1 Mathematische Grundlagen

• natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol ℕ

• zusätzlich die Zahl Null ℕ0.

• 
  

• neben den natürlichen Zahlen noch die negativen ganzen Zahlen,

• Symbol ℤ

rationalen Zahlen

• ℚ, entspricht den Bruchzahlen. 

• = Bruchzahlen und Dezimalzahlen

  • unterscheiden ist hier zwischen endlichen und unendlichen Dezimalzahlen

• periodische Dezimalzahl

  • rationale Zahl, die unendlich viele Dezimalstellen besitzt

irrationale Zahlen

• Dezimalzahlen,  die sich nicht als Bruch schreiben lassen.

• unendlich viele Dezimalstellen, sie sind aber nicht periodisch

• es unendlich viele irrationale Zahlen gibt

reellen Zahlen, welcher durch das Symbol ℝ

• Der Zahlenbereich der  reellen Zahlen umfasst  alle rationalen und irrati-  onalen Zahlen. 

• reiner

  • abstrakte, theoretische Konzepte im Mittelpunkt, die explizit keine Anwendungsbe-  züge aufweisen.

• und angewandter Mathematik.

  • mathematische Anwendungen von zentraler Bedeutung. Es werden mathematische Methoden entwickelt, um Probleme in anderen  Disziplinen, wie z. B. der Physik, der Medizin, der Informatik oder der Wirtschaft, lösen  oder zumindest systematisieren zu können Angewandte Mathe-  matik  Hier wird die Mathematik  als Instrument zur Lösung  von praxisrelevanten  Problemen verwendet

  • Ein für Ökonomen wichtiges Einsatzgebiet der angewandten Mathematik stellt die Wirt-  schaft dar. Werden mathematische Konzepte verwendet, um wirtschaftswissenschaftliche  Fragestellungen zu beantworten und/oder wirtschaftswissenschaftliche Probleme zu  bewältigen, verwendet man den Begriff Wirtschaftsmathematik (Senger 2009, S. 1).  Innerhalb der Wirtschaftsmathematik sind die folgenden Teilgebiete von besonderer Rele-  vanz: Funktionslehre, Differentialrechnung und Optimierung sowie Finanzmathematik. 

grundlegende Rechenregeln der Algebra. Da diese von funda-  mentaler Bedeutung sind, bezeichnet man diese Regeln auch als (Rechen-)Gesetze

1. Kommutativgesetz der Addition 

Formale Darstellung:  𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 

Beschreibung: Die Reihenfolge, inder zwei reelle Zahlen (hier auch Summanden  genannt) addiert werden, spielt keine Rolle. 

Beispiel:  2+5=5+2=7 

2. Assoziativgesetz der Addition 

Formale Darstellung:  (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 

Beschreibung: In der Mathematik wird eine (gebogene) Klammer verwendet, um  anzuzeigen, welche Rechnung zuerst durchgeführt werden soll. Hier würde z. B. die  erste Klammer implizieren, dass erstens a + b zu ermitteln ist und das Ergebnis dann  zweitens mit c addiert wird. Das Assoziativgesetz besagt nun, dass die Reihenfolge, in  der drei (oder mehr) reelle Zahlen addiert werden, keine Rolle spielt. 

Beispiel:  (2+5) +3=2+ (5+3) = 2 + 5 + 3 = 10 

3. Kommutativgesetz der Multiplikation 

Formale Darstellung:  𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎 

Beschreibung: Die Reihenfolge, mit der zwei reelle Zahlen (hier auch Faktoren  genannt) multipliziert werden, spielt keine Rolle. 

Beispiel:  2 · 5 = 5 · 2 = 10 

4. Assoziativgesetz der Multiplikation 

Formale Darstellung:  (𝑎 · 𝑏) · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 · 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 · 𝑐 

Beschreibung: Die Reihenfolge, in der drei (oder mehr) reelle Zahlen multipliziert wer-  den, spielt keine Rolle. 

Beispiel:  (2·5) ·3=2· (5·3) = 2 · 5 · 3 = 30 

5. Distributivgesetz 

Formale Darstellung:  𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 

Beschreibung: Das Distributivgesetz besagt, dass das Produkt aus einer reellen Zahl  und einer Summe identisch ist mit der Summe der einzelnen Produkte. Es gibt hierbei  zwei Varianten. Soll eine Summe mit einer reellen Zahl multipliziert werden, so muss  jeder Summand mit dieser reellen Zahl multipliziert und das Ergebnis dann addiert  werden. Wir sprechen in diesem Zusammenhang auch von hineinmultiplizieren.  Umgekehrt kann man bei Summanden, die einen gemeinsamen Faktor aufweisen,  diesen Faktor ausmultiplizieren. Hinweis: Das Gesetz ist auch anwendbar, wenn eine  Differenz zweier reeller Zahlen mit einer reellen Zahl multipliziert werden soll. 

Beispiel 1 (hineinmultiplizieren):  2 · 5+3 = 2 · 5 + 2 · 3 = 16 

Beispiel 2 (ausmultiplizieren):  4·3+5·3=3· 4+5 = 27 

6. Vorzeichenregeln 

Formale Darstellung: 

(+𝑎) · (+𝑏) = 𝑎 · 𝑏 

(−𝑎) · (−𝑏) = 𝑎 · 𝑏 

(−𝑎 )· 𝑏 = − (𝑎 · 𝑏) 

𝑎 · (−𝑏) = − (𝑎 · 𝑏) 

Beschreibung: Die ersten beiden Regeln zeigen, dass das Produkt zweier reeller Zah-  len positiv ist, sofern das Vorzeichen der beiden Faktoren identisch ist. Beide Faktoren  können also entweder positiv (erste Regel) oder negativ (zweite Regel) sein. Die dritte  und vierte Regel zeigt, dass das Produkt zweier reeller Zahlen negativ ist, sofern die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Es können also entweder der erste Fak-  tor negativ und der zweite Faktor positiv (dritte Regel) oder der erste Faktor positiv  und der zweite Faktor negativ (vierte Regel) sein. 

Beispiele: 

+2 · +5 = 2 · 5 = 10 

−2 · −5 = 2 · 5 = 10 

−2 ·5= − 2·5 = − 10 

2 · −5 = − 2·5 = − 10 

Konstanten  Symbole, die für festge-  legte Zahlen stehen, wer-  den Konstanten genannt.

Die Kreiszahl π und die  Eulersche Zahl e sind Beispiele hierfür. 

Variablen  Das sind Symbole, die  verschiedene reelle Zah-  len annehmen können. 

Üblicherweise werden  Variablen mit den Buchstaben x, y oder z symbolisiert

Term  Ein Term ist eine mathe-  matische Verknüpfung  von Zahlen, Parametern,  Konstanten und/oder  Variablen

Eine Gleichung beschreibt eine wahre Aussage, wenn die linke Seite genau der  rechten Seite entspricht, andernfalls ist die Aussage der Gleichung falsch

Parameter  Das sind Symbole, die für  frei wählbare Zahlen ste-  hen. 

Lineare Gleichungen 

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 

Lineare Gleichung  Eine lineare Gleichung  wird durch eine Variable  und zwei Parameter  beschrieben, wobei die  höchste Potenz der Vari-  able 1 ist, also x1 = x

Nichtlineare Gleichungen

Quadratische Gleichung  Eine quadratische Glei-  chung wird durch eine  Variable und drei Parame-  ter beschrieben, wobei  die höchste Potenz der  Variable 2 ist, also x2

ubische Gleichung  Eine kubische Gleichung  wird durch eine Variable  und vier Parameter  beschrieben, wobei die  höchste Potenz der Vari-  able 3 ist, also x3.