4. OPTIMIERUNG

Um Optimierungsprobleme lösen zu können, müssen mithilfe der Differentialrechnung  Extrempunkte ermittelt werden.

Grundlegende Definitionen 

Eine Funktion f weist an der Stelle x0 ein

• lokales Maximum (oder relatives Maximum)  auf, wenn der Funktionswert f(x0) höher ist als Funktionswerte in unmittelbarer Umge-  bung (also links und rechts von x0). 

• globales Maximum (oder absolutes Maximum)  auf, wenn der Funktionswert f(x0) höher ist als alle anderen zulässigen Funktionswerte,  die sich für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich ergeben. 

Achtung: die Unterscheidung der Definitionsbereiche ist wichtig

Eine Funktion f weist an der Stelle x0 ein

• lokales Minimum (oder relatives Minimum)  auf, wenn der Funktionswert f(x0) niedriger ist als Funktionswerte in unmittelbarer  Umgebung (also links und rechts von x0). 

• globales Minimum (oder absolutes Minimum)  auf, wenn der Funktionswert f(x0) niedriger ist als alle anderen zulässigen Funktions-  werte, die sich für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich ergeben.

Achtung: die Unterscheidung der Definitionsbereiche ist wichtig

Die 1. Ableitung der Funktion an der Extremstelle  muss null entsprechen.

Notwendige Bedingung  Die notwendige Bedin-  gung ist eine Vorausset-  zung, die erfüllt sein  muss, damit die Funktion  einen Extrempunkt auf-  weist. Sie ist allerdings  nicht hinreichend

Durch diese hinreichenden Bedingungen kann  außerdem zwischen lokalen und globalen Extrempunkten unterschieden werden. 

 Betrachten wir eine differenzierbare Funktion f. An der Stelle x0 gilt f'(x0) = 0, die notwen-  dige Bedingung für die Existenz eines Extrempunktes ist also erfüllt. Dann gilt

Die Funktion f weist an der Stelle x0 ein lokales Maximum auf, falls die hinreichende  Bedingung für ein lokales Maximum erfüllt ist. 

Die Funktion f weist an der Stelle x0 ein globales Maximum auf, falls die hinreichende  Bedingung für ein globales Maximum erfüllt ist.

• Im Unterschied zum lokalen Maximum muss also die 2. Ableitung für alle zulässigen  Werte von x negativ sein. 

Durch diese hinreichenden Bedingungen kann  außerdem zwischen lokalen und globalen Extrempunkten unterschieden werden. 

 Betrachten wir eine differenzierbare Funktion f. An der Stelle x0 gilt f'(x0) = 0, die notwen-  dige Bedingung für die Existenz eines Extrempunktes ist also erfüllt. Dann gilt

Die Funktion f weist an der Stelle x0 ein lokales Minimum auf, falls die hinreichende  Bedingung für ein lokales Minimum erfüllt ist.

Die Funktion f weist an der Stelle x0 ein globales Minimum auf, falls die hinreichende  Bedingung für ein globales Minimum erfüllt ist. 

• Im Unterschied zum lokalen Minimum muss also die 2. Ableitung für alle zulässigen  Werte von x positiv sein

f(x) = x^3 Spezialfall.

• Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt an  der Stelle x0 (hier gilt x0 = 0) ist zwar erfüllt, allerdings liegt hier kein Extrempunkt vor.  Dies ist darin begründet, dass gerade an der Stelle x0 die Kurve der Funktion einen Wend-  punkt hat. Es gilt also f''(x0) = 0 sowie f'''(x) ≠ 0; die zuvor erwähnten hinreichenden  Bedingungen sind nicht erfüllt.

• Ein Punkt, bei dem f'(x0) = f''(x0) = 0 und f'''(x0) ≠ 0  gilt, wird Sattelpunkt genannt

Aus Gründen der Vereinfachung werden wir in den folgenden mathematischen und öko-  nomischen Anwendungsfällen erstens auf eine Unterscheidung zwischen globalen und  lokalen Extrempunkten verzichten (und daher kurz von Maximum oder Minimum spre-  chen) und zweitens keine Funktionen betrachten, bei denen ein Sattelpunkt vorliegt. 

1. Jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, weil dort auch ein Krümmungswechsel stattfindet.

2. Nicht jeder Wendepunkt ist ein Sattelpunkt, da die Steigung f′(x) an einem Wendepunkt ungleich null sein kann.

Ein Wendepunkt ist nur dann ein Sattelpunkt, wenn die Steigung f′(x)=0 ist.

1. Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt:

f′′(x)=0

Ein Wendepunkt liegt nur vor, wenn die zweite Ableitung f′′(x) an einer Stelle x0 null ist.

2. Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt

Ein Wendepunkt liegt nur vor, wenn an der Stelle x0 tatsächlich ein Krümmungswechsel erfolgt. Das kannst du prüfen, indem du:

a) Das Vorzeichen von f′′(x) prüfst:

• Untersuche das Vorzeichen von f′′(x) links und rechts von x0

• Ein Vorzeichenwechsel von positiv nach negativ (oder umgekehrt) bestätigt einen Krümmungswechsel, und somit liegt ein Wendepunkt vor.

b) Die dritte Ableitung f′′′(x) prüfst:

• Falls f′′′(x0)≠0, ist dies ein sicherer Hinweis auf einen Wendepunkt.

Fazit:

Ein Wendepunkt wird gefunden, indem du:

1. f′′(x)= 0 löst.

2. Den Krümmungswechsel prüfst (Vorzeichen von f′′(x) oder f′′′(x)

3. Die Koordinaten berechnest. 😊