y = ax^2 + bx + c
Und bekanntermaßen lassen sich die Nullstellen einer Funktion aus dem Graphen leicht ablesen:
Es handelt sich um die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Definition Scheitelpunkt eines Graphen
Der Scheitelpunkt eines Graphen bezeichnet den höchsten oder niedrigsten Punkt einer Parabel, je nachdem, ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist.
Mathematische Definition: Der Scheitelpunkt ist der Punkt (xs,ys)(x_s, y_s)(xs,ys), an dem die Parabel ihren Extremwert erreicht:
Maximum (bei einer nach unten geöffneten Parabel)
Minimum (bei einer nach oben geöffneten Parabel)
Geometrische Bedeutung:
Der Scheitelpunkt liegt auf der Symmetrieachse der Parabel.
Er markiert den Punkt, an dem die Richtung der Parabel wechselt.
In der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion, f(x)=a(x−xs)2+ysf(x) = a(x - x_s)^2 + y_sf(x)=a(x−xs)2+ys, sind xsx_sxs und ysy_sys direkt die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Einfache Gleichungen kann man durch ________________________________ auflösen.
Einfache Gleichungen kann man durch Äquivalenzumformungen auflösen.
Enthält eine Gleichung aber auch das _____________ der Unbekannten (z. B. x2), so versagen diese Techniken.
Enthält eine Gleichung aber auch das Quadrat der Unbekannten (z. B. x2), so versagen diese Techniken.
Um eine solche ________________________ Gleichung untersuchen zu können, stellt man sie so um, dass auf der einen Seite der Gleichung _____________ steht.
Um eine solche quadratische Gleichung untersuchen zu können, stellt man sie so um, dass auf der einen Seite der Gleichung Null steht.
Für den so entstehenden quadratischen ____________________ kann man nun z. B. eine ____________________ aufstellen.
Für den so entstehenden quadratischen Term kann man nun z. B. eine Wertetabelle aufstellen.
Trägt man die Ergebnisse der Untersuchung eines solchen quadratischen Terms in ein __________________________ ein, so ergibt sich eine _________________________ Kurve, die bezüglich einer Parallele zur y-Achse oder der y-Achse selbst ________________________________ ist.
Trägt man die Ergebnisse der Untersuchung eines solchen quadratischen Terms in ein Koordinatensystem ein, so ergibt sich eine gekrümmte Kurve, die bezüglich einer Parallele zur y-Achse oder der y-Achse selbst achsensymmetrisch ist.
Diesen quadratischen Term kann man auch als Zuordnung oder als _____________________ auffassen.
Diesen quadratischen Term kann man auch als Zuordnung oder als quadratische Funktion auffassen.
Dabei hat man die Wahl, ob man diese durch die zugehörige __________________ in der Form f(x) = ............. oder in der Form y = .......... angibt. In beiden Darstellungen ist der Term auf der rechten Seite __________________ .
Dabei hat man die Wahl, ob man diese durch die zugehörige Funktionsgleichung in der Form f(x) = ............. oder in der Form y = .......... angibt.
Mit dieser Betrachtungsweise ergeben sich die Lösungen einer quadratischen Gleichung aus den Punkten, in denen der Graph der zugehörigen quadratischen Funktion die ____________________ schneidet.
In beiden Darstellungen ist der Term auf der rechten Seite gleich. Mit dieser Betrachtungsweise ergeben sich die Lösungen einer quadratischen Gleichung aus den Punkten, in denen der Graph der zugehörigen quadratischen Funktion die x-Achse schneidet
Den Graph einer quadratischen Funktion bezeichnet man als __________________ .
Den Graph einer quadratischen Funktion bezeichnet man als Parabel.
Eine besondere unter all den möglichen Parabeln ist die ___________________, deren ___________________________ in (0|0) liegt und die zur Funktionsgleichung __________ gehört.
Eine besondere unter all den möglichen Parabeln ist die Normalparabel, deren Scheitelpunkt in (0|0) liegt und die zur Funktionsgleichung y=x2 gehört.
Aktion zur Verschiebung einer Parabel nach unten oder nach oben
Die Verschiebung einer Parabel nach oben oder unten geschieht durch Addition eines konstanten Summanden.
Aktion Verschiebung einer Parabel auf der x-Achse
Soll der Scheitelpunkt einer in Richtung der x-Achse verschobenen Normalparabel nicht mehr in (0|0), sondern im Punkt S (xS | 0) liegen, so muss sich durch Einsetzen von x = xS in die eine entsprechend veränderte Funktionsgleichung der Funktionswert y = 0 ergeben.
Funktionsveränderung für Verschiebung einer Parabel auf der x-Achse
Eine Parabel mit der Funktionsgleichung y = (x ± xS) 2 ist eine um den Wert xS nach links (hier gilt das „+“) bzw. rechts (hier gilt das „–“) verschobene Normalparabel.
Definition gestauchten Parabel
weiter geöffnet
Regel Definitionsmenge
Die Quadratwurzel kann nur aus positiven Zahlen (oder Null) gezogen werden!
<-> Bedeutung
Äquivalenzpfeil,
Definition quadratische Funktion
Die Zuordnung zwischen einer Zahl und dem Ergebnis eines quadratischen Terms bezeichnet man als quadratische Funktion.
Definition Parabel
Die spezielle Kurvenform eines zu einer quadratischen Funktion gehörenden Graphen bezeichnet man als Parabel. Denjenigen Punkt des Graphen, der auf seiner Symmetrieachse liegt, bezeichnet man als den Scheitelpunkt der Parabel.
Definition Normalparabel
Die zur quadratischen Funktion y = x2 gehörende, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (0|0) heißt Normalparabel
Durch das Einsetzen der _______________ in eine Gleichung wird diese zu einer ______________ Aussage.
Durch das Einsetzen der Lösung in eine Gleichung wird diese zu einer wahren Aussage. Einfache Gleichungen kann man durch Äquivalenzumformungen auflösen.
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