Mathematik - Differentialrechnung

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, wenn jedem Wert aus dem Definitionsbereich genau ein Funktionswert zugeordnet wird.

Die gesuchte Funktion ist diejenige, bei der die dritte Ableitung null wird.

2010

fk(x) = kx³ - x² mit k ∈ ℝ.

• Wenn k im Nenner steht, darf k nicht so gewählt werden, dass der Nenner Null wird.

• Wenn k unter einer Wurzel steht, darf k nicht so gewählt werden, dass eine negative Zahl unter der Wurzel entsteht.

Die Funktion g(x), die die Wendepunkte der Funktionsschar verbindet, muss explizit bestimmt und in das Koordinatensystem eingetragen werden.

Die gesuchte Funktion ist diejenige, bei der fk(1) = 0 erfüllt ist.

Die gesuchte Funktion ist diejenige, bei der die zweite Ableitung null wird und ein Minimum vorliegt.

Eine Familie von Funktionen fk(x)f_k(x)fk​(x), die von einer Variablen xxx und einem Parameter kkk abhängt. Jeder Wert von kkk definiert eine einzelne Funktion innerhalb der Schar.

1. Wendepunkt W(xw,yw)W(x_w, y_w)W(xw​,yw​) in Abhängigkeit von kkk bestimmen.

2. xwx_wxw​ nach kkk auflösen.

3. Ausdruck für kkk in ywy_wyw​ einsetzen.

4. Die resultierende Funktion beschreibt die Ortslinie der Wendepunkte.

Sie gibt an, auf welcher Kurve sich die Tiefpunkte (bzw. andere charakteristische Punkte) der Funktionsschar befinden.

Die Ortslinie der Extrempunkte ist die Funktion, die alle Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) einer Funktionsschar verbindet.

Es muss k > 0 gelten, da für k ≤ 0 keine Nullstellen außer x = 0 existieren.

Die Funktion f144 hat bei x = -12 einen Hochpunkt.

Die Funktion f225 hat bei x = 15 einen Tiefpunkt.

g(x)=−x^2

1. Den Extrempunkt E(xe,ye)E(x_e, y_e)E(xe​,ye​) in Abhängigkeit von kkk ermitteln.

2. xex_exe​ nach kkk auflösen.

3. Den gefundenen Ausdruck für kkk in yey_eye​ einsetzen.

4. Die resultierende Funktion beschreibt die Ortslinie der Extrempunkte.

1. Funktionsuntersuchung nach dem Elf-Punkte-Schema durchführen.

2. Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte in Abhängigkeit von kkk in einer Übersicht festhalten.

3. Wertetabellen für verschiedene kkk-Werte erstellen und Graphen skizzieren.

: Die Ortslinie ist der geometrische Ort charakteristischer Punkte (z. B. Extrem- oder Wendepunkte) einer Funktionsschar. Sie entsteht, indem man diese Punkte für verschiedene Werte von kkk verbindet.

• Alle Parabeln sind nach oben geöffnet.

• Alle haben den Ursprung als Nullstelle gemeinsam.

• Es handelt sich um verschobene Normalparabeln (nicht gestreckt oder gestaucht).

• Die Scheitelpunkte liegen auf einer Ortslinie.

1. Die Formel für die Tiefpunkte der Funktionsschar wird ermittelt.

2. Nach kkk auflösen.

3. kkk in die Tiefpunktformel einsetzen.

4. Die resultierende Funktion beschreibt die Ortslinie der Tiefpunkte.

Eine Variable wird konstant gehalten (z. B. Temperatur k₁ = 10°C), sodass man die Abhängigkeit der anderen Variablen (z. B. Druck von Volumen) separat untersuchen kann.

Eine Menge von Funktionen, die durch einen Parameter k beschrieben wird, z. B. fk(x), wobei k verschiedene Werte annehmen kann.

Um ein allgemeines Verständnis für den Funktionsverlauf zu bekommen und erst danach spezifische Fälle zu analysieren, die für eine konkrete Fragestellung relevant sind.

fk(x) = x² - kx. Dabei ist k der Parameter, der verschiedene Parabeln erzeugt.

Nur für k = 0 ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Für k ≠ 0 liegt keine Symmetrie vor.

Durch Faktorisieren: fk(x) = x(x - k) = 0. Die Nullstellen sind N₁(0|0) und N₂(k|0).

Durch Ableitungen:

• Erste Ableitung: fk'(x) = 2x - k → Null setzen → x = k/2

• Zweite Ableitung: fk''(x) = 2 → Da fk''(x) > 0, handelt es sich um einen Tiefpunkt.

• Koordinaten: T(k/2, -k²/4)

Um minimale oder maximale Werte zu finden, z. B. für Kostenoptimierung oder maximalen Gewinn.

Schema einer vollständigen Funktionsuntersuchung: 1. Bestimmung der maximalen Definitionsmenge. (Die Wertemenge sollte zu Beginn nur dann bestimmt werden, falls sie einfach zu erkennen und für die weitere Untersuchung nützlich ist.)

2. Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte.

3. Bestimmung der Symmetrie, ob die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist (oder ob andere Aussagen zu Symmetrien gemacht werden können.)

4. Bestimmung der Nullstellen und der Art der Nullstellen (ob mit / ohne VZW).

5. Bestimmung des Schnittpunktes mit der y-Achse.

6. Bestimmung der 1., 2. und 3. Ableitung.

7. Bestimmung der Extrempunkte.

8. Bestimmung der Wendepunkte und gegebenenfalls Sattelpunkte. 9. Erstellung einer Wertetabelle für den interessanten Bereich der Funktion, in der Nähe der zuvor gefundenen Nullstellen sowie der Hoch-, Tief- und Wendepunkte.

10. Bestimmung der Wertemenge, falls nicht schon zu Beginn erfolgt. 11. Zeichnen des Graphen der Funktion. Die Ergebnisse werden zu jedem einzelnen Punkt am Ende der Untersuchung jeweils deutlich hervorgehoben

Es hilft dabei, eine vollständige Funktionsuntersuchung durchzuführen, indem wichtige Eigenschaften einer Funktion systematisch analysiert werden.

In vielen realen Anwendungen wird eine Größe y nicht nur von einer einzigen Variablen x, sondern von mehreren Faktoren x₁, x₂, x₃ … beeinflusst, wie z. B. die Produktionskosten eines Betriebs von Arbeitskosten, Stückzahl und Lagerkosten.

Der Druck eines Gases hängt sowohl vom Volumen als auch von der Temperatur ab. Wird das Volumen verkleinert oder die Temperatur erhöht, steigt der Druck.

Die zweite Ableitung hat dort eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Die dritte Ableitung f'''(x).

Weil f'''(0,6) > 0 ist, was bedeutet, dass eine Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht.

f'(xs) = 0 und f''(xs) = 0.

1. f'' hat an xs eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel oder

2. f'''(xs) ≠ 0.

Weil f'(0) = 0, f''(0) = 0 und f'''(0) > 0 ist.

Weil die zweite Ableitung keinen Vorzeichenwechsel hat, bleibt die Krümmung gleich.

Wendetangente.

Durch Berechnung von f'(xW) für den Wendepunkt xW.

1. Ableitungen:

   • f′′(x)=6x, also 6x=0⇒xw=06x = 0⇒ x_w = 0

   • f′′′(x)=6≠0f'''(x) = 6 \neq 0f′′′(x)=6=0, daher ist xw=0x_w = 0xw​=0 eine Wendestelle.

2. Wendepunkt: W(0∣0)Rechtskrümmung für x<0 Linkskrümmung für x>0x >

Die Betrachtung der Vorzeichen von f′′(x), da die Berechnung der dritten Ableitung kompliziert sein kann (z. B. bei gebrochenrationalen Funktionen).

1. Berechne)f′′(x) und setze sie gleich 0.

2. Prüfe den Vorzeichenwechsel oder berechnef′′′(x).

3. Falls f′′′(x)≠0 oder ein Vorzeichenwechsel von f′′(x)f''(x)f′′(x) vorliegt, liegt ein Wendepunkt vor.

Eine Funktion fff hat eine Wendestelle xwx_wxw​, wenn gilt:

• f′′(xw)=0f''(x_w) = 0f′′(xw​)=0

• f′′(x)f''(x)f′′(x) hat an xwx_wxw​ einen Vorzeichenwechsel.

Eine Wendestelle xwx_wxw​ liegt vor, wenn:

• Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x)f′′(x) an xwx_wxw​ eine Nullstelle hat.

• Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x)f′′(x) an xwx_wxw​ das Vorzeichen wechselt.

Eine Wendestelle x_w​ liegt vor, wenn:

• Die zweite Ableitung f′′(x)an x_w eine Nullstelle hat.

• Die dritte Ableitung f′′′(xw)≠0f'''(x_w)/ 0f′′′(xw​)

Bewegt man sich entlang des Graphen von links nach rechts, entspricht eine Linkskurve dem Lenken nach links und eine Rechtskurve dem Lenken nach rechts.

Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Funktionsgraphen, an dem die Krümmung wechselt – eine Rechtskurve geht in eine Linkskurve über oder umgekehrt.

Die zweite Ableitung von Funktion von 0 ist größer 0 (lokales Minimum) oder kleiner 0 (lokales Maximum)

Wechsel von f′(x) von + nach - → Maximum

Wechsel von f′(x) von - nach + → Minimum

Kein Wechsel? → Kein Extrempunkt

✅ Optimierungsprobleme

✅ Kurvendiskussion

✅ Physik (Maximale Geschwindigkeit, Minimaler Energieverbrauch)

Extremstellen sind Punkte, an denen eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum besitzt.

Lokales Maximum: f(x)≤f(x0)f(x)für alle xxx in einer Umgebung von x0

Lokales Minimum: f(x)≥f(x0)f(x) für alle xxx in einer Umgebung von x0.

Die erste Ableitung muss 0 sein.

ur Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate und als Grundlage für die Ableitung einer Funktion.

f(x)=x​

oder allgemeiner

f(x)=a⋅bx+c+df(x) = a \cdot \sqrt{b x + c} + df(x)=a⋅bx+c​+d

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an jedem Punkt des Funktionsgraphen an.

1. Monoton steigend (je größer xxx, desto größer f(x)f(x)f(x)).

2. Nicht für negative xxx definiert im reellen Zahlenbereich.

3. Krümmung nach unten (die Steigung nimmt ab).

Die Funktion f sei gegeben und in einem Intervall I definiert, das die Stelle x0 enthält. Die Funktion f heißt differenzierbar (oder ableitbar) an der Stelle x0, falls der Differenzenquotient für x  x0, wo wir uns also mit dem x der Stelle x0 nähern, einen Grenzwert besitzt. Dieser Grenzwert heißt die (erste) Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 und wird mit f '(x0) bezeichnet. Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 gibt die Steigung der Tangente am Graphen im Punkt (x0|f(x0)) an, die wir auch als Steigung des Graphen im Punkt (x0|f(x0)) bezeichnen.

Bitte merken Sie sich das rechnerische Prinzip:

1. Schritt: Berechnen Sie sowohl den linksseitigen wie auch den rechtsseitigen Grenzwert.

2. Schritt: Stimmen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert überein, so existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten im Sinne der Definition 6 und die Funktion f ist differenzierbar. Sind die Grenzwerte unterschiedlich, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar. Merken Sie sich bitte auch das anschauliche Prinzip: Hat der Graph einer Funktion an einer Stelle einen Knick, so ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Gegeben ist eine Funktion f : x -> y, die an der Stelle x0 differenzierbar ist. Sei t die Tangente des Graphen im Punkte P0(x0|f(x0)) mit der Steigung f '(x0). Die Gerade n, die im Punkte P0(x|f(x0)) senkrecht auf der Tangenten t steht, heißt Normale n im Punkte P0.

Die Geradengleichung der Tangente in P0 nennen wir Tangentengleichung im Punkte P0.

Die Geradengleichung der Normalen in P0 nennen wir Normalengleichung im Punkte P0.

Gegeben sei eine auf dem Definitionsbereich Df differenzierbare Funktion f. Unter der Ableitungsfunktion f ' der Ausgangsfunktion f (kurz Ableitung von f) versteht man diejenige Funktion, die jeder Stelle x der Funktion f ihre Ableitung an dieser Stelle zuordnet. Man schreibt diese Funktion in der Weise Den Prozess des Ableitens nenn man auch Differenzieren der Funktion f. Da man f ' auch erneut und wiederholt differenzieren kann, zählt man die Ableitungsschritte und nennt den hier geschilderten Übergang von f zu f ' die Berechnung der ersten Ableitung f' von f.

Bildet man von der Funktion f ' wiederum die Ableitung, so bezeichnet man diese mit f'' und man spricht von der zweiten Ableitung von f. Entsprechend heißt die Ableitung der zweiten Ableitung die dritte Ableitung f ''' der Funktion f u.s.w.

Das Verfahren, bei dem aus den Graphen von f und von g der Graph der Summenfunktion f + g entsteht, heißt Ordinatenaddition. Als Ordinate bezeichnet man immer die Funktionswerte, also die y-Werte. Man addiert an einer Stelle x entweder zwei y-Strecken, wenn sie das gleiche Vorzeichen haben – etwa zwei positive oder zwei negative Strecken – oder man verrechnet eine positive mit einer negativen Strecke, indem man die Streckenlängen voneinander subtrahiert.

– Man kann die Steigung an einem Punkt der Kurve dadurch gut veranschaulichen, dass man in der dargestellten Weise Tangenten anlegt bzw. einzeichnet. Als Tangente eines Kreises bezeichnen wir eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Stellt man sich die Krümmung einer Kurve in einem bestimmten Punkt nun als kleinen Ausschnitt eines Kreis in der Umgebung diesen Punktes vor, dann erhält man die eingezeichneten Tangenten.

– Wenn die Funktion steigt, dann steigen auch die Tangenten und es gilt m 0 (bei streng monoton steigender Funktion sogar m > 0). Steigt eine Funktion an der Stelle a stärker als an der Stelle b, so hat auch die Tangente im Punkt A eine größere Steigung als im Punkt B (Für die beiden zugehörigen Geradengleichungen gilt mA > mB)

Definition 5: Die Steigung der Tangente an einem Punkt A(a|f(a)) des Graphen der Funktion f bezeichnet man als die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle a. Man bezeichnet diese erste Ableitung an der Stelle auch kurz mit f'(a), lies: f Strich von a. Hat die Geradengleichung der Tangente, die am Punkt A(a|f(a)) angelegt wird, die Form y = mA x + bA, so gilt f'(a) = mA

Die Sekantensteigung ist die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion zwischen zwei Punkten (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) und (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​).

(f(x(2)) - f(x(x)1))/(x(2) - x(1))

Sie gibt die Steigung der Geraden an, die die beiden Punkte (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) und (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​) auf dem Funktionsgraphen verbindet.

Sie nähert sich der Tangentensteigung an, also der Ableitung f′(x)f'(x)f′(x) an der Stelle x1x_1x1​.

Zur Approximation der Tangentensteigung und zur Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate einer Funktion.

m=x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​

Er gibt die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte (x,f(x))(x, f(x))(x,f(x)) und (x+h,f(x+h))(x+h, f(x+h))(x+h,f(x+h)) an.

Der Differenzenquotient geht in den Differentialquotienten über, also die Ableitung f′(x)f'(x)f′(x).

Eine Asymptote ist also stets eine Gerade, der sich eine Funktion annähert.

Streben die Funktionswerte f(x)f(x)f(x) für x→+∞x \to +\inftyx→+∞ gegen eine Zahl aaa, bedeutet das, dass sich f(x)f(x)f(x) der Zahl aaa beliebig nahe annähert. Diese Zahl nennt man den Grenzwert der Funktion für x→+∞x \to +\inftyx→+∞.

In Zeichen:

lim⁡x→+∞f(x)=a\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = ax→+∞lim​f(x)=a

Analog definiert man den Grenzwert für x→−∞x \to -\inftyx→−∞ und schreibt:

lim⁡x→−∞f(x)=a\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = ax→−∞lim​f(x)=a

Die Gerade mit der Gleichung y=ay = ay=a, der sich die Funktion für x→±∞x \to \pm\inftyx→±∞ annähert, heißt waagerechte Asymptote. Sie ist parallel zur x-Achse.

Hier ist dein Text in einer kompakten und klaren Form für Buffl:

Definitionslücken und senkrechte Asymptoten

Gegeben sind die ganzrationalen Funktionen ff und gg sowie eine gebrochen-rationale Funktion hh.

Die Funktion hh ist an den Stellen, an denen der Nenner g(x)=0g(x) = 0 wird, nicht definiert. Diese Nullstellen des Nennerpolynoms nennt man Definitionslücken.

Eine Polstelle x0x_0 liegt vor, wenn g(x0)=0g(x_0) = 0 gilt, aber f(x0)≠0f(x_0) \neq 0 ist. In diesem Fall nähern sich die Funktionswerte h(x)h(x) einer Geraden beliebig nah an, die parallel zur y-Achse verläuft und die x-Achse an der Stelle x0x_0 schneidet.

Diese Gerade hat die Gleichung x=x0x = x_0 und heißt senkrechte Asymptote.

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion der Form

f(x) = x/2

wobei nicht die Nullfunktion ist. Diese Funktionen können Polstellen (Nullstellen des Nenners) und eventuell waagrechte oder schräge Asymptoten besitzen.

lim f(x) 0 und lim f(x) 0

x->8

x1 < x2 => f(x1) > f(x2)

) f ist parallel zu g, kurz f II g gilt genau dann, wenn m1 = m2 ist,

m2 = 1/m1 oder m1 : m2 = -1

f (x) = f (– x)

f (x) = – f (– x)

1. Ganzrationale Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn sie gerade sind.

2. Ganzrationale Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sie ungerade sind.

3. Wenn ganzrationale Funktionen weder gerade noch ungerade sind, wenn also sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von x vorkommen, sind sie weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

für alle x-Werte gilt x1 < x2 => f(x1) <=f(x2)

x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

x1 < x2 => f(x1) >= f(x2)

m = y2 - y1/ x2 - x1

Geraden steigen, wenn m >= 0. Sie sind sogar streng monoton steigend, falls m > 0 gilt.

Geraden fallen, wenn m 0.

Sie sind sogar streng monoton fallend, falls m < 0 gilt.

[a;b[= {x I a <= x <= b}

]a; unendlich[ = {x I x > a}

)- unendlich; b) = {x I x <=b}

Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift f : x = m x + b heißt lineare Funktion. Die zugehörige Funktionsgleichung ist y = m x + b bzw. f(x) = m x + b. Der zugehörige Graph ist eine Gerade, bei der die Zahl m als Steigung der Geraden und b als Achsenabschnitt bezeichnet wird.

[a;b] = {x I a <= x <= b}

]a;b[ = {x I a <= x <= b}

)a;b] = {x I a <= x <= b}

Der Graph einer Funktion ist die visuelle Darstellung aller Punkte )(x,f(x)—-- in einem Koordinatensystem.

Unter dem maximalen Definitionsbereich einer Funktion f versteht man die größtmögliche Menge aller x-Werte, für die die Funktion f definiert ist.

[a; b] = {x

Der Definitionsbereich einer Funktion gibt alle erlaubten Werte für die Variable xxx an.

Der Wertebereich einer Funktion umfasst alle möglichen Funktionswerte f(x)

Die Funktionsgleichung beschreibt die mathematische Beziehung zwischen x und f(x)

Der Funktionsterm ist der Ausdruck, der die Berechnung der Funktion beschreibt.

Die Zuordnungsvorschrift beschreibt, wie jedem x genau ein f(x) zugeordnet wird.